小专题2 函数中的线段和面积问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（贵州专用）

该初中数学中考复习课件聚焦函数中的线段和面积问题核心考点，紧密对接中考要求，结合2023贵阳、2021贵阳等真题分析考点权重，系统归纳线段长计算、最值求解、面积计算等常考题型，梳理求线段长的三类方法和面积问题的公式法、割补法等技巧，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题解析+技巧总结+针对训练”模式，如例1通过二次函数性质求PE最大值，培养学生运算能力和推理意识，用割补法解决非直角三角形面积问题，帮助学生掌握答题技巧。针对训练融入2024福建、2025威海真题，助力学生高效备考，为教师提供系统复习指导，提升中考冲刺效果。

数 学 贵州 课堂精讲册 1 第一部分　立足教材过基础 第三单元　函数 小专题2　函数中的线段和面积问题 （2023.24（2）,贵阳2021.14,20） 技巧总结 1. 求线段长 (1)若AB∥y轴，则AB＝｜yA－yB｜； (2)若AB∥x轴，则AB＝｜xB－xA｜； (3)若∠OBC＝45°，DP⊥BC，则DP＝ PE. (若∠OBC＝α， DP⊥BC，则DP＝PE· cos α) 2. 线段数量关系问题 已知线段为定值或线段间满足某种数量关系列方程求解. 3. 线段最值问题 (1)利用二次函数性质进行求解； (2)利用对称的性质求线段和的最值问题； (3)利用三点共线、垂线段最短求最值. 点拨：①作点B关于对称轴的对称点B'； ②连接AB'交对称轴于点P'，则AB'的长是PA＋PB的最小值； ③根据点坐标特征和勾股定理求解. 链接：最值问题的常见类型见本书P128～130. 如：如图，在抛物线的对称轴上有一点P，求PA＋PB的最小值. 例1. 如图1，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C， 点P在第四象限内抛物线上，且横坐标为m，PE∥y轴交BC于点E. (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标 为 ，BC所在直线的表达式为 ⁠； (－1，0)　 (3，0)　 (0，－3)　 y＝x－3　 图1 (2)求PE的最大值； 图1 解：由题意得点P(m，m2－2m－3). ∵PE∥y轴，点E在直线BC上， ∴点E(m，m－3).∵点P在第四象限， 即点P在点E的下方， ∴PE＝m－3－(m2－2m－3)＝－m2＋3m＝－(m－ )2＋ . ∵－1＜0， ∴当m＝ 时，PE最大＝ ； (3)作PF⊥y轴，交BC于点M，交抛物线于另一点F，若FM＝2PM，求 点P的横坐标； 图1 解：∵P(m，m2－2m－3)，PF⊥y轴，直线BC的表达式为y＝x－3， ∴点M(m2－2m，m2－2m－3)，F(2－m，m2－2m－3)， ∴PM＝m－(m2－2m)＝－m2＋3m， FM＝m2－2m－(2－m)＝m2－m－2. ∵FM＝2PM，∴m2－m－2＝2(－m2＋3m)， 整理，得3m2－7m－2＝0，解得m＝ . ∵点P在第四象限，∴m＞0，∴点P的横坐标为 ； 图1 图2 (4)如图2，将该抛物线沿x轴进行翻折，变换后的抛物线与y轴交于点D. ①请直接写出变换后抛物线的表达式； 解：y＝－x2＋2x＋3； 图2 ②若Q是第一象限内抛物线上的一点，QN⊥x轴交BD于点N，求QN＋ DN的最大值. 解：由①易得点D(0，3)，则直线BD的表达式为y＝－x＋3，设Q(t，－t2 ＋2t＋3)，则N(t，－t＋3).如解图，过点N作NH⊥y轴于点H，则 NH∥OB，NH＝t.∵OB＝OD，∴∠DBO＝45°， ∴∠DNH＝∠DBO＝45°，∴HN＝ DN， ∴QN＋ DN＝QN＋HN＝－t2＋2t＋3－ (－t＋3)＋t＝－(t－2)2＋4.∵－1＜0， ∴当t＝2时，QN＋ DN的最大值为4. 技巧总结 平面直角坐标系中面积问题的常见题型： (1)求三角形或四边形的面积； (2)已知面积或面积间的关系，求参数或点坐标. 解上述题型的本质是求面积. 情形1：如图，三角形有边在坐标轴或平行于坐标轴→公式法S＝ ah. 情形2：三角形没有边在坐标轴或平行于坐标轴→割补法 (1)对于直角三角形：若已知两条直角边a，b，则S＝ ab. (2)对于非直角三角形： ①如图1，沿x轴或平行于x轴分割：S△ABC＝ a(h1＋h2)＝ CD(yA－yB)； 图1 图2 ②如图2，沿y轴或平行于y轴分割：S△ABC＝ a(h1＋h2)＝ CD(xA－xB)； ③如图，补形为已知面积公式的图形： S△AOB＝S矩形OCDE－S△AOC－S△ADB－S△EOB＝ ｜xAyB－xByA｜. 例2. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C， 直线y＝－x＋3经过B，C两点. (1)求抛物线的表达式； 解：在y＝－x＋3中，令x＝0，得y＝3， 令y＝0，得x＝3， ∴B(3，0)，C(0，3)， 把B(3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c， 得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3； (2)P为第一象限内一点，且点P的横坐标为m. ①连接PA，PB，用含m的式子表示△PAB的面积； 解：由(1)得点P(m，－m2＋2m＋3). ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 点A的坐标为(－1，0)， ∴AB＝3－(－1)＝4. ∴S△PAB＝ ×4×(－m2＋2m＋3)＝－2m2＋4m＋6(0＜m＜3)； ②连接PC，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标. ∴S△PBC＝ PH·｜xB－xC｜＝ ×(－m2＋3m)×3＝－ m2＋ m＝－ (m－ )2＋ . ∵－ ＜0，0＜m＜3，∴当m＝ 时，S△PBC取最大值 ， 此时－m2＋2m＋3＝－()2＋2× ＋3＝ ， ∴点P的坐标为(， ). 针对训练 1. (2024福建)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2). (1)求二次函数的表达式； 解：由题意，将A(－2，0)，C(0，－2)代入 y＝x2＋ bx＋c，得 解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2＋x－2； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于 点D，△PDB的面积是△CDB面积的2倍，求点P的坐标. 解：由题意，设P(m，n)(m＜0，n＞0)， ∵△PDB的面积是△CDB面积的2倍， ∴ ＝2，即 ＝2.∴ ＝2.∵C(0，－2)， ∴CO＝2，∴n＝2CO＝4. 由m2＋m－2＝4，解得m1＝－3，m2＝2 (舍去). ∴点P的坐标为 (－3，4). 2. (2025威海节选)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－3交x轴于点A(－1， 0)，点B，交y轴于点C. 点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在 抛物线y＝ax2＋bx－3上，点E为抛物线的顶点. (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； 解：易得C(0，－3)，∴D(2，－3). 将A(－1，0)，D(2，－3)代入y＝ax2＋bx－3， 得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3. ∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴顶点E的坐标为(1，－4)； (2)连接BC，点M是线段BC上一动点，连接OM，作射线CD. 在射线CD 上取一点F，使CF＝CO，连接FM. 当OM＋FM的值最小时，求点M的 坐标. 解：如解图，连接OF，BF. ∵C(0，－3)，D(2，－3)，∴CD⊥OC. ∵CF＝CO＝3，∴OF＝3 ，F(3，－3)， ∴OM＋FM≥OF＝3 . 当O，M，F三点共线时，OM＋FM的值最小. 令x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3， ∴B(3，0)，∴BF⊥OB. ∵∠BOC＝90°，∴四边形BOCF是矩形， ∵OB＝OC，∴矩形BOCF是正方形， ∴点M是对角线OF的中点， ∴点M的坐标为(，－ ). 24 $