20.1.1 勾股定理课件2025-2026学年人教版数学八年级下学期

第二十章 勾股定理 20.1.1 勾股定理 学习目标 1.了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理。 2.掌握勾股定理，并能应用它进行简单的计算。 3.过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养动手实践和创新能力。 重点：勾股定理 难点：数形结合的思想 复习导入 思考：直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足什么特点？ 对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢? 探究新知 知识点1 勾股定理 几何语言：Rt△ABC中，∠C=90°, 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾 股 弦 a b c 则 . A B C 公式变形： 典例解析 题型1 利用勾股定理求边长 例1 如图，根据所给条件分别求两个直接三角形中未知边的长. 解：(1) 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， AB²＝AC²＋BC²＝8²＋6²＝100， B 6 8 A C E D F 15 17 所以 AB＝10. (2) 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，DE²＋EF²＝DF²， 从而 DE²＝DF²－EF²＝17²－15²＝64， 所以 DE＝8. (1) (2) 针对训练 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c． （1）已知a=b=6，求c的长； （2）已知c=3，b=2，求a的长； 解：（1）∵∠C=90°，a=b=6， ∴由勾股定理，得c===6． （2）∵∠C=90°，c=3，b=2， ∴由勾股定理，得a===． （3）已知a∶b=2∶1，c=5，求b的长； （3）∵a∶b=2∶1，∴a=2b． 又∵∠C=90°，c=5. ∴由勾股定理，得（2b）2＋b2=52. 解得b1=－（舍去），b2=． （4）已知∠A=30°，c=4，求b的长． （4）∵∠A=30°,∠C=90°,c=4, ∴a=c=2， ∴由勾股定理，得 b===2． 针对训练 2.已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长. A D B C 3 4 解：由勾股定理可得 AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5. 根据三角形面积公式， ∴ AC×BC= AB×CD. ∴ CD= . 针对训练 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为　 　． 3 针对训练 4. 如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于点D，求AD长； 解：设BD=x，则DC=14－x， 在Rt△ABD中，AD2=AB2－BD2， 在Rt△ACD中，AD2=AC2－DC2， 即132－x2=152－（14－x）2，解得x=5，∴AD===12. 针对训练 5.已知在△ABC中，AB=13，AC=15，AD⊥BC于点D，且AD=12，求BC的长． 解：①如图1，在锐角△ABC中， AB=13，AC=15，BC边上的高AD=12. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 BD===5. 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得 CD2===9， ∴BC=BD＋CD=5＋9=14； 针对训练 5.已知在△ABC中，AB=13，AC=15，AD⊥BC于点D，且AD=12，求BC的长． ②如图2，在钝角△ABC中， AB=13，AC=15，BC边上的高AD=12， 同①可得，BD=5，CD=9， ∴BC=CD－BD=9－5=4. 综上所述，BC的长为14或4. 典例解析 题型2 结合角度的几何问题 例2 如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长． 解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°． 在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45° ∴∠B=∠BAD=45°， ∴BD=AD=1，∴AB= ． 在Rt△ADC中，∵∠C=30°， ∴AC=2AD=2， ∴CD= ，∴BC=BD+CD=1+ ， ∴△ABC的周长=AB+AC+BC= ． 针对训练 4.根据给出的条件求值： 典例解析 题型3 面积问题 例3 求下列图中未知数x、y的值： 解：由勾股定理可得 81+ 144=x2， 解得x=15. 解：由勾股定理可得 y2+ 144=169， 解得 y=5 针对训练 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，则三个半圆的面积关系是（　　） A．S1＋S2＞S3 B．S1＋S2=S3 C．S1＋S2＜S3 D．＋= B 针对训练 7.如图所示的图形是由两个直角三角形和三个正方形组成，则图中阴影部分的面积是（　　） A.50　　 B.16　　 C.25　　 D.41 A 针对训练 8.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＋S4=135，S3=49，则S2=（　　） B A．184　　 B．86　　 C．119　　 D．81 探究新知 知识点2 勾股定理的证明 方法一： 将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形． 则S正方形ABCD=（a＋b）2 =c2＋4×ab， ∴a2＋b2=c2. 探究新知 知识点2 勾股定理的证明 方法二： 将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形． 则S正方形ABCD=c2 =（b－a）2＋4×ab， ∴c2=a2＋b2． 赵爽弦图 探究新知 知识点2 勾股定理的证明 方法三： 将两个全等的直角三角形拼成如图3所示的直角梯形． 则S梯形ABCD= =2×ab＋c2， ∴a2＋b2=c2. 典例解析 题型4 勾股定理的证明 例4 青朱出入图（如图1）是数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b－a=3，a2＋b2=29，则图2中阴影部分的面积为　 　． 10 归纳总结 勾股定理 内容 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2. 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 作业布置 课堂作业:P30习题20.1的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $