精品解析：广东广州番禺中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷

2025-2026学年广东番禺中学高二上学期第二次段考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在四面体中，点满足，为中点，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线上一点A到焦点的距离为8，则点A的横坐标为（ ） A. 2 B. 5 C. 3 D. 8 4. 已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的夹角是钝角 B. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C. 直线经过点，则到的距离为 D. 直线的方向向量，平面的法向量，则 6. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 我们知道，空间中，过点且一个法向量为的平面，其方程可以写成，则点到平面的距离 （ ） A. B. C. D. 8. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 方程有两个解 B. 方程无解 C. 的最小值为 D. 的最大值为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 10. 已知椭圆的离心率为，长轴长为6，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦距为4 B. 椭圆的标准方程为 C. D. 的最大值为 11. 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中正确的是（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为4 C. 二面角的余弦值为 D. 若点P，Q在线段BM，CH上移动，则PQ的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 向量，且，则___________． 13. 直线：是圆：的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为________． 14. 过双曲线（）的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率是________． 四、解答题（共77分） 15. 在中，角的对边分别是，已知，，且． （1）求的面积； （2）若角为钝角，点为中点，求线段的长度． 16. 已知椭圆的离心率为，点(2，1)在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程． （2）直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 17. 某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如下该种产品日需求量的频率分布直方图． （1）求图中a的值，并估计日需求量的众数； （2）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天需求量为件（），纯利润为S元． （ⅰ）将S表示为的函数； （ⅱ）据频率分布直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率． 18. 在中，，分别是上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 19. 已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点． （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线与交于M，N两点，且点为线段MN的中点，求的面积． （3）若直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点，满足，试探究与的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东番禺中学高二上学期第二次段考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， ， 所以， 故选：D 2. 在四面体中，点满足，为中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，化简得到，结合，求得的值，即可求解. 【详解】在四面体中，点满足，为中点， 连接，则， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 3. 抛物线上一点A到焦点的距离为8，则点A的横坐标为（ ） A. 2 B. 5 C. 3 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由焦半径公式即可求解. 【详解】由焦半径公式可得：，又， 所以， 故选：B 4. 已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据两圆的圆心距与半径之间的关系判断两圆的位置关系，进而可知公切线的条数． 【详解】由圆：，可知其圆心为，半径为； 由圆：，即，可知其圆心为，半径为． 所以两圆的圆心距为， 所以，所以两圆外切，所以公切线的条数为3． 故选：C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的夹角是钝角 B. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C. 直线经过点，则到的距离为 D. 直线的方向向量，平面的法向量，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，由，得到是钝角或平角判断；对于B，假设三个向量共面，由是否成立判断；对于C，易得，从而即为所求；对于D，由与是否共线判断. 【详解】对于A，若，则的夹角是钝角或平角，故A错误； 对于B，假设三个向量共面，则， 所以，又是空间的一组基底， 所以，无解，即不共面，所以也是空间的一组基底，故B正确； 对于C，因为，，，则，，，故到的距离为，故C错误； 对于D，因为直线的方向向量，平面的法向量， 则，故与不共线，即不成立，故D错误； 故选：B 6. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的离心率，求出的比值，再根据渐近线方程求解即可. 【详解】已知双曲线的离心率，即， 所以，所以， 所以其渐近线方程为. 故选：D 7. 我们知道，空间中，过点且一个法向量为的平面，其方程可以写成，则点到平面的距离 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知平面法向量，然后利用点面距离的向量公式求解即可. 【详解】在平面上任取一点，不妨取原点，设点为， 所以，点为坐标原点， 由题意平面的法向量为， 则点到平面的距离． 故选：D 8. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 方程有两个解 B. 方程无解 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】A 【解析】 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的值域，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为， 所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的 距离之和，即. 作点关于轴的对称点，则， 当三点共线时，取到最小值 ， 所以有最小值； 当点向轴正、负方向无限移动时，距离之和无限增大， 所以. 因为，所以方程有互为相反数的两个解，故A正确，B错误； 因为有最小值，故C错误；因为无最大值，故D错误. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 【答案】AC 【解析】 【分析】运用两直线平行性质可判断A项，运用两直线垂直的性质可判断B项，提取参数后计算可判断C项，由截距定义可求得a的值进而可判断D项. 【详解】对于A项，若，则，解得或， 经检验，均符合，故A项正确； 对于B项，若，则，解得或，故B项不成立； 对于C项，因为， 则由得，所以l恒过点，故C项正确； 对于D项，若直线n在x轴上的截距为6，即直线n过点， 则，得， 所以直线n的方程为，斜截式为，故D项不成立． 故选：AC. 10. 已知椭圆的离心率为，长轴长为6，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦距为4 B. 椭圆的标准方程为 C. D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据条件先求椭圆的方程，再判断选项AB，由两点间距离公式判断C，D选项利用椭圆的定义，将距离的和转化为距离差的最大值，利用数形结合，即可判断. 【详解】由条件可知，，得， 所以椭圆的焦距，椭圆的标准方程为，故A正确 ，B错误； ，，，故C正确； ， 当点三点共线，且点在之间时，等号成立，故D正确. 故选：ACD 11. 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中正确的是（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为4 C. 二面角的余弦值为 D. 若点P，Q在线段BM，CH上移动，则PQ的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正四面体的表面积即可求解A，利用割补法，结合体积公式即可求解B，根据二面角的定义，结合余弦定理即可求解C，建立空间坐标系，利用点点距离即可求解D. 【详解】因为，所以．蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成，故该几何体的表面积为，A错误． 该几何体的体积为，B正确． 设EF的中点为，连接OB，OH，则, 则即二面角的平面角．，，C正确． 建立如图所示的空间直角坐标系，设， ，当且仅当，时，等号成立．故PQ的最小值为，D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 向量，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量垂直和平行的条件求出、，再计算向量的模长. 【详解】由，得，解得. 由，设，即，得，. 故，，则，其模长为. 故答案为： 13. 直线：是圆：的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线过圆心求出，然后可得直线的方程，再利用点到直线的距离公式和弦长公式可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 由题意可知，直线经过圆心，所以，解得，所以， 又直线的斜率为1，所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以，直线被圆所截得的弦长为. 故答案为： 14. 过双曲线（）的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】取线段的中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答. 【详解】设双曲线的右焦点为，半焦距为，取线段的中点， 因为切圆于，则，有， 因为，则有，， 而为的中点，于是即，， 在中，，整理得， 所以双曲线的离心率为． 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 在中，角的对边分别是，已知，，且． （1）求的面积； （2）若角为钝角，点为中点，求线段的长度． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由，根据正弦定理可证得，，利用面积公式求得结果； （2）运用公式即可求得结果. 【详解】（1）， ， （2）由为钝角可得， 【点睛】本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理求三角形边长，再运用面积公式求出三角形面积，在求解过程中要注意公式的运用，尤其是边角的互化，熟练掌握公式是本题的解题关键 16. 已知椭圆的离心率为，点(2，1)在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程． （2）直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据离心率和过点，列式计算即可求解； （2）①将直线的方程与椭圆方程联立，利用根的判别式即可求解；②利用韦达定理和弦长公式即可求解. 【小问1详解】 因为点在椭圆C上，所以． 椭圆的离心率为，解得． 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 联立，得（*）． ①，解得， 所以的取值范围为． ②设，由（*）式有， 由弦长公式有， 整理得， 解得且满足， 所以. 17. 某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如下该种产品日需求量的频率分布直方图． （1）求图中a的值，并估计日需求量的众数； （2）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天需求量为件（），纯利润为S元． （ⅰ）将S表示为的函数； （ⅱ）据频率分布直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率． 【答案】（1），估计日需求量众数为125件 （2）（ⅰ）；（ⅱ）0.7 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有的小长方形的面积之和为一求出的值，利用直方图中最高的小长方形底边的中点的横坐标求出众数； （2）（ⅰ）设当天的需求量为件，讨论、，写出函数分段形式； （ⅱ）由（ⅰ）中所得函数解出纯利润不少于元时的范围，再利用直方图中频率估计相应的概率值. 【小问1详解】 由直方图可知：，可得. 由图知：频率最高出现在，则众数为件. 【小问2详解】 （ⅰ）当时， 当时， ∴. （ⅱ）若得：，又，所以. 由直方图知：对应频率是， 所以估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7. 18. 在中，，分别是上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为在中，，且， 所以，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知且都在面内， 所以平面； （2） （3） 存在；的长度为0 【解析】 【分析】（1）通过证明、证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得与平面所成角的大小. （3）假设在线段上存在点符合题意，根据平面与平面成角余弦值列方程，由此求得，进而求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，故， 由几何关系可知，， 故， ， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，故平面的一个法向量为， 设与平面所成角的大小为， 则有，所以， 即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为， 在空间直角坐标系中，设，其中，则， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，故平面的法向量为， 由（2）知平面的一个法向量为， 若平面与平面成角余弦值为， 则满足， 化简得，解得或（舍去），即与重合，， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为， 此时的长度为0． 19. 已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点． （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线与交于M，N两点，且点为线段MN的中点，求的面积． （3）若直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点，满足，试探究与的关系. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的顶点即可得出抛物线的焦点，求出即得抛物线方程； （2）设，由中点弦公式计算可得，直线的方程为，直线与抛物线联立方程，利用弦长公式及三角形面积公式列式计算即可求解； （3）设直线的方程为，，，由平面共线向量的坐标表示可得、，列出方程化简即得解. 【小问1详解】 由题知，椭圆右顶点坐标为，抛物线开口向右， 所以，故，即， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 如图，由题意，设， 代入抛物线方程，可得， 两式相减可得，即， 由可得，故， 又由点为线段的中点且点在抛物线内， 所以直线的方程为，即. 联立，得，其中， 故， 所以， 又因为到直线的距离， 所以的面积. 【小问3详解】 由（1）得，直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点， 则直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，，， 则，因为，所以，， 因为点在上，所以，即，所以． 由，可得，， 因为点在上，所以，即，所以． 由，得， 因为，，所以，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $