精品解析：黑龙江省绥化市青冈县哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025-2026学年高二下学期开学初考试数学试题

哈师大青冈实验中学2025--2026学年度学期初考试 高二数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 经过点，倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点斜式方程即可求解； 【详解】由于倾斜角为，所以， 所以直线方程为：， 整理得：， 故选：A 2. 设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（ ） A. -1 B. -3 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】解：因为， 所以， 故选：D 3. 各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（ ） A. 或15 B. 15 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则， 由，，为等差数列，则，即，即， 解得或（舍去），又，所以. 故选：B 4. 已知，，，点在平面内，则的值为（ ） A B. 1 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】结合向量的坐标运算，利用平面向量的共面定理即可得出. 【详解】∵点在平面内，∴存在实数，使得等式成立， ∵，，， ∴， ∴，解得. 故选：D 5. 已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（    ） A. B. C. 或1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出公共弦方程，在根据勾股定理由弦长计算圆心到公共弦的距离进而求出，最后再求圆的半径. 【详解】两圆相减得公共弦方程为：， 根据题意可知，圆的圆心到公共弦的距离， 解得：或， 当时，圆的标准方程为：， 当时，圆标准方程为：， 所以或. 故选：C 6. 设数列前项之积为，满足，则（ ） A. B. 4049 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件先证明出为等差数列，然后求解出的通项公式，由此可求结果. 【详解】因为，所以， 所以，所以，所以是公差为的等差数列， 因为，所以， 所以，所以， 故选：C. 7. 已知m，n为非零常数，函数，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，先对求导，再将，代入导函数，即可求解． 【详解】函数， 则， 故． 故选：C． 8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答. 【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点， 对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由，得，， 在中，，则，， 由正弦定理得，，解得，则， 所以该椭圆的离心率. 故选：A 二、选择题（本题共小3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分） 9. 若方程所表示的曲线为，下列说法正确的是（ ） A. 苦为椭圆，则 B. 若为双曲线，则或 C. 曲线可能是圆 D. 若为焦点在轴上的椭圆，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二元二次方程与选项中曲线方程的结构特征，得到对应的不等式，解之即可得解. 【详解】因为方程，即所表示的曲线为， 对于A，若为椭圆，则，且，故A错误； 对于B，若为双曲线，则，或，故B正确； 对于C，当，即时，曲线为圆，故C正确； 对于D，若为焦点在轴上的椭圆，则，，故D错误. 故选：BC. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若、、三点共线，则的值为0 B. 经过点，且在两坐标轴上的截距相反的直线方程为 C. 已知两点、，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为 D. 经过直线和直线的交点，且和原点相距为的直线一共有三条 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据可知直线重合，从而三点共线；B选项，根据截距互为相反数可知直线过原点也符合，可判断B选项错误；C选项，作出图形，结合斜率的变化情况求解；D选项，先求出直线的交点，结合点到直线的距离公式求解. 【详解】共线时，意味着直线重合，此时，即，解得，A选项正确； 当直线经过原点和时，方程为，在横纵坐标上截距都是，也互为相反数，符合题意，答案不完整，因此B选项错误； 如图，，于是结合图形可知，的取值范围为，C选项正确； 先求得和直线的交点为， 当直线斜率不存在时，，显然和原点距离是； 当斜率存在时，设，由原点到直线的距离是， 解得，即符合题意的直线有，，共两条，D选项错误. 故选：AC 11. 已知数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 是递增数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题中条件可得，判断A；通过两式相减的，变形可得出，判断B； 根据求和公式结合作差法比较大小判断C，D； 【详解】对于A，由得， ，所以．A正确； 对于B，将与整体相减得，， 所以， 又，即， 所以． 因此不是等比数列，B错误； 对于C,因为， 所以当时，． 当时，． 当时，，因此,C正确； 对于D，因为， 所以， 所以， 因此是递增数列，D正确； 故选:ACD． 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，，根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】依题意可得，， 所以 . 故答案为： 13. 已知，直线与相交于点，是抛物线上一点，则最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程可确定两条直线垂直及所过定点，由此可得点轨迹为圆，设，结合圆上点到定点距离最值和二次函数最值的求法可求得结果. 【详解】，， 由得：，恒过定点； 由知：恒过定点； ，点轨迹是以为圆心，半径的圆（不含点）； 设，， 则当，即时，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆上点到曲线上的点的距离最值的求解问题，解题关键是能够根据两直线之间的位置关系及所过定点确定两直线交点轨迹为圆，进而利用圆的对称性来求解. 14. 已知函数，，存在直线过点与曲线和都相切，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的几何意义表示出切线方程，根据切线过点，求出，即可求出切线方程，再得到方程组，即可求出. 【详解】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点， 由，则，则，则切线为， 又切线过点，所以，即，所以， 所以切线方程为，由，则， 则，解得. 故答案为： 四，解答题（本题共5个小题，其中15小题13分，16.17小题每题15分，18.19小题每题17分，共77分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知曲线. （1）求曲线过点的切线方程； （2）求满足斜率为的曲线的切线方程. 【答案】（1）. （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出切点坐标，利用导数的定义求出切线的斜率，再求切线方程，将点的坐标代入，即可进一步求得切线方程； （2）根据导数公式求切点坐标，再求切线方程. 【小问1详解】 又不在曲线上. 设过点的切线的切点为， 则，即该切线的斜率为. 因为点在切线上， 所以， 解得.故切线的斜率. 故曲线过点的切线方程为，即. 【小问2详解】 设斜率为的切线的切点为， 由（1）知，，得. 所以切点坐标为或. 故满足斜率为的曲线的切线方程为 或， 即或. 16. 在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称. （1）求的半径； （2）过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意点在直线上，即可求出，从而得解； （2）首先求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出所对应的直线方程，即可得解. 【小问1详解】 圆，即， 则圆心为，半径， 因为上存在两点关于直线对称，所以点在直线上， 所以，解得， 所以的半径； 【小问2详解】 由（1）可得，圆心为， 因为过坐标原点的直线被截得的弦长为，所以圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，则，解得， 所以直线的方程为，即； 综上可得直线的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，平面PAD，△PAD为等边三角形，//，，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点． （1）求证：∥； （2）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理分析证明； （2）根据题意可在平面，建系，利用空间向量求面面夹角； （3）设，求点G的坐标，根据线面平行的向量关系分析运算. 【小问1详解】 因为//，平面，平面， 所以//平面， 又因为平面，平面平面直线l， 所以∥. 【小问2详解】 取的中点，连接， 由题意可得：//，且， 则为平行四边形，可得//， 且平面PAD，则平面PAD， 由平面PAD，则， 又因为△PAD为等边三角形，则为的中点，可得， ，平面，则平面， 如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，即， 由题意可知：平面PAD的法向量， 可得， 所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值. 【小问3详解】 由（2）可得：， 设，，则， 可得，解得， 即，可得， 若∥平面AEF，则， 可得，解得， 所以存在点，使得∥平面AEF，此时. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系可将已知化为，再根据等比数列的定义可求出数列的通项，再根据与的关系即可得解； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 由，得， 所以， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 当时，， 当时，上式不成立， 所以； 小问2详解】 由（1）得， 则， 即， ， 两式相减得， 所以. 19. 已知点，在双曲线（，）上，直线. （1）求双曲线的标准方程； （2）当且时，直线与双曲线分别交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点； （3）当时，直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将点的代入方程，求出a,b,即可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，结合韦达定理可得直线方程，即可得证. （3）由已知可得直线与双曲线相切，可得，也可得点与，进而可得点的轨迹方程. 【小问1详解】 由点，在双曲线， 即，解得， 所以双曲线方程为； 【小问2详解】 由已知，设，， 联立直线与双曲线，得， 则，即，且， ，， 又点与关于轴的对称， 则， 所以， 即， 即，恒过定点； 【小问3详解】 由已知直线，，且， 联立直线与双曲线，可得， 则,， 即，， 所以，,代入直线可得， 即， 所以直线，即， 所以，， 即，可得. 【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学2025--2026学年度学期初考试 高二数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 经过点，倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（ ） A -1 B. -3 C. 1 D. 3. 各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（ ） A 或15 B. 15 C. 或 D. 4. 已知，，，点在平面内，则的值为（ ） A. B. 1 C. 10 D. 11 5. 已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（    ） A. B. C. 或1 D. 6. 设数列的前项之积为，满足，则（ ） A B. 4049 C. D. 7. 已知m，n为非零常数，函数，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共小3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分） 9. 若方程所表示的曲线为，下列说法正确的是（ ） A. 苦为椭圆，则 B. 若为双曲线，则或 C. 曲线可能是圆 D. 若为焦点在轴上椭圆，则 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若、、三点共线，则的值为0 B. 经过点，且在两坐标轴上的截距相反的直线方程为 C. 已知两点、，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为 D. 经过直线和直线的交点，且和原点相距为的直线一共有三条 11. 已知数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 是递增数列 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则__________. 13. 已知，直线与相交于点，是抛物线上一点，则的最小值为__________. 14. 已知函数，，存在直线过点与曲线和都相切，则__________． 四，解答题（本题共5个小题，其中15小题13分，16.17小题每题15分，18.19小题每题17分，共77分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知曲线. （1）求曲线过点的切线方程； （2）求满足斜率为的曲线的切线方程. 16. 在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称. （1）求的半径； （2）过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程. 17. 如图，在四棱锥中，平面PAD，△PAD为等边三角形，//，，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点． （1）求证：∥； （2）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由． 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 19. 已知点，在双曲线（，）上，直线. （1）求双曲线的标准方程； （2）当且时，直线与双曲线分别交于，两点，关于轴对称点为.证明：直线过定点； （3）当时，直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $