第11节 二次函数的图象与性质-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（贵州专用）

该初中数学中考复习课件系统覆盖二次函数的图象与性质、表达式确定、图像变换及与方程关系等核心考点，严格对接贵州中考说明，分析“二次函数图象与性质”等必考考点权重，按“核心知识梳理-考法变式-模型精讲”归纳选择、填空、解答等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“贵州考法变式练”融入2024贵州12题等中考真题，“方法模型精讲练”通过综合题示范待定系数法、方程与函数转化技巧，培养学生抽象能力和推理意识，如用顶点式求最值、分析参数t的取值范围。助力学生掌握答题技巧，教师可依此实施分层教学，提升复习效率。

数 学 贵州 课堂精讲册 1 第一部分　立足教材过基础 第三单元　函数 第11节　二次函数的图象与性质 核心知识全梳理 贵州考法变式练 方法模型精讲练 1. 定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数， 叫作二次函数. 返回目录 2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 a的 符号 a＞0 a＜0 大致 图象 开口 方向 开口向① ⁠ 开口向② ⁠ 上　 下　 返回目录 对称 轴、 顶点 坐标 对称轴为直线③ 　x＝－ 　；顶点坐标为(－ ， ) x＝－ 　 返回目录 增减 性 在对称轴左侧，y随x 的增大而④ ⁠⁠； 在对称轴右侧，y随x 的增大而⑤ ⁠ 在对称轴左侧，y随x的增大而⑥ ⁠ ⁠； 在对称轴右侧，y随x的增大而⑦ ⁠ 最值 当x＝⑧ ⁠时，y取得最小值，最 小值为 当x＝－ 时，y取得最大值，最大值为 ⑨ ⁠ 减小 增大　 增大 减小　 － 　 　 返回目录 3. 二次函数图象与系数a，b，c的关系 图 象 结 论 a＞0，b ⑩ ⁠0， c⑪ ⁠0，b2－4ac＝0 a＞0，b ⑫ ⁠0，c⑬ ⁠0，b2－4ac＞0 a＜0，b ⑭ ⁠0，c⑮ ⁠0，b2－4ac＜0 a＜0，b⑯ 0， c⑰ 0，b2－4ac＞0 ＝　 ＝　 ＞　 ＝　 ＞　 ＜　 ＞　 ＞　 返回目录 其 他 特 殊 关 系 看到2a＋b，比较 － 和1的大小 看到2a－b，比较－ 和－1的大小 看到a＋b＋c，找当 x＝1时y的值 看到a－b＋c，找当x＝－1时y的值 看到4a＋2b＋c，找 当x＝2时y的值 看到4a－2b＋c，找当x＝－2时y的值 返回目录 【拓展】｜a｜越大，开口越小；｜a｜越小，开口越大；｜a｜相同， 说明抛物线的开口大小相同. 返回目录 1. 基本方法：待定系数法； 返回目录 2. 步骤：设表达式→ 代入已知点的坐标，得方程(组)→ 解方程(组)→ 得 表达式； 返回目录 3. 根据已知条件，设合适形式的表达式 已知条件 应设解析式 任意三个点的坐标 一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 顶点坐标(h，k)＋其他点坐标 顶点式：y＝⑱ (a≠0) 与x轴的两个交点坐标(x1， 0)，(x2，0)＋其他一个点坐标 (或已知对称轴、抛物线与x轴 的一个交点坐标) 交点式：y＝⑲ ⁠(a≠0) a(x－h)2＋k　 a(x－x1)(x－x2) 返回目录 【技巧点拨】(1)顶点式：y＝a(x－h)2＋k (a≠0)的对称轴为直线x＝h， 顶点坐标为(h，k)； (2)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) 的对称轴为直线x＝ ，最值为当x ＝ 时y的值. 返回目录 方法一：a＋顶点法(图象变换的本质就是图象上所有点的整体变换) ①求a值：变换前后，开口大小不变，即｜a｜不变：平移前后，a不 变；沿x轴翻折，a相反；沿y轴翻折，a不变；旋转180°，a相反. ②代顶点：将解析式化为顶点式，根据变换先求a的值，再由顶点的坐标 求出变换后的解析式. 返回目录 方法二：规律法 变换前图象的解析式及顶点坐标 变换方式(m＞0) 变换后的a值 变换后 的顶点坐标 变换后图象的解析式 y＝a(x－ h)2＋k， 顶点(h，k) 向左平移m个 单位长度 a ⑳ ⁠ y＝a(x－h＋m)2＋k (h－m，k) 返回目录 y＝a(x－h)2＋k， 顶点(h，k) 向右平移m个单位长度 a (h＋m，k) y＝a(x－h－m)2＋k 向上平移m个单位长度 a (h，k＋m) ㉑ ⁠ 向下平移m个单位长度 a (h，k－m) y＝a(x－h)2＋k－m y＝a(x－h)2＋k＋m　 变换前图象的解析式及顶点坐标 变换方式(m＞0) 变换 后的 a值 变换后 的顶点坐标 变换后图象的解析式 返回目录 变换前图象的解析式及顶点坐标 变换方式 (m＞0) 变换后的a值 变换后 的顶点坐标 变换后图象的解析式 y＝a(x－h)2＋k， 顶点(h，k) 沿x轴翻折(关于x 轴对称) －a ㉒ ⁠ ⁠ y＝－a(x－h)2－k 沿y轴翻折(关于y 轴对称) a (－h，k) ㉓ ⁠ (h，－k ) y＝a(x＋h)2＋k　 返回目录 y＝a(x－ h)2＋k， 顶点(h，k) 绕顶点旋转 180° －a (h，k) y＝－a(x－h)2＋k 绕原点旋转 180° －a ㉔ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ y＝－a(x＋h)2－k (－h，－k) 变换前图象的解析式及顶点坐标 变换方式(m＞0) 变换后的a值 变换后 的顶点坐标 变换后图象的 解析式 返回目录 【特别提醒】针对二次函数图象(表达式为一般式或其他形式)，左右平移 对x加减，上下平移对y加减，切勿与点坐标的平移规律混淆. 返回目录 1. 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标⇔一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的根. (1)Δ＝b2－4ac＞0⇔方程有两个㉕ 的实数根⇔抛物线y＝ax2 ＋bx＋c与x轴有两个交点； (2)Δ＝b2－4ac＝0⇔方程有两个㉖ 的实数根⇔抛物线y＝ax2＋ bx＋c与x轴有一个交点； (3)Δ＝b2－4ac＜0⇔方程没有实数根⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有 交点. 不相等　 相等　 返回目录 2. 抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝t的位置关系⇔一元二次方程ax2＋bx ＋c＝t的解的情况； 返回目录 3. 抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋m的位置关系⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝kx＋m的解的情况. 返回目录 【拓展】二次函数与不等式的关系 (1)ax2＋bx＋c＞0⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴上方对应的 点的横坐标的取值范围； (2)ax2＋bx＋c＜0⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴下方对应的 点的横坐标的取值范围. 返回目录 1. (人教九上P41T7改编)已知二次函数y＝2x2＋4x＋3. (1)[2021贵阳13题考法]该函数图象的开口方向是 ⁠； (2)对称轴为直线 ⁠； (3)该函数有最 值，是 ⁠； (4)当x＜－1时，y随x的增大而 ⁠； (5)当－2≤x≤1时，y的取值范围是 ⁠； (6)若该二次函数的图象经过点(－1，a)，(2，b)，则a b； (7)若点C(3，y1)，D(－1，y2)，E(－2，y3)均在该二次函数的图象上， 则y1，y2，y3的大小关系为 .(用“＜ ”连接) 向上　 x＝－1　 小　 1　 减小　 1≤y≤9　 ＜　 y2＜y3＜y1　 返回目录 链接：含参数的二次函数值大小比较的常见方法见本书P44类型2. 返回目录 2. (2024贵州12题)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一 个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是 (　D　) A. 二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当x＜－1时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 D 返回目录 3. (2023贵州10题)已知，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点 P(a，b)所在的象限是 (　D　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 D 返回目录 【变式设问】在上述条件下，若该抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结 论不正确的是 (　C　) A. a＋b＋c＜0 B. ac＜0 C. b2＜4ac D. 2a＋b＝0 C 返回目录 4. (2025贵州一模)如图，已知等边△ABC的边长为1，D是BC边上的一点 (不与端点重合)，过点D作AB边的垂线，交AB于点G，设AG＝x， Rt△BGD的面积为y，则y关于x的函数图象为(　B　) B A B C D 返回目录 【解析】由题意得，BG＝1－x，∵∠B＝60°，∴DG＝BG·tanB＝ (1－x)，BD＝ ＝2(1－x)，又∵D是BC边上的一点(不与端点重 合)，∴0＜2(1－x)＜1，∴ ＜x＜1，∴y＝ BG·DG＝ (1－x)× (1 －x)＝ x2－ x＋ ，根据解析式和x的取值范围可知B正确，故选B. 返回目录 5. (人教九上P47T4改编)(1)若抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点(－1，0)和 (0，3)，则其解析式是 ⁠； (2)若抛物线的顶点坐标为(2，8)，且经过点(3，9)，则其解析式是 ⁠ ⁠； (3) 若抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(3，0)，且经过点 (2，－2)，则其解析式是 ⁠. y＝－x2＋2x＋3　 y＝x2 －4x＋12　 y＝ x2－ x－2　 返回目录 6. (2019贵阳24题改编)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于 A，B两点，与y轴交于点C，且A(－1，0)，对称轴为直线x＝2，则该抛 物线的表达式为 ⁠. y＝x2－4x－5　 返回目录 7. (人教九上P35例3改编)将抛物线y＝－ (x＋1)2－1先向左平移2个单位 长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为(　B　) A. y＝－ (x－1)2－2 B. y＝－ (x＋3)2 C. y＝－ (x＋3)2－2 D. y＝－ x2－2 B 返回目录 【拓展设问】将抛物线y＝－ (x＋1)2－1先向右平移 ⁠个 单位长度，再向上平移 个单位长度后，得到的新抛物线 经过原点.(写出一种方式即可) 1(答案不唯一)　 1(答案不唯一)　 返回目录 8. 将抛物线y＝－x2＋x＋6关于x轴作轴对称得到的新抛物线的解析式 为 ⁠. y＝x2－x－6　 返回目录 9. (北师九下P51议一议改编)如图，已知二次函数y＝x2＋bx的图象与x轴 交于点A(－3，0)和原点. (1)方程x2＋bx＝0的解为 ⁠； (2)若t＞0，则关于x的方程x2＋bx＝t的根的个数为 ⁠； (3)如图，若一次函数y＝x＋a和该二次函数图象交于点A (－3，0)和点B. ①经过点A，B的直线的解析式为 ⁠； ②方程x2＋bx－x－a＝0的解为 ⁠. x1＝－3，x2＝0　 2　 y＝x＋3　 x1＝－3，x2＝1　 返回目录 【拓展设问】关于x的不等式x＋a＞x2＋bx的解集是 ⁠. －3＜x＜1　 返回目录 10. 已知抛物线y＝kx2＋2x＋1与x轴有交点，则k的取值范围是(　B　) A. k＞1 B. k≤1且k≠0 C. k≤1 D. k＜1且k≠0 B 返回目录 【变式】抛物线y＝2x2＋3x＋1与x轴的交点情况为(　A　) A. 有两个交点 B. 有一个交点 C. 没有交点 D. 无法确定 A 返回目录 二次函数的性质综合题(近5年常考题型) 11. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过 点A(－1，0)，B(2，3). 返回目录 (1)①求此二次函数的解析式； ②函数的最大值； 解：①∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(2，3)， 将点A，B的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3； ②y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.∵抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝1，∴当x＝1时，y取最大值为4； →点拨：利用待定系数法和配方分别求二次函数的解析式和顶点坐标. 返回目录 (2)(2025贵阳南明区二模改编)若关于x的方程－x2＋bx＋c－t＝0(t为实 数)在－1＜x＜5的范围内有解，直接写出t的取值范围； 解：－12＜t＜4； →点拨：关于x的方程－x2＋bx＋c－t＝0解的问题，可转化为抛物线 y＝－x2＋bx＋c和直线y＝t的交点问题. 进而转化为求在－1＜x＜5的范围内y最小＜t＜y最大. 返回目录 (3)点M为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点M作MN∥x轴， 点N的横坐标为－m＋3. 已知点N在点M右侧，当MN≤5时，直接写出 线段MN与二次函数y＝－x2＋bx＋c(－1≤x＜ )的图象只有一个交点时 对应的m的取值范围. 返回目录 →点拨：因为MN的位置不定，根据MN≤5得m的取值范围，可将本题转 化为动范围内的线段与抛物线的交点问题. 分类讨论： ①当点M在对称轴上； ②点M在对称轴右侧； ③点M在对称轴左侧，且m＞ ； ④点M在对称轴左侧，且m≤ . 返回目录 解：由题意得MN＝－m＋3－m＝－2m＋3. ∵0＜MN≤5，∴0＜－2m＋3≤5，解得－1≤m＜ ， 如解图1，当点M在对称轴上时，m＝1， 点M在最高点，MN与图象有一个交点； 　　 图1 返回目录 如解图2，m增大过程中，1＜m＜ ，点M，N在对称轴右侧，MN与图 象只有一个交点； 如解图3，点M在对称轴左侧，直线x＝ 关于对称轴直 线x＝1对称后的直线为x＝ ， ∴当 ＜m＜1时，MN与图象有两个交点； 图2 图3 返回目录 如解图4，点M在对称轴左侧，当－1≤m≤ 时，MN与图象有一个交 点. 综上，线段MN与二次函数y＝－x2＋bx＋c(－1≤x＜ )的图象只有一 个交点时，m的取值范围为1≤m＜ 或－1≤m≤ . 图4 返回目录 返回目录 50 $