6.2.4 向量的数量积 (第一课时)课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积 第一课时 学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景（力对物体做功），理解向量的夹角。 2.掌握向量的数量积公式和夹角公式。 3.应用向量的数量积解决相关问题。 导入新知 前面我们学习了向量的加、减运算．类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义呢？ 在物理课中我们学过功的概念：一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功 其中θ是力F与位移S的夹角. 功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？ 数学上，我们把“功”称为向量F与向量S的“数量积”，“数量积”即是两个向量相乘的结果. 情景导入 如果将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？ 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积. 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念. 新知探究1——向量的夹角 向量的夹角：已知两个非零向量 ，O是平面上的任意一点，作 则∠AOB＝θ ( ) 叫做向量 的夹角． 记作: < > 0≤θ≤π θ 显然，当θ=0时， 同向; 当θ=π时， 反向. 如果 的夹角是 ，我们说 垂直，记作 . 注：(1)向量的夹角可表示为<>； (2)向量夹角范围是； (3)向量的夹角是两向量共起点时所夹的角； 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 5 小试牛刀 50° A B C 45° 85° 在△ABC中，已知A=45°，B=50°，C=85°，写出下列向量的夹角： (1) 45° 130° 85° 45° 130° 85° (2) (3) 注意: 两个向量的夹角必须共起点.（可以平移实现） 新知探究2——平面向量数量积 向量乘法的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为 θ ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量与的数量积（或内积）记作·，即 注意：(1)之间只能用实心圆点“”连接，且不能省略，也不能用“×”； (2)运算结果是一个实数，而不是向量. (3)运用公式解题时，一定要注意向量夹角范围是. 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 7 问题引领，深入思考 想一想：向量的数量积是一个数量，它有正有负，正负由什么决定？ 符号由夹角θ决定 【练习】已知 ΔABC 为锐角三角形，那么 的值（ ） A. 小于零 B. 等于零 C. 大于零 D. 不确定 A 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 8 知识回顾——余弦cos cosα 特殊角的余弦函数值 y x o 1 -1 y= cosx，x[0, 2] 典例讲解 例9： 解： 练习 练习 已知，，求与的数量积？ 解：当时， 若与同向，则， 若与反向，则， 典例讲解 例10： 解： 练习 已知=3，=4， ，求与的夹角θ. 因为，所以 当堂检测 当堂检测 当堂检测 课堂小结 课本练习 课本练习 1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　) (3)若a，b共线⇔a·b＝|a||b|.(　　) (4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(　　) 在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则eq \o(BC,\s\up15(→))·eq \o(CA,\s\up15(→))＝(　　) A．20　　　　　　 B．－20 C．20eq \r(3) D．－20eq \r(3) 【解析】　eq \o(BC,\s\up15(→))·eq \o(CA,\s\up15(→))＝|eq \o(BC,\s\up15(→))||eq \o(CA,\s\up15(→))|cos 120°＝5×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－20. 3．在△ABC中，eq \o(AB,\s\up15(→))＝a，eq \o(BC,\s\up15(→))＝b，且b·a＝0，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【解析】　在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形． 向量数量积的概念 1.已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.关于数量积的结果 (1)非零向量数量积的运算结果是一个数量， 当0°≤θ<90°时，a·b>0； 当90°<θ≤180°时，a·b<0； 当θ＝90°时，a·b＝0. (2)特别地，如若a或b等于零，则a·b＝0. $