第12节 二次函数的实际应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（贵州专用）

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数实际应用核心考点，覆盖利润问题和抛物线问题，对接中考说明分析考点权重，如利润问题占压轴题24题分值，抛物线问题结合几何直观考查，归纳一次函数解析式求解、二次函数最值计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于中考真题训练与解题技巧指导，如2024贵州中考利润问题，示范通过“审题找关系—列二次函数关系式—利用性质求最值”步骤，培养模型意识和运算能力。抛物线问题中车棚实例，展示建系求解析式及利用对称轴判断高度，帮助学生掌握答题技巧，教师可依此制定冲刺计划，提升复习效率。

数 学 贵州 课堂精讲册 1 第一部分　立足教材过基础 第三单元　函数 第12节　二次函数的实际应用 【解题思路】 (1)审题，找出题目中的数量关系； (2)根据数量关系确定二次函数解析式和自变量的取值范围； (3)利用二次函数的性质(增减性或最值)，结合自变量的取值范围求解. 常用等量关系： (1)利润＝售价－成本； (2)总利润＝每件利润×销售量； (3)利润率＝利润÷ 成本×100％.　 例1. (2024贵州24题)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市 场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是 一次函数关系，下表是y与x的几组对应值. 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1) 求y与x的函数表达式； 解：设y与x的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，由题意，得 解得 ∴y与x的函数表达式为y＝－2x＋80； (2) 糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多 少？ 解：设日销售利润为w元.w＝(x－10)(－2x＋80)＝－2x2＋100x－800＝ －2(x－25)2＋450.∵－2＜0， ∴当x＝25时，w最大，最大值为450. 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； →点拨：由(1)得日销量为 ，单件利润为 ⁠. 根据“日销售利润＝日销量×单件利润”列关系式，并根据二次函数性质 求解. －2x＋80　 x－10　 (3) 若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼 品①，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元②， 求m的值. →点拨：由条件①得单件利润为 ，再根据“日销售利润＝日销量×单件利润”列关系式，由条件②得w最大＝ ⁠. x－10－m　 392　 解：由题意，得w＝(x－10－m)(－2x＋80)＝－2x2＋(100＋2m)x－800 －80m.∵最大利润为392元， ∴ ＝ ＝392，整理得m2－60m＋116＝0，∴(m－2)(m－58)＝0，解得m1＝2，m2＝58. 当m＝58时，x＝54(不符合题意，舍去)，∴m＝2. 例2. (2025江口县三模)第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日－14日在哈 尔滨举办. 亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”. 亚 运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规 定售价不低于进价. 现在售价为每个60元，每天可销售100个. 经市场调查 发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个. 设每个吉祥物降价 x元①(x为整数)，每天的销售量为y个. (1)请直接写出y与x之间的函数关系式； 解：y＝100＋8x； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； 解：由题意得W＝(60－x－40)(100＋8x)＝－8x2＋60x＋2000； (3)在(2)的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的 利润W最大？最大利润是多少元？ 【技巧点拨】每每问题的差量： (1)单价每涨a 元，少卖b 件，则涨价x 元时，少卖的数量为 ·b 件； (2)单价每下降m元，多卖n件，则下降x元时，多卖 ·n件. →点拨：由①得降价x元时，增加的销量为 ⁠. 8x　 解：由(2)得W＝－8x2＋60x＋2000＝－8(x－ )2＋2112.5. ∵－8＜0，∴当x＝ 时，W取得最大值.∵x为整数， ∴当x＝4时，W＝2112；当x＝3时，W＝2108. ∴当x＝4时，利润W最大为2112元.此时定价为60－4＝56(元)， ∴定价为56元，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是2112元. 例3. (2025贵州一模)如图1是某小区设计的一个车棚，其截面如图2所示， 顶棚是抛物线的一部分，OA，BC垂直于地面OC，且AO＝BC＝2 m， OC＝8 m，以OC所在的直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐 标系，顶棚抛物线满足函数关系式y＝ax2＋x＋c(a，c为常数，a≠0). 图1 图2 (1)求顶棚抛物线的函数关系式； 解：由题意得，A(0，2)，B(8，2)，将点A，B的坐标分别代入可得顶棚 抛物线的函数关系式为y＝－ x2＋x＋2(0≤x≤8)； 图1 图2 (2)(北师九下P48T3改编)小星想驾驶一辆高为3 m，宽为2 m的货车进入车 棚①. 通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ 图1 图2 →点拨：由①得，判断货车能否驶入车棚，即比较货车沿以对称轴为中心线行驶时货车的高度和对应抛物线的纵坐标的大小. 由(1)得对称轴为 ⁠； 则此时车身左侧下端点的横坐标为 ⁠. 直线x＝4　 3　 图1 解：如解图1，抛物线的对称轴为直线x＝4. ∵车身的宽为2 m，∴车身FG左侧下端点F的坐标为(3，0)，过点F作 FM⊥OC交抛物线于点M，将x＝3代入y＝－ x2＋x＋2，得y＝ ， 即FM＝ ＞3， ∴小星能驾驶这辆车进入车棚； (3)如图3，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固. 在顶棚A，B之间抛 物线上有两个点D和E(不与点A，B重合). 它们的横坐标分别为t，2t②， 连接AD，AE. 设点A与点D之间部分(含点A和点D)的最高点与最低点的 纵坐标的差为h1，点A与点E之间部分(含点A和点E)的最高点与最低点的 纵坐标的差为h2，当h2－h1＝ t时，求出t的值. 图3 →点拨：本题考查“取值范围含参的二次函数最值问题”(见本书P45). 由条件②得，点E的横坐标2t的取值范围是 ，则分类讨论 如下： ①点D，E均在对称轴左侧； ②点D在对称轴左侧，点E在对称轴右侧(含对称轴). 0＜2t＜8　 解：∵点D，E在抛物线上的点A，B之间，∴0＜2t＜8且0＜t＜4， ∴0＜t＜4，∴D(t，－ t2＋t＋2)，E(2t，－ t2＋2t＋2)， ∴h1＝－ t2＋t＋2－2＝－ t2＋t； ①当点D，E都在直线x＝4的左侧时，如解图2， 则0＜2t＜4，∴0＜t＜2. ∵h2＝－ t2＋2t＋2－2＝－ t2＋2t， ∴h2－h1＝－ t2＋2t＋ t2－t＝ t， ∴t1＝ ，t2＝0(舍)； 图2　 ②当D在对称轴的左侧，点E在对称轴上或右侧时， 如解图3，则0＜t＜4，且4≤2t＜8， ∴2≤t＜4，∴h2＝4－2＝2， ∴h2－h1＝2＋ t2－t＝ t， ∴t3＝6＋2 (舍)，t4＝6－2 (舍)； 综上所述，t的值为 . 图3 针对训练 1. 某特产超市打算销售包装大枣，进价为20元/件，经过市场调查发现， 该产品的日销售量y(件)与当天的销售单价x(元/件)满足如图所示的一次函 数关系. (1)求y与x间的函数关系式； 解：设y与x间的函数关系式为y＝kx＋b. 由题意可得 解得 ∴y＝－10x＋600； (2)求该产品每天获得的利润w(元)的最大值； 解：w＝(x－20)y＝(x－20)(－10x＋600)＝－10x2＋800x－12000＝ －10(x－40)2＋4000. ∵－10＜0，∴当x＝40时，w有最大值，最大值为4000. 答：该产品每天获得的利润w的最大值为4000元； (3)春节前夕，批发商调整进货价格，该产品的进价变为m元/件(m为整 数). 该超市每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该超市为了不亏 本，至少需按25元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过43元/件. 在实际销售过程中，发现每天获得的利润w随x的增大而增大，求m的最 小值. 解：w＝(x－m)(－10x＋600)＝－10x2＋(600＋10m)x－600m. ∵－10＜0，∴抛物线开口向下. ∵对称轴为直线x＝30＋ ，在实际销售过程中，发现每天获得的利润w随x的增大而增大，且25≤x≤43， ∴30＋ ≥43，解得m≥26， ∴m的最小值为26. 2. (2025贵阳云岩区二模)某校为学生拍毕业照设计了一个拱门，该拱门的 横截面由线段AO，BC和一段抛物线构成，AO，BC垂直于地面. 将其截 面放入平面直角坐标系如图1所示，点O为坐标原点，已知AO＝BC＝ m，抛物线顶点E的坐标为(3， ). (1)求拱门抛物线的函数表达式； 解：设抛物线的函数表达式为y＝m(x－3)2＋ . ∵抛物线过点A(0， )， ∴ ＝m(0－3)2＋ ，解得m＝－ ， ∴拱门抛物线的函数表达式为y＝－ (x－3)2＋ ； 图1 (2)现要在抛物线与地面围成的区域中用PQ，PN，NM三根钢架隔出正方 形区域QPNM供师生拍照留念，点P，N在抛物线上，点Q，M在地面 上，求此正方形的边长； 解：设正方形的边长为a m，则点P的坐标为(3－ ，a)， ∵点P在抛物线上，∴a＝－ (3－ －3)2＋ ， 解得a1＝－21(不合题意，舍去)，a2＝3.答：此正方形的边长为3 m； 图1 (3)如图2，在拱门上安装彩灯，要求彩灯到地面的垂直距离为 m，每两个 相邻彩灯之间的水平距离相等且不超过1 m，左右两侧的两个彩灯安装在 拱门的抛物线上，求至少需要安装彩灯的个数. (参考数据： ≈1.4) 图2 解：∵左右两侧的两个彩灯安装在拱门的抛物线上，彩灯到地面的垂 直距离为 m，令y＝ ，则 ＝－ (x－3)2＋ ， 解得x1＝3＋ ，x2＝3－ ， ∴x1－x2＝3 ≈4.2. ∵每两个相邻彩灯之间的水平距离相等且不超过1 m， ∴一共有5个间隔，∴至少需要安装6个彩灯. 30 $