专题6.8 余弦定理与正弦定理重难点题型专训--2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

该高中数学讲义通过知识框架系统梳理了余弦定理、正弦定理及三角形面积公式三大核心知识点，以公式表达、语言叙述、推论及推导示例构建完整知识脉络，搭配即时训练巩固基础，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于7大题型分层设计，如“正弦定理判定三角形解的个数”“边角互化应用”等，结合拓展训练深化理解，培养数学思维与运算能力。分层练习满足不同学生需求，自我检测助力自主复习，为教师精准教学提供有力支持。

专题6.8 余弦定理与正弦定理重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 余弦定理解三角形 题型二 余弦定理边角互化的应用 题型三 正弦定理解三角形 题型四 正弦定理判定三角形解的个数 题型五 正弦定理求外接圆半径 题型六 正弦定理边角互化的应用 题型七 三角形面积公式及其应用 拓展训练一 余弦定理的解析及应用 拓展训练二 正弦定理的解析及应用 知识点一： 余弦定理 1、公式表达： a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 注：余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、推论： cos A＝， cos B＝， cos C＝ 4、余弦定理的推导示例：在中，内角，，所对的边分别为，， 如图，因为， ∴， 即 从而 同理，根据，， 可以得到， 【即时训练】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得，即， 可得，解得或． 故选：A. 2．（24-25高一下·福建泉州·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则__________ 【答案】 【分析】根据题意整理可得，结合余弦定理即可得结果. 【详解】因为，整理可得， 则， 且，所以. 故答案为：. 知识点二： 正弦定理 1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 【注意】正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ①， ②， ③，，， ④， ⑤，，（实现边和角的互相转化） 3、正弦定理的推导示例： 当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义， CD＝asinB，CD＝bsinA， 所以asinB＝bsinA，得到＝. 同理，在△ABC中＝. 从以上的讨论和探究可得：＝＝. 【即时训练】 1．（2026·云南红河·模拟预测）在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，然后检验即可. 【详解】由正弦定理，得，即． 又因为，所以或． 经检验：当时，；当时，，均符合题意． 故选：D． 2．（25-26高三上·广东湛江·月考）设的内角，，的对边分别是，，，若，则_____. 【答案】5 【分析】由正弦定理角化边，即可求解 【详解】因为， 由正弦定理可得：，又， 解得. 故答案为：5 知识点三： 三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 【即时训练】 1．（24-25高一下·四川绵阳·月考）已知是边长为4的正三角形，D是△ABC内的一点，且满足，则△ABD的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点为，连接，由题意得，即点为的重心，所以，即即可求解. 【详解】取的中点为，连接，则， 由有， 即，所以点为的重心， 即， 所以， 故选：A.    2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为________． 【答案】 【分析】由余弦定理得出，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】由得，， 由余弦定理得，， 所以的面积为， 故答案为：． 【经典例题一 余弦定理解三角形】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】根据余弦定理得. 由于，所以. 故选：D. 【例2】（2026高一·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为. (1)若， ， ，求； (2)若，，，解这个三角形. 【答案】(1)7 (2), 【分析】（1）利用余弦定理直接求解即可； （2）利用余弦定理求出得，再根据可得答案. 【详解】（1）在中，， ， ， 由余弦定理得，， 所以； （2）由余弦定理得，即， 解得（负值舍去），所以，即， 所以. 1．（2026·河南·模拟预测）在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形角平分线的性质确定的长度，再利用余弦定理求和的长. 【详解】如图： 因为平分，所以，又，所以. 在中，根据余弦定理，可得， 在中，根据余弦定理，， 所以. 2．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）在中，已知，则角的可能值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由条件通过配方得到，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由， 即， 所以， 或. 故选：AC 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，若，，，则____________． 【答案】 【分析】先由余弦定理求出c边，再由余弦定理即可求出. 【详解】因为，，， 所以，故， 所以由余弦定理得. 故答案为： 4．（25-26高一下·全国·单元测试）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求； (2)设为边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由求得，再由余弦定理求得即可； （2）先由余弦定理求得，再求即可． 【详解】（1）由得． 由，得． 由余弦定理，，，， 代入并整理得，故． （2）在中，已知，，， 则由余弦定理的推论得． 因为，所以为直角三角形，则， 即，解得． 【经典例题二 余弦定理边角互化的应用】 【例1】（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 【例2】（2024高三·全国·专题练习）记的内角、、的对边分别为、、，已知，求. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理角化边，再利用余弦定理求出. 【详解】在中，由及余弦定理 得，化简得， 由余弦定理得，而， 所以. 1．（24-25高一下·宁夏银川·月考）如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若边上的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在和中，利用余弦定理建立方程，求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 相加得，又，解得， 故选：A 2．（多选）（24-25高一下·湖南衡阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用余弦定理和倍角公式得出或，结合角的范围及函数值可得答案. 【详解】依题可得，即，则或， 因为，所以或或． 故选：ACD 3．（2024高一·全国·竞赛）在等腰中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则__________. 【答案】 【分析】首先根据余弦定理，判断三角形的形状，再根据正切值求解. 【详解】由余弦定理得，即. 又是等腰三角形，当时，有; 当或者时，同理有，故是等边三角形， 所以. 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】思路一：由余弦定理，构造一个三角形，结合三角形两边之和大于第三边即可得证；思路二：由放缩结合三角形两边之和大于第三边即可得证. 【详解】证法1：由余弦定理可构造， 使，，，， 则， 同理得，. 由三角形两边之和大于第三边，可得， 即. 证法2：由a，b，c为正数， 知，， 相加得. 【经典例题三 正弦定理解三角形】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由，所以， 所以． 故选：D. 【例2】（25-26高二上·江苏连云港·期末）在中，已知，为边上一点，，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的结论，利用正弦定理求解即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理，得， 而，则，所以. （2）在中，由正弦定理，得， 所以. 1．（25-26高一下·全国·单元测试）在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出，结合三角形的内角和定理得到的值，从而得到的值． 【详解】因为，，， 由正弦定理得， 得， 所以或，经检验，均满足题意． 当时，由三角形的内角和定理得； 当时，由三角形的内角和定理得． 因此或． 故选：B. 2．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据已知条件利用正弦定理直接求解即可． 【详解】由正弦定理得，即， ，又， 或． 故选：BC． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，，，则__________，__________． 【答案】 8 4 【分析】由条件确定三角形为直角三角形，再结合正弦定理即可求解. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理，得．又， 所以，． 故答案为：8；4 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在中，，点D在线段上， (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理求解即得. （2）在中分别利用正弦定理，再结合已知求出. 【详解】（1）在中，，，， 由正弦定理，得，所以. （2）在中，，而，， 则，又，因此， 在中，， 所以. 【经典例题四 正弦定理判定三角形解的个数】 【例1】（25-26高三上·山西太原·月考）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A． B．，， C． D．，， 【答案】C 【分析】利用正弦定理及三角形三边关系一一分析选项即可. 【详解】对于选项A，已知两边及夹角，由三角形全等的条件可知△ABC有唯一解． 对于选项B，，，，又，故，故△ABC无解． 对于选项C，，，，有，∴， 又，故△ABC有两个解． 对于选项D，，，，由，得，故B为锐角，故△ABC有唯一解． 故选：C． 【例2】（25-26高一下·上海·课后作业）在中，，. （1）请你给出一个值，使该三角形有唯一解； （2）请你给出一个值，使该三角形有两解； （3）请你给出一个值，使该三角形无解. 【答案】（1）即可；（2）即可；（3）即可. 【分析】由正弦定理求得，再结合的取值范围或值，确定三角形解答个数，得到答案. 【详解】在中，，， 由正弦定理，可得， 因为，可得. （1）当时，，即，此时由唯一的解； 当时，可得，此时有唯一的解， 所以时，由唯一的解. （2）当时，由且，此时可能为锐角，也可能为钝角， 即角有两解，即当时，此时有两解解. （3）当时，此时，此时无解，即当时，此时无解. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出的值，结合正弦函数的图像和三角形内角和得到结论. 【详解】，，，， ，， ，或 当时，，，不符合三角形内角和定理，故舍去， 则只有一个解，故此三角形只有一个解. 故选：B. 2．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 【答案】ABC 【分析】利用正弦定理，结合各选项的条件逐一判断即可. 【详解】对于A，由，得，则，即只有一解，A错误； 对于B，，且，则，而为锐角，因此有两解，B错误； 对于C，由，，，得，有解，C错误； 对于D，由，得，又，则是锐角，有一解，D正确. 故选：ABC 3．（24-25高一下·四川绵阳·期末）已知，，分别是的三个内角，，所对的边.若，，写出一个值，使满足条件的有2个，则取值范围是__________. 【答案】 【分析】由即可求解. 【详解】当即时满足条件的有2个， 所以取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）下列三角形是否有解？有解的作出解答，已知. (1)，，； (2)，，； (3)，，. 【答案】(1)无解 (2)一解，答案见解析 (3)两解，答案见解析 【分析】（1）由已知，可得，又，所以三角形无解； （2）由已知，可得，又，所以三角形只有一解，由正弦定理可求得，进而求得，再由正弦定理可求得； （3）由已知，可得，所以三角形有两解，由正弦定理，可得或，再利用三角形内角和为和正弦定理，分情况求出和即可. 【详解】（1）由，，可得，所以， 又由，所以这样的三角形无解. （2）由，，可得，所以， 又由，所以这样的三角形只有一解， 由正弦定理，可得， 所以，所以， 所以. （3）由，，可得， 又由，且，所以， 所以这样的三角形有两解； 由正弦定理，可得， 所以或， 当时，，， 当时，，， 所以，，或，，. 【经典例题五 正弦定理求外接圆半径】 【例1】（25-26高三上·内蒙古赤峰·月考）在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先由题设求出，再由正弦定理即可求解. 【详解】因为，，所以. 设外接圆的半径为，则， 所以外接圆的半径为. 故选：D 【例2】（24-25高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理求解可得； （2）由余弦定理求得，进而得解. 【详解】（1）设的外接圆的半径为， 由正弦定理得：， 所以，故的外接圆的半径. （2）由，得， 所以，又，则， ∴. 1．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】由余弦定理可求得，利用正弦定理可求得外接圆的半径. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得， 所以，设外接圆的半径为， 又，，所以， 由正弦定理可得外接圆的半径为，解得. 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为8 D．的外接圆半径为4 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理即可判断选项. 【详解】根据正弦定理得，则. 所以的外接圆半径为4，所以C错误D正确； 根据正弦定理可得， 所以，所以A,B正确； 故选：ABD. 3．（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则外接圆的面积为________． 【答案】 【分析】根据正弦定理求出三角形外接圆半径，进而求出面积. 【详解】由正弦定理，解得． 所以外接圆的面积为． 故答案为： 4．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知中，角所对的边分别为，其中. (1)求的值； (2)若的面积为，周长为6，求的外接圆面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求得. （2）根据三角形的面积公式、余弦定理等知识求得外接圆的半径，从而求得外接圆的面积. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，故，则， 因为，故. （2）由题意，故. 由余弦定理得， 解得. 故的外接圆半径， 故所求外接圆面积. 【经典例题六 正弦定理边角互化的应用】 【例1】（2026·贵州·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式化简即可. 【详解】由以及正弦定理，得， 所以. 因为，所以，所以. 故选：C 【例2】（2025·广东·模拟预测）设的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先根据正弦定理角化边得，再利用余弦定理求解； （2）结合余弦定理可得，则可得的值，从而得解. 【详解】（1）由正弦定理得， 所以， 因为，所以. （2）因为，又， 所以， 故，解得， 故的周长为. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，若，，则（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】设外接圆半径为. 由正弦定理可得，， 所以，，. 所以. 故选：C. 2．（多选）（2026高一下·全国·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据正弦定理可得，进而得到，再结合三角形内角即可求解． 【详解】由已知条件及正弦定理得， 又在三角形中，． 又，或． 故选：BD． 3．（25-26高二上·山东临沂·期末）中，内角，，的对边分别为，，，若，则______. 【答案】2 【分析】利用正弦定理将中的边化角，得到，利用两角和的正弦公式得到，利用三角形内角和为及诱导公式得到，利用正弦定理进行角化边得解. 【详解】， ， ， ， ， 是的内角，， ， ， ，，，. 故答案为：. 4．（25-26高三上·安徽·月考）记内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求证： ①； ②； (2)求角的最大值． 【答案】(1)① 证明见解析；②证明见解析 (2) 【分析】（1）（i）先化简原等式，然后由正弦定理得到，然后根据余弦定理进行化简即可.（ii）由（i）的结果利用正弦定理化简即可证明. （2）先根据余弦定理列出的表达式，然后利用基本不等式结合三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）（i）由，得， 所以，由正弦定理得，     由余弦定理得， 所以． （ii）由，得，     所以，     所以． （2）由（1）（i）的结论可得 ，在（1）（i）的证明中，已证得 ， 由基本不等式可得 ，故 ，即 （当且仅当时取等号）， 所以 ， 因为，所以角的最大值为. 【经典例题七 三角形面积公式及其应用】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）克罗狄斯·托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：在任意平面凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，即圆的内接四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知某圆的内接四边形的面积为，若为等边三角形，则对角线的长为（   ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】根据题意可得.利用平面几何知识知，结合和三角形面积公式计算得到. 【详解】由题意可知：.因为，所以. 又由平面几何知识可知，同理， 故 ，即. 故选:D. 【例2】（25-26高二上·广东·月考）已知中，，，的对边分别为，，，且的面积. (1)求的外接圆半径； (2)若，，且为锐角，求边上的高. 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式和正弦定理可得答案； （2）先求，再利用等面积法得出高与的关系可求答案. 【详解】（1）设的外接圆半径为.由三角形面积公式有， 故， 则. 又， 故，即.故的外接圆半径为7. （2）设在边上的高为，由（1）可得，， 因为，所以.因为为锐角，所以必为锐角. 从而， 且， 由面积公式， 得， ， 所以边上高的长. 1．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）记的内角的对边分别为，面积为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理得到，故，由三角形面积公式得到，由余弦定理求出答案. 【详解】因为，所以，所以， 则，由，得， 由余弦定理可得，，所以， 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．边上的高为 【答案】ACD 【分析】利用余弦定理可判断AB选项；利用三角形的面积公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，由余弦定理可得， 故，A对； 对于B选项，由余弦定理可得， 因为，故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，设边上的高为，则，解得，D对. 故选：ACD. 3．（24-25高二下·云南昭通·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的周长为，则的面积为________. 【答案】 【分析】利用周长求出，再结合余弦定理求出，最后代入三角形面积公式即可得解. 【详解】因为且，所以， 由余弦定理：，， 又，所以， 所以. 故答案为： 4．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且，外接圆半径． (1)求角A和a； (2)若，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换，求出A的大小，再根据正弦定理求出a的值即可； （2）利用正弦定理求出B的大小，进一步得到C的大小，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）中，已知， 由正弦定理可得， 因为，有，所以，解得， 又因为，所以， 由正弦定理得，则． （2）由正弦定理得，所以， 因为，所以，故，则， ． 【拓展训练一 余弦定理的解析及应用】 【例1】（2026高二·全国·课后作业）在△ABC中，若，则最大角的余弦值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】大边对大角，由余弦定理即可求解. 【详解】∵，∴所对的角C为最大角． 由余弦定理得 故选：B 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）在梯形中，，，，求． 【答案】 【分析】在中利用两次余弦定理即可. 【详解】设，则． 则在中由余弦定理可得， 解得， 则在中由余弦定理可得． 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在锐角三角形ABC中，，，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由锐角三角形及余弦定理列不等式组，结合三角形三边关系即可结果. 【详解】由题意，即，则， 同理，即，则，又， 综上，， 故选：C 2．（多选）（2025·福建漳州·模拟预测）在中，角的对边分别是，，，，则的值可以是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】AC 【分析】根据余弦定理直接求解即可. 【详解】根据余弦定理可得， 即，，，， 解得或. 故选：AC. 3．（25-26高三上·湖南常德·月考）已知D是斜边上一点，，，且，则的长______ 【答案】 【分析】在中，求得，在中，由余弦定理即可求解. 【详解】由，且知，又，则， 所以中，由为斜边，则， 则， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故答案为： 4．（2024·河南·模拟预测）已知函数，在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题干条件将函数解析式通过二倍角公式和辅助角公式化简，再代入求得的值； （2）由（1）中求得的和条件利用余弦定理建立关系式即可求得的值. 【详解】（1）由题意得，因为， 所以由，得. 又因为，所以， 所以，. （2）由（1）得，.所以由余弦定理可得，， 又因为，所以， 所以，即， 即，故. 把代入，可得， 所以. 【拓展训练二 正弦定理的解析及应用】 【例1】（24-25高一下·四川绵阳·期中）的内角，，对边分别为，，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理知，，代入问题中即可得到答案. 【详解】由正弦定理知，， 则，， 故. 故选：D. 【例2】（25-26高三上·福建福州·开学考试）记的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的周长为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，求出角； （2）根据已知条件求出的值，最后利用面积公式求出三角形面积. 【详解】（1）（方法一）由及正弦定理， 得. 又，得， 即. 因为，所以. （方法二）由及正弦定理， 得. 又，得， 即， 因为，所以，故， 所以，故，即. （2）由（1）得. 由的周长为，得. 由， 所以，即， 故， 所以. 1．（24-25高二下·浙江温州·月考）设为的内心，满足．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在和中，分别用正弦定理表示出，从而得到角的关系即，再根据内心的性质，解出的值，从而得到. 【详解】因为是的内心，设，， 则有，． 在中，由正弦定理得，故． 同理，在中，由正弦定理得，可得． 故，即，整理得， 因为，所以， 从而，故， 故选：A. 2．（多选）（24-25高一下·广西百色·期末）在的内角的对边分别为a，b，c，已知，则角的度数可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正弦定理，建立方程，可得答案. 【详解】由正弦定理可得，即，所以， 由，则，可得或. 故选：BC. 3．（25-26高三上·江苏泰州·期中）在中，若，则______. 【答案】 【分析】根据正弦定理直接求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求c的值． 【答案】(1) (2)或2 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角得到，将转化为，利用两角和的正弦公式计算得解； （2）利用正弦定理得到，从而求出，按照的值分类讨论求解. 【详解】（1）由，得． 因为， 所以转化为， 所以． 因为，所以．因为，所以． （2）由正弦定理，得． 所以或． ①当时，由，得，所以； ②当时，由，得， 所以． 综上可得或2． 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且最大边长和最小边长分别是方程的两个实根，则第三边的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先由题意明确第三边和最大边与最小边即可结合余弦定理分析计算求解. 【详解】由题可知最大边长与最小边长不相等，故最大角大于，最小角小于， ∴第三边即为a，且，， ， . 故选：C． 2．（2026·湖北十堰·一模）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】因为，，所以. 由正弦定理可知，，所以，， 又，所以，所以. 由余弦定理知，，所以，即. 又， 所以，所以. 故选：D. 3．（2026高一下·全国·专题练习）在中，已知，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设a为最大边，c为最小边，根据正弦定理可得,化简即可求解. 【详解】不妨设a为最大边，c为最小边，由题意，即， 整理，得．所以，所以． 故选：B 4．（24-25高一下·河南·月考）在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】A利用三角形全等的判定方法可判断；B利用大边对大角可判断；C利用可判断；D由正弦定理得，结合可判断. 【详解】对于A，根据三角形全等的判定方法，可知满足条件的三角形只有一解，故A正确； 对于B，因为，所以，又为钝角，所以不存在， 所以满足条件的三角形不存在，故B错误； 对于C，因为，所以三角形不存在，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为且，所以有两解且这两个解互补，故D错误. 故选：A 5．（25-26高三下·辽宁沈阳·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为.若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解. 【详解】在中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以. 6．(多选)（24-25高一下·陕西西安·月考）若某锐角三角形的三边长分别为1，2，，则的值可能为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先由三角形三边关系得，进一步分析可知只需，解不等式组对比选项即可求解. 【详解】若某锐角三角形的三边长分别为1，2，，首先， 由题可知只需满足最大角是锐角即可， 由大边对大角结合余弦定理可知，只需，解得， 对比选项可知，的值可能为2，，. 故选：ABC. 7．（多选）（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且该三角形有两解，则b的值可以为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】CD 【分析】根据三角形解的个数知，当时，该三角形有两解，可得到的取值范围，即可求解． 【详解】解：当时，即时，即时，该三角形有两解． 故选：CD． 8．（多选）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则的外接圆的面积为 B．已知，则 C．若，则为钝角三角形 D．若为锐角三角形，则 【答案】CD 【分析】对于A，由正弦定理求得的外接圆的半径即可验算；对于B，由余弦定理验算即可；对于C，由正弦定理、余弦定理得为钝角即可判断；对于D，由锐角三角形性质得，结合正弦函数性质即可判断. 【详解】对于A，若，，则的外接圆的半径为，的外接圆的面积为，故A错误； 对于B，已知，则， 即，所以， 则，故B错误； 对于C，若，则，所以， 则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确； 对于D，若为锐角三角形，则， 所以，则，故D正确. 故选：CD. 9．（多选）（24-25高一下·河南驻马店·月考）在中，已知.则（    ） A．为锐角三角形 B．的面积为 C． D． 【答案】AB 【分析】由余弦定理即可判断AC，由三角形的面积公式即可判断B，再由正弦定理即可判断D. 【详解】对于A，因为，则角最大， 由余弦定理可得， 即角为锐角，所以为锐角三角形，故A正确； 对于B，由A可得，则， 则，故B正确； 对于C，由余弦定理可得，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，即，故D错误； 故选：AB 10．（多选）（24-25高三上·云南·月考）在中，设的对边分别为，为延长线上一点，的平分线交直线于，若，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】ACD 【分析】A选项由正弦定理验证结果；B选项由余弦定理验证结果；C选项由三角形面积公式验证结果；D选项由多个三角形面积的关系得出结果. 【详解】A选项：因为，，，所以，所以A选项正确； B选项：由余弦定理得，，因为，所以，所以B选项错误； C选项：的面积为，所以C选项正确； D选项：因为的平分线交直线于，， 所以， 所以，即， 解得，所以D选项正确． 故选：ACD． 11．（2025高三·全国·专题练习）在中，已知，，，则__________． 【答案】 【分析】根据正弦定理及二倍角公式可得 【详解】因为，所以， 又因为，， 所以由正弦定理可得， 即，则， 又因为，所以，解得， 故答案为： 12．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则_________. 【答案】或2 【分析】由余弦定理得，解方程即可得解. 【详解】由余弦定理有，所以， 解得或2. 故答案为：或2. 13．（25-26高三上·山东枣庄·月考）在中，已知，，，则________． 【答案】 【分析】根据题目条件，利用正弦定理求出的值，再结合角的范围，即可得解. 【详解】已知，，， 所以由正弦定理可得，解得. 因为，所以. 故答案为： 14．（2025高一下·江苏南京·专题练习）在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是____． 【答案】 【分析】结合正弦定理，根据三角形有两解的条件列不等式求解即可. 【详解】因为三角形有两个解，所以， 即，解得， 故答案为：. 15．（24-25高一下·上海宝山·月考）在中，，则其外接圆的半径为___________． 【答案】/ 【分析】由三角形面积公式求得，从而判断出三角形是等边三角形，再结合正弦定理得外接圆半径. 【详解】由题意，，所以是等边三角形，则， 所以其外接圆的半径为， 故答案为：. 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，求，和． 【答案】，， 【分析】根据已知条件，利用余弦定理解三角形求出，再利用余弦定理求出，进而求出． 【详解】由余弦定理得：， ， ， ， 又， ，， ，，． 17．（25-26高一·全国·课后作业）在中，，．分别根据下列条件，求边长a的取值范围． (1)有一解； (2)有两解； (3)无解． 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）根据正弦定理，得到.分、、讨论，即可得出； （2）由已知可得，求解不等式即可得出结果； （3）由已知可得，求解不等式即可得出结果. 【详解】（1）由正弦定理可得，. （ⅰ）当，即时，. ①若，即，则不存在，无解，此时； ②若，即， ，有一解，此时； ③若，即，因为，此时可能是锐角或钝角，即此时有两解，此时，即. 综上所述，当时，有一解； （ⅱ）当，即时，，有一解； （ⅲ）当，即时，，此时只能是锐角，有一解. 综上所述，有一解时，边长a的取值范围是或. （2）由（1）知，有两解，应满足，由，即，解得. （3）由（1）知，无解，应满足，即，解得. 18．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)判断是锐角三角形还是钝角三角形，并说明理由. (2)已知的面积为. ①求的周长； ②求外接圆的半径. 【答案】(1)钝角三角形，理由见解析； (2)18， 【分析】（1）设，由余弦定理即可求解； （2）①由（1）结合三角形面积公式即可求解；②由正弦定理即可求解. 【详解】（1）由，结合正弦定理可得： ， 设，可知角为最大角， 所以， 所以角为钝角， 即是钝角三角形. （2）①由（1）可得， 所以， 解得，即， 所以的周长为； ②由正弦定理可得：. 即外接圆半径为. 19．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知的角所对边分别为． (1)求； (2)如图，，点是延长线上一点，且，求长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，即可求解； （2）在中，由正弦定理即可求解. 【详解】（1）由，结合正弦定理边化角可得： ，又，, 所以，即，又， 所以. （2）在中，由正弦定理可得： ， 又， 所以. 20．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知中，的对边分别为，且的面积. (1)求； (2)若，且为钝角，求边上的高. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）利用三角形面积公式列式求解. （2）由（1）及已知得，再利用余弦定理及三角形面积求解. 【详解】（1）在中，由的面积，得， 解得，而，因此或. （2）由为钝角，得必为锐角，即， 由余弦定理得， 此时，B为钝角，符合题意， 设边上高为，由，得. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.8 余弦定理与正弦定理重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 余弦定理解三角形 题型二 余弦定理边角互化的应用 题型三 正弦定理解三角形 题型四 正弦定理判定三角形解的个数 题型五 正弦定理求外接圆半径 题型六 正弦定理边角互化的应用 题型七 三角形面积公式及其应用 拓展训练一 余弦定理的解析及应用 拓展训练二 正弦定理的解析及应用 知识点一： 余弦定理 1、公式表达： a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 注：余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、推论： cos A＝， cos B＝， cos C＝ 4、余弦定理的推导示例：在中，内角，，所对的边分别为，， 如图，因为， ∴， 即 从而 同理，根据，， 可以得到， 【即时训练】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 2．（24-25高一下·福建泉州·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则__________ 知识点二： 正弦定理 1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 【注意】正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ①， ②， ③，，， ④， ⑤，，（实现边和角的互相转化） 3、正弦定理的推导示例： 当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义， CD＝asinB，CD＝bsinA， 所以asinB＝bsinA，得到＝. 同理，在△ABC中＝. 从以上的讨论和探究可得：＝＝. 【即时训练】 1．（2026·云南红河·模拟预测）在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高三上·广东湛江·月考）设的内角，，的对边分别是，，，若，则_____. 知识点三： 三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 【即时训练】 1．（24-25高一下·四川绵阳·月考）已知是边长为4的正三角形，D是△ABC内的一点，且满足，则△ABD的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为________． 【经典例题一 余弦定理解三角形】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【例2】（2026高一·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为. (1)若， ， ，求； (2)若，，，解这个三角形. 1．（2026·河南·模拟预测）在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）在中，已知，则角的可能值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，若，，，则____________． 4．（25-26高一下·全国·单元测试）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求； (2)设为边上一点，且，求的长． 【经典例题二 余弦定理边角互化的应用】 【例1】（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）记的内角、、的对边分别为、、，已知，求. 1．（24-25高一下·宁夏银川·月考）如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若边上的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·湖南衡阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一·全国·竞赛）在等腰中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则__________. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，求证：. 【经典例题三 正弦定理解三角形】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·江苏连云港·期末）在中，已知，为边上一点，，，. (1)求； (2)求. 1．（25-26高一下·全国·单元测试）在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 2．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，，，则__________，__________． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在中，，点D在线段上， (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 【经典例题四 正弦定理判定三角形解的个数】 【例1】（25-26高三上·山西太原·月考）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A． B．，， C． D．，， 【例2】（25-26高一下·上海·课后作业）在中，，. （1）请你给出一个值，使该三角形有唯一解； （2）请你给出一个值，使该三角形有两解； （3）请你给出一个值，使该三角形无解. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 2．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 3．（24-25高一下·四川绵阳·期末）已知，，分别是的三个内角，，所对的边.若，，写出一个值，使满足条件的有2个，则取值范围是__________. 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）下列三角形是否有解？有解的作出解答，已知. (1)，，； (2)，，； (3)，，. 【经典例题五 正弦定理求外接圆半径】 【例1】（25-26高三上·内蒙古赤峰·月考）在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 【例2】（24-25高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的值． 1．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D．9 2．（多选）（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为8 D．的外接圆半径为4 3．（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则外接圆的面积为________． 4．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知中，角所对的边分别为，其中. (1)求的值； (2)若的面积为，周长为6，求的外接圆面积. 【经典例题六 正弦定理边角互化的应用】 【例1】（2026·贵州·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2025·广东·模拟预测）设的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的周长. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，若，，则（   ） A．6 B． C．2 D． 2．（多选）（2026高一下·全国·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东临沂·期末）中，内角，，的对边分别为，，，若，则______. 4．（25-26高三上·安徽·月考）记内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求证： ①； ②； (2)求角的最大值． 【经典例题七 三角形面积公式及其应用】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）克罗狄斯·托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：在任意平面凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，即圆的内接四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知某圆的内接四边形的面积为，若为等边三角形，则对角线的长为（   ） A．14 B．16 C．18 D．20 【例2】（25-26高二上·广东·月考）已知中，，，的对边分别为，，，且的面积. (1)求的外接圆半径； (2)若，，且为锐角，求边上的高. 1．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）记的内角的对边分别为，面积为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．边上的高为 3．（24-25高二下·云南昭通·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的周长为，则的面积为________. 4．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且，外接圆半径． (1)求角A和a； (2)若，求的面积． 【拓展训练一 余弦定理的解析及应用】 【例1】（2026高二·全国·课后作业）在△ABC中，若，则最大角的余弦值是（   ） A． B． C．0 D． 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）在梯形中，，，，求． 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在锐角三角形ABC中，，，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025·福建漳州·模拟预测）在中，角的对边分别是，，，，则的值可以是（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26高三上·湖南常德·月考）已知D是斜边上一点，，，且，则的长______ 4．（2024·河南·模拟预测）已知函数，在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的值. 【拓展训练二 正弦定理的解析及应用】 【例1】（24-25高一下·四川绵阳·期中）的内角，，对边分别为，，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高三上·福建福州·开学考试）记的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的周长为，求的面积. 1．（24-25高二下·浙江温州·月考）设为的内心，满足．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·广西百色·期末）在的内角的对边分别为a，b，c，已知，则角的度数可以为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏泰州·期中）在中，若，则______. 4．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求c的值． 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且最大边长和最小边长分别是方程的两个实根，则第三边的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·湖北十堰·一模）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 3．（2026高一下·全国·专题练习）在中，已知，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南·月考）在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·辽宁沈阳·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为.若，且，则（   ） A． B． C． D． 6．(多选)（24-25高一下·陕西西安·月考）若某锐角三角形的三边长分别为1，2，，则的值可能为（    ） A．2 B． C． D． 7．（多选）（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且该三角形有两解，则b的值可以为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 8．（多选）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则的外接圆的面积为 B．已知，则 C．若，则为钝角三角形 D．若为锐角三角形，则 9．（多选）（24-25高一下·河南驻马店·月考）在中，已知.则（    ） A．为锐角三角形 B．的面积为 C． D． 10．（多选）（24-25高三上·云南·月考）在中，设的对边分别为，为延长线上一点，的平分线交直线于，若，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 11．（2025高三·全国·专题练习）在中，已知，，，则__________． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则_________. 13．（25-26高三上·山东枣庄·月考）在中，已知，，，则________． 14．（2025高一下·江苏南京·专题练习）在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是____． 15．（24-25高一下·上海宝山·月考）在中，，则其外接圆的半径为___________． 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，求，和． 17．（25-26高一·全国·课后作业）在中，，．分别根据下列条件，求边长a的取值范围． (1)有一解； (2)有两解； (3)无解． 18．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)判断是锐角三角形还是钝角三角形，并说明理由. (2)已知的面积为. ①求的周长； ②求外接圆的半径. 19．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知的角所对边分别为． (1)求； (2)如图，，点是延长线上一点，且，求长. 20．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知中，的对边分别为，且的面积. (1)求； (2)若，且为钝角，求边上的高. 学科网（北京）股份有限公司 $