专题1.3二次根式的运算重难点题型专训（4个知识点+12大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题1.3二次根式的运算重难点题型专训 （4个知识点+12大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 分母有理化 题型四 二次根式的乘除混合运算 题型五 复合二次根式的化简 题型六 同类二次根式 题型七 二次根式的加减运算 题型八 二次根式的混合运算 题型九 已知字母的值，化简求值 题型十 已知条件式，化简求值 题型十一 比较二次根式的大小 题型十二 二次根式的应用 拓展训练一 二次根式化简的综合应用 拓展训练二 化简求值问题的综合应用 知识点一：二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 3. 积的算术平方根 （1）积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即． 运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式． （2）该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即． （3） 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·四川眉山·专题练习）已知直角三角形的斜边长为，周长为，则它的面积为（   ） A．7 B．5 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式．设两直角边分别为、，根据三角形周长得到，根据斜边长为可得，从而可得面积． 【详解】解：设直角三角形的两直角边为、， 则， ∴， 解得：， 所以这个直角三角形的面积为． 故选：C． 2．（25-26八年级下·江苏南通·专题练习）已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是关键． 根据长方形的面积等于长乘以宽，代入数值计算，并化简二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 知识点二：二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 4. 商的算术平方根 商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，则，A错误； B、表示4的算术平方根，结果为非负数，则，B错误； C、，则，C正确； D、，D错误． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）_____； （2）__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法． （1）应用二次根式的除法法则，将除法转化为被开方数的除法即可； （2）应用二次根式的除法法则，先计算被开方数的除法，再开方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 故答案为：，，． 知识点三：二次根式的加减运算 二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行： 【即时训练】 1．（2026·八年级下 湖南衡阳·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，二次根式加法运算法则，逐项判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故A运算错误； B．，故B运算错误； C．，故C运算正确； D．二次根式加法中，只有同类二次根式才能合并，，故 D运算错误． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算的结果是_______． 【答案】 【详解】 ． 知识点四：二次根式的混合运算 1. 运算法则 与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算． 3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·山东济南·专题练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的四则运算，需掌握同类二次根式的加减法则、二次根式的乘除运算顺序及化简方法．根据二次根式的运算可直接进行排除选项． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B：，故选项计算错误，不符合题意； C：，故选项计算错误，不符合题意； D：，故选项计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）计算：__________． 【答案】 【详解】解： ． 【经典例题一 二次根式的乘法】 【例1】（25-26八年级下·江西南昌·专题练习）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的应用和二次根式，利用平方差公式将转化为，再代入已知条件计算即可． 【详解】∵， 又∵，， ∴． 故选：D 【例2】（25-26八年级下·湖南怀化·专题练习）计算：的结果是___________ ． 【答案】31 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的化简与运算法则． 先化简，再计算，最后进行减法运算； 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 1．（25-26八年级下·河南新乡·专题练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查立方根、二次根式的乘法运算、完全平方公式及算术平方根的性质，需根据相应法则逐一计算各选项判断正误． 【详解】解：∵， ∴，故A错误． ∵， ∴B正确． ∵， ∴C错误． ∵ ∴D错误． 故选：B． 2．（25-26八年级下·上海闵行·专题练习）如图，在中，，，以为边在的外部作等边三角形，点为的中点，分别连接和，交于点，连接．某同学在研究这个图形时有两个猜想：①；②，关于这两个猜想，你的判断是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都错误 D．①、②都正确 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，二次根式的除法运算等知识点． 先证明为等腰直角三角形，然后由勾股定理得到，即可判断①；设，则由等边三角形可知，则，则，然后由得到，再由三角形面积公式求解，即可判断②． 【详解】解：∵等边三角形，点为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，故①正确； 设， 则由等边三角形可知， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确， 故选：D． 3．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，等腰中，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为_____． 【答案】 【分析】连接，由全等三角形性质可得，，，通过勾股定理得，在中，，，，则，所以，然后通过即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴ ， ， ． 4．（25-26八年级下·福建福州·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算、二次根式的乘法、负整数指数幂及零指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键．先算二次根式的乘法、负整数指数幂及零指数幂，再计算加减即可． 【详解】解： ． 【经典例题二 二次根式的除法】 【例1】（2026·八年级下 江苏南京·一模）已知某物体的质量，其体积，则它的密度ρ为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握物体的密度质量体积是解题的关键． 根据物体的密度公式计算即可． 【详解】解：它的密度ρ为． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果是__________． 【答案】 【分析】利用二次根式的除法运算，乘法运算，性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质，二次根式乘法运算，除法运算，熟练掌握性质和运算是解题的关键． 【详解】解： 由，根据题意，得， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的乘除法法则，逐一验证每个等式的正确性． 【详解】解：对于①： ∵ ，∴ ①正确； 对于②：∵ 当时， ，∴ ②正确； 对于③：∵ 当时，， ∴ ③正确； 对于④：∵ = ，∴ ④错误； 因此，做错的是④． 故选：D． 2．（23-24八年级下·吉林·专题练习）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质．将转化为分数形式，利用二次根式的性质和除法运算化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：____________． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式计算平方项，再化简根式并计算除法项，最后合并同类项． 此题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握，即可解题． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·甘肃兰州·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则是解答的关键．先计算立方根、二次根式的乘法和除法，再加减运算即可求解． 【详解】解： ． 【经典例题三 分母有理化】 【例1】（25-26八年级下·河北邢台·专题练习）在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的性质． 利用分母有理化的方法以及二次根式的性质判断即可． 【详解】解：∵ 甲的方法：原式，使用了分母有理化，正确； ∵ 乙的方法：原式，通过分子分母同乘使分母化为完全平方数，再开方，正确； ∴ 甲、乙两种方法均正确， 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·全国·期中）计算：____________． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘除法，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键． 通过有理化分母即可求解． 【详解】解：将分子和分母同时乘以，得，再约分得． 故答案为：． 1．（25-26八年级下·浙江·自主招生）已知实数a，b满足下列说法：（1）；（2）；（3）；（4）中，正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】可利用分母有理化化简原式或特殊值代入法求解判断即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ， ， 即 ①+②得，∴，故（1）正确； （2）令，则 ，故（2）错误； （3）将代入上面②中，得， 则，∴， ∴或， 故，故（3）正确， （4）由（3）中知错误， ∴正确的是（1）（3），共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查分母有理化、平方差公式、平方根，熟练掌握分母有理数的方法步骤，借助特殊代入法正确判断是解答的关键． 2．（25-26八年级下·上海·期中）下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理化因式，根据有理化因式需满足相乘后结果为有理式，对于，其有理化因式应为本身或相反数，因平方后可得有理式或，即可得出结果． 【详解】解：∵，结果为有理式， ∴ 与 互为有理化因式； 故选A． 3．（25-26八年级下·四川成都·专题练习）如图，已知线段，过点作，使，连接，在上截取，在上截取，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，分母有理化，设，则，由勾股定理得，则可求出，据此求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（25-26八年级下·上海浦东新·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的基本性质与运算法则是解题的关键，注意化简过程中能因式分解要先因式分解．先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，． 【经典例题四 二次根式的乘除混合运算】 【例1】（25-26八年级下·上海闵行·月考）在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理化因式的概念． 有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式就互为有理化因式，分别将选项代入计算看乘积是否含有根式即可． 【详解】A．，结果不带根式，符合题意． B．，结果带根式，不符合题意． C．，结果带根式，不符合题意． D．，结果带根式，不符合题意． 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·上海浦东新·专题练习）不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】本题通过解一元一次不等式考查二次根式的乘法公式，核心是利用平方差公式进行分母有理化． 【详解】解：原不等式为，即， ∵， ∴． 故不等式的解集为． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·开学考试）若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式和勾股定理，掌握勾股定理和三角形的面积公式是解题的关键．先求出三角形的高，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图，中，，， 作于点． 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴的面积为：， 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东泰安·期中）已知，则化简的结果为（   ） A．6 B．3 C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，代数式求值，二次根式的混合运算；根据，可以得到，即可得到 ，再根据利用平方差公式求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）___________． （2）________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是准确化简． （1）（2）根据二次根式的乘除法则化简计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 故答案为：①，②． 4．（25-26八年级下·上海·期中） 【答案】． 【分析】先将除号变为乘号，然后将不带根号的式子提出来，带有根号的式子放在同一个根号里面相乘，最后化简运算即可． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查二次根式的化简运算，有一定计算量，熟练掌握运算法则是解题关键． 【经典例题五 复合二次根式的化简】 【例1】（25-26八年级下·安徽合肥·专题练习）已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 【例2】（2026八年级下·全国·专题练习）当时，化简二次根式的正确结果是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先将改写成，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·四川乐山·月考）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴同号，且均不为0， 又∵在中，是被开方数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024八年级下·全国·竞赛）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 3．（22-23八年级下·湖北黄冈·自主招生）______． 【答案】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的化简，把原式化为，再进一步求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·广东江门·开学考试）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 【答案】 （1），； （2）； （3）. 【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果； （3）将写成，8写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解： ． 【经典例题六 同类二次根式】 【例1】（24-25八年级下·北京·开学考试）下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简各选项为最简二次根式，根据其被开方数是否与的被开方数相同即可解答． 【详解】解：A、，被开方数为2，能与合并，不符合题意； B、，被开方数为2，能与合并，不符合题意； C、，被开方数为3，不能与合并，符合题意； D、，被开方数为2，能与合并，不符合题意． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式：． （1）能与合并的是___________； （2）能与合并的是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，同类二次根式的应用，先把每个根式化成最简二次根式，再判断即可． 【详解】解： （1）能与合并的是； （2）∵ ∴能和合并的有． 故答案为：；． 1．（25-26八年级下·全国·周测）在二次根式，，，中，与是同类二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题关键． 将各二次根式化简为最简形式，判断被开方数是否与相同即可． 【详解】解：∵ ，被开方数为，与不同，∴ 不是同类二次根式； ∵ ，被开方数为，与相同，∴ 是同类二次根式； ∵ ，被开方数为，与相同，∴ 是同类二次根式； ∵ ，被开方数为，与不同，∴ 不是同类二次根式． ∴ 与是同类二次根式的有个. 故选：B． 2．（2025八年级下·上海·专题练习）若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，同类二次根式．同类二次根式需化简后根号内表达式相同，逐项判断即可． 【详解】解：A．，与不是同类二次根式，不合题意； B．与不是同类二次根式，不合题意； C．与不是同类二次根式，不合题意； D．，与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若最简二次根式与可以合并，则___________． 【答案】2 【分析】本题考查同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式，最简二次根式的定义可得和，求出m，n的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴，， 解得：；， ∴． 故答案为：2． 4．（25-26八年级下·山东泰安·专题练习）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 【答案】(1)，属于“族”的数 (2)；为“族”的数． 【分析】本题考查了二次根式的定义，分母有理化，熟练掌握二次根式的定义及分母有理化是关键． （1）根据二次根式的定义判断即可； （2）根据分母有理化的方法求解即可． 【详解】（1）解：，属于“族”的数； （2）解：， ，为有理数，， 为“族”的数． 【经典例题七 二次根式的加减运算】 【例1】（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： A、与不是同类二次根式，不能合并，A错误； B、与不是同类二次根式，不能合并，B错误； C、，计算正确，C正确； D、与不是同类二次根式，不能合并，D错误． 【例2】（25-26八年级下·河北沧州·专题练习）已知，则______． 【答案】12 【分析】先化简二次根式，从而求出的结果，进而得到和b的值，最后计算的结果． 【详解】解：， ， 又∵， ∴，， ． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，二次根式的加减法，解题的关键是掌握对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 先将边长化简，等腰三角形可能有两种情况，分别以化简后的边长为腰或底，计算周长并验证三角形不等式． 【详解】解：∵ ，， 情况一：腰长为，底边为，，能构成三角形， 周长为 ； 情况二：腰长为，底边为，，能构成三角形， 周长为． ∴ 周长为或， 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·周测）陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出．如果运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，通过计算每种运算的结果并判断其是否为有理数来求解. 分别计算“”、“”、“”、“”四种运算的结果，判断是否为有理数. 【详解】解：加法：（无理数），不符合题意； 减法：（有理数），符合题意； 乘法：（有理数），符合题意； 除法：（无理数），不符合题意. ∴ “□”中的运算符号可能是或. 故选：A. 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，则的值为__________． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的减法，正确计算是解题的关键． 先计算与的差以及与的积，再根据分式的减法法则将原式转化为分式形式求解即可． 【详解】解：由已知， ， ， 则 ， ． ． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·云南昆明·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【经典例题八 二次根式的混合运算】 【例1】（2026·八年级下 湖南·模拟题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算及二次根式的平方差公式应用，根据合并同类项、积的乘方、平方差公式、完全平方公式逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：∵合并同类项法则：同类项系数相加，字母及指数不变 ∴，故A选项错误； ∵积的乘方法则：，且负号在括号外， ∴，故B选项错误； ∵平方差公式：，这里，， ∴，故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·北京大兴·开学考试）计算： （1）______． （2）______． 【答案】 1 【分析】（1）先根据立方根的定义，负整数指数幂的运算性质，零指数幂的运算性质化简各项，再进行有理数的加减运算； （2）根据二次根式的乘除运算法则化简计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 1．（25-26八年级下·广东佛山·专题练习）如图，在等腰中，，点在线段上，过点作，交延长线于点，过点作交于点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．过点作于点，先利用勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再利用勾股定理可得的长，则可得的长，然后利用的面积计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数幂、绝对值、二次根式的除法运算，解题关键是熟练掌握各运算的法则，按顺序逐步计算并准确合并同类二次根式． 先分别计算负整数指数幂、绝对值、二次根式的除法，再合并同类项，最后对比选项得出结果． 【详解】解：先逐步计算各部分： 负整数指数幂：； 绝对值： = ； 二次根式除法： = = = ； 合并计算：原式 ． 故选：C． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为__________． 【答案】10 【分析】本题考查二次根式的运算、完全平方公式的应用．解题关键是将转化为，再分别计算和的值． 【详解】解： ． 故答案为：10． 4．（25-26八年级下·宁夏银川·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）将二次根式化为最简二次根式，再计算减法即可． （2）化为最简二次根式，合并被开方数相同的最简二次根式，约分后得出答案． （3）二次根式的混合运算：先乘除，再加减，依次计算即可． （4）二次根式的混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，依次计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【经典例题九 已知字母的值，化简求值】 【例1】（25-26八年级下·河北石家庄·专题练习）已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化，先对a进行分母有理化化简，再结合b的表达式分析a与b的数量关系，进而选择正确选项即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即． 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·四川成都·专题练习）已知，则_________ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，以及代数式求值，将代入式子求解，即可解题． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 故答案为：． 1．（25-26八年级下·江西宜春·专题练习）已知：，，则代数式的值是（    ） A．6 B．24 C．42 D．96 【答案】A 【分析】先根据、的值，利用完全平方公式推导出和的值，再将所求代数式变形为含这两个式子的形式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）已知．则的值为（　　） A．11 B．19 C．17 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，通过计算x与y的和与积，利用恒等式将原式转化为，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级下·全国·周测）已知，，则代数式的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的计算，掌握配方法构造完全平方是解题的关键． 将代数式中的二次三项式分别配成完全平方形式，然后代入数值计算． 【详解】解：由完全平方公式，得 ，． 代入 ，，得 ，． 所以 ，． 因此原式 ． 故答案为：4． 4．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）（1）已知，求的近似值．（结果保留小数点后两位） （2）已知，求代数式的值 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的混合运算，进行计算，再将代入即可求解； （2）先把原多项式变形为，再利用平方差公式代值计算即可． 【详解】解：（1） ∵ ∴原式 （2）解；∵， ∴ ． 【经典例题十 已知条件式，化简求值】 【例1】（25-26八年级下·四川宜宾·月考）已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，先根据二次根式有意义的条件求出，从而可得，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：， ∴ ， ∴， 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·上海·期中）如果正数满足，那么的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则的关键． 由 可得 ，然后求出的平方即可求解． 【详解】解：由 ，可得 ， ∵，, ∴． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质及代数式求值，解题的关键是依据二次根式的性质正确确定的取值． 根据二次根式的性质即可得到结果． 【详解】解：， 根据二次根式性质 ， 即或； ， 根据二次根式性质 ； 当时，； 当时，． 的值为1或11，此结果对应选项． 故选：C． 2．（23-24八年级下·四川内江·月考）如果，则的值是（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知等式求值，再利用完全平方公式变形求值即可得． 【详解】解：由题意可知，， ， ，即， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 3．（2026八年级下·四川成都·专题练习）已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，根据题意，则可将原式转化为的形式，然后利用已知条件代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·湖北十堰·专题练习）（1）计算； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）6；（3）54 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式的混合运算，熟知平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式求解即可； （2）根据已知条件和平方差公式可得，据此可得答案； （3）设，则可推出，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）； （2）∵，， ∴， ∵， ∴； （3）设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题十一 比较二次根式的大小】 【例1】（24-25八年级下·福建厦门·月考）已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键． 把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解． 【详解】∵， ∴． A. ，∵，∴； B. 4，∵，∴； C. ，∵，∴； D. ，∵，∴． 故选：D． 【例2】（25-26八年级下·全国·周测）比较下列两个数的大小：____________． 【答案】 【分析】通过平方去掉根号，再比较大小．因为两个数都是正数，平方大的原数也大． 【详解】解：分别对两个数进行平方： ； ． ∵，且两个数都是正数， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和平方比较法．解题关键是利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过平方将根式比较转化为有理数比较． 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式大小的比较，熟练掌握二次根式大小比较的方法是解题的关键．根据二次根式的大小分别判断各个选项即可． 【详解】解：A选项中， ， ∴， ∴， 故A选项不符合题意； B选项中，， ∵， ∴， 故B选项不符合题意； C选项中，，， ∵， ∴， 故C选项符合题意； D选项中， ， ， ∵， ∴． 故D选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）在算式的□中填入一个运算符号，使其结果最大，则这个运算符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则． 先利用二次根式的加减乘除运算法则进行求解，然后再比较结果的大小即可． 【详解】解：A. ； B. ； C. ； D. ； ∵，，且，， ， ， ∴最大的数为， 故选：A． 3．（25-26八年级下·湖南永州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是__________． 【答案】 【分析】通过有理化将每个表达式转化为分母形式，比较分母的大小关系即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用二次根式的性质化简，分子有理化，比较二次根式的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）比较大小： (1)与． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法，先化简，然后比较被开方数的大小即可，或利用平方法进行比较； （2）根据二次根式的乘法，先化简，然后比较被开方数的大小，两个负数比较大小，被开方数越大，原数越小；或利用平方法进行比较，两个负数比较大小，平方后的数越大，原数越小． 【详解】（1）解：， ． ， ． 【一题多解法】，． ， ． （2）解：， ． ， ． 【一题多解法】，，，， 而， ． 【经典例题十二 二次根式的应用】 【例1】（25-26八年级下·福建泉州·专题练习）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．由正方形的面积为50，解得正方形的边长，即一个小长方形的长与宽的和，减去，得到宽的值，据此解得小长方形的长，再解出小正方形的边长即可解题． 【详解】解：根据题意得， 小正方形的边长为： 这个小正方形的面积为， 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则．根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：直角三角形的面积公式为，其中和为两条直角边的长， 已知，， 则， 化简， 所以， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长是， ∴大正方形的面积是， ∴余下的面积是． 故选：A． 2．（25-26八年级下·浙江·假期作业）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了与二次根式有关的代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．直接代入秦九韶公式计算三角形的面积． 【详解】解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4， ∴ ， 故选：B． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求阴影部分的面积，二次根式的混合运算．正确的识图，确定长方形的长和宽是解题的关键． 分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为3和9， ∴它们的边长分别为：和3， 由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为3， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·湖南长沙·专题练习）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)铺完整个通道，购买地砖需要花费元 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、二次根式的性质与化简、最简二次根式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键； 依据题意得，矩形绿地 的周长 ，即可得解； 依据题意，购买地砖需要花费，进一步计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，矩形绿地的周长 ； （2）解：由题意，购买地砖需要花费 元， 答：铺完整个通道，购买地砖需要花费元； 【拓展训练一 二次根式化简的综合应用】 【例1】（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列结论中正确的个数是（   ） ①；②是最简二次根式；③和不是同类二次根式；④的有理化因式是；⑤不等式的解集是；⑥的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，最简二次根式，同类二次根式，分母有理化，解不等式，求一个数的近似数等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据二次根式的性质，判断①，最简二次根式的定义，判断②，同类二次根式的定义，判断③，分母有理化，判断④，解不等式，分母有理化判断⑤，求一个数的近似数，判断⑥． 【详解】解：① ，错误； ② 被开方数无平方因子，是最简二次根式，正确； ③，，被开方数不同，不是同类二次根式，正确； ④，有理化因式是 ，不是 ，错误； ⑤，不等式两边除以负数需变号：，解集应为 ，结论错误； ⑥，小数点后第一个非零数字是1，之间有4个0，结论错误． 综上，正确结论有②和③，共2个． 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·河北张家口·月考）分母有理化：_________，__________． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查二次根式的化简，当分母为含有二次根式的多项式时，可利用平方差公式进行“分母有理化”，掌握此方法是解此题的关键． 根据二次根式的性质，分数的基本性质，利用平方差公式消除分母中的根号，即可求解． 【详解】解：对于，分子和分母同乘以， 得； 对于，分子和分母同乘以， 得； 故答案为：；． 1．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）化简的结果是（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行合并即可． 【详解】解：原式 ． 2．（25-26八年级下·山东济南·月考）阅读下列解题过程： ； ； 观察上面解题过程，的值为（     ） A． B． C． D．10+ 【答案】B 【分析】本题考查阅读理解，掌握材料中分母有理化的方法是解决问题的关键． 根据材料中的分母有理化方法计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 3．（25-26八年级下·北京海淀·自主招生）化简______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，设，利用完全平方公式求出的值，再进行分母有理化，最后相加即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴ 又∵， ∴原式， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 【答案】 【分析】仿照文中的示例解答即可．本题考查了二次根式的化简，熟练掌握配方法化简是解题的关键． 【详解】解： ． 【拓展训练二 化简求值问题的综合应用】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如果，那么的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是把代数式进行化简． 首先将进行化简，再将代入计算即可． 【详解】解： ， ． 即． 故选：A． 【例2】（2026八年级下·全国·专题练习）当时，式子的值是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的运算，先对式子进行化简，然后将的值代入即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 1．（23-24八年级下·湖北十堰·自主招生）已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】观察已知与所求式子的结构，利用平方差公式进行整体计算，即可得到结果． 【详解】解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·全国·周测）已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】先根据二次根式的除法法则确定的取值范围，再利用绝对值和二次根式的性质化简式子． 【详解】解：根据二次根式的除法法则，由等式成立，可得： ，解得：． 化简： ①： ∵， ∴，故． ② ∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则、绝对值与二次根式的性质，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合性质化简式子． 3．（25-26八年级下·江苏南通·月考）已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，化简求值，根据二次根式的被开方数非负，确定的值，进而求出的值，然后代入表达式化简计算． 【详解】解：∵， ∴且， 解得． ∴． 则 ，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·湖南长沙·专题练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方式，二次根式的性质，因式分解，整体代入的思想方法，准确利用整体代入的思想方法解答是解题的关键； 将代数式适当变形后利用整体代入的方法解答即可； 利用完全平方式的特征与整体代入的方法解答即可； 利用二次根式的性质和整体代入的方法解答即可； 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ， ， ； （3）解：，， ，， ， 由知：， 则， 原式； 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·开学考试）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加法、除法运算法则分别判断即可． 【详解】解：A选项：∵3与不是同类二次根式，不能合并，∴，A错误； B选项：，计算正确，∴B正确； C选项：∵，∴C错误； D选项：，D错误． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键． 通过分子分母同时乘以 ，消除分母中的根号，实现分母有理化． 【详解】解：， ∴ 分母有理化的结果为， 故选： A． 3．（25-26八年级下·上海·月考）下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握同类二次根式，二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质，同类二次根式定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．与是同类二次根式，故选项A不符合题意； B．，是同类二次根式，故选项B不符合题意； C．，是同类二次根式，故选项C不符合题意； D．与不是同类二次根式，故选项D符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级下·广东汕尾·月考）若最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A．2023 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题考查同类最简二次根式的概念，最简二次根式可以合并的条件是它们的被开方数相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴它们的被开方数相等，即， 解得． 故选：B． 5．（25-26八年级下·福建泉州·专题练习）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义． 两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同．先将化为最简形式，从而确定被开方数为2，即，求解后代入计算即可． 【详解】解：∵，且最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．（25-26八年级下·河北沧州·专题练习）下列选项计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需根据二次根式的性质、同类二次根式的概念及根式化简规则，逐一判断各选项的计算是否正确． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算．根据“先乘除、后加减”的运算顺序，利用二次根式的乘除法则逐步计算． 【详解】解： ， 故选：C． 8．（25-26八年级下·河北沧州·月考）已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，分式的加法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 将表达式 利用二次根式的性质化简并通分，可化为 ，再代入已知条件求值． 【详解】解：由，，可知， 则， 又∵， ∴． 故选：C． 9．（25-26八年级下·山东济南·月考）二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键；因此此题可根据分母有理化依次排除选项即可． 【详解】解：①若是的小数部分，则， 故①错误，不符合题意； ②， ，故②正确，符合题意： ③ ，故③错误； ④， ， ， 均不能对其分母有理化，故④正确； ⑤， ， ， 同理， 两式相加得，，，故⑤正确； ⑥， ， ， ， ， ， ， ，故⑥正确； 故选：C． 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把代入所求式子进行化简求值是解题的关键． 先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 11．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）若，化简______． 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式．先判断，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·湖北十堰·自主招生）化简：____． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的运算，通过有理化分母，将每个分式化为相邻平方根的差，然后利用裂项相消求和即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则化简________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键． 【详解】， ， 故答案为：． 14．（25-26八年级下·上海·月考）最简二次根式与是同类二次根式，则________，________． 【答案】 1 【分析】根据同类二次根式的定义，得，解答即可． 本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 15．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）已知：，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，确定x、y的值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入方程确定的值，然后代入代数式运用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴且，解得． 将代入原方程，得， ∴． ∴ ． 故答案为：． 16．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式混合运算法则，结合二次根式性质，进行计算即可； （2）根据平方差公式，结合合并同类项法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（25-26八年级下·云南昆明·开学考试）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：_________，_________，_________； (2)已知：，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)，， (2)36 (3)2025 【分析】（1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可； （2）先根据已知条件，把x，y化简，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可； （3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解： ； ； ∴ ； （3）解： ． 18．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）结合平方差公式计算即可； （2）根据乘法公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 19．（25-26八年级下·江西南昌·月考）先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值问题，二次根式的混合运算，在化简的过程中运用平方差公式，注意运算的结果要化成最简分式或整式．最后再代入数值进行分母有理化即可． 【详解】解：原式 ， 当a时，原式； 20．（25-26八年级下·福建福州·专题练习）阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题： (1)与___________互为有理化因式； (2)比大小：___________（直接填或中的一种）； (3)已知是正整数，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理化因式的定义，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据有理化因式的定义，进行求解即可； （2）逆用有理化因式，进行判断即可； （3）求出的值，整体代入法，进行求解即可． 【详解】（1）解： 与互为有理化因式； 故答案为：； （2）解：∵， ， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：， ， ∴，， ∵， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3二次根式的运算重难点题型专训 （4个知识点+12大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 分母有理化 题型四 二次根式的乘除混合运算 题型五 复合二次根式的化简 题型六 同类二次根式 题型七 二次根式的加减运算 题型八 二次根式的混合运算 题型九 已知字母的值，化简求值 题型十 已知条件式，化简求值 题型十一 比较二次根式的大小 题型十二 二次根式的应用 拓展训练一 二次根式化简的综合应用 拓展训练二 化简求值问题的综合应用 知识点一：二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 3. 积的算术平方根 （1）积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即． 运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式． （2）该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即． （3） 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·四川眉山·专题练习）已知直角三角形的斜边长为，周长为，则它的面积为（   ） A．7 B．5 C．3 D． 2．（25-26八年级下·江苏南通·专题练习）已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为__________． 知识点二：二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 4. 商的算术平方根 商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）_____； （2）__________． 知识点三：二次根式的加减运算 二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行： 【即时训练】 1．（2026·八年级下 湖南衡阳·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算的结果是_______． 知识点四：二次根式的混合运算 1. 运算法则 与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算． 3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·山东济南·专题练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）计算：__________． 【经典例题一 二次根式的乘法】 【例1】（25-26八年级下·江西南昌·专题练习）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·湖南怀化·专题练习）计算：的结果是___________ ． 1．（25-26八年级下·河南新乡·专题练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海闵行·专题练习）如图，在中，，，以为边在的外部作等边三角形，点为的中点，分别连接和，交于点，连接．某同学在研究这个图形时有两个猜想：①；②，关于这两个猜想，你的判断是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都错误 D．①、②都正确 3．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，等腰中，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为_____． 4． （25-26八年级下·福建福州·专题练习）计算：． 【经典例题二 二次根式的除法】 【例1】（2026·八年级下 江苏南京·一模）已知某物体的质量，其体积，则它的密度ρ为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果是__________． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（23-24八年级下·吉林·专题练习）化简（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：____________． 4．（25-26八年级下·甘肃兰州·专题练习）计算：． 【经典例题三 分母有理化】 【例1】（25-26八年级下·河北邢台·专题练习）在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 【例2】（25-26八年级下·全国·期中）计算：____________． 1．（25-26八年级下·浙江·自主招生）已知实数a，b满足下列说法：（1）；（2）；（3）；（4）中，正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级下·上海·期中）下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·四川成都·专题练习）如图，已知线段，过点作，使，连接，在上截取，在上截取，则的值为___________． 4．（25-26八年级下·上海浦东新·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【经典例题四 二次根式的乘除混合运算】 【例1】（25-26八年级下·上海闵行·月考）在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·上海浦东新·专题练习）不等式的解集是_____． 1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·开学考试）若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 2．（24-25八年级下·山东泰安·期中）已知，则化简的结果为（   ） A．6 B．3 C． D．0 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）___________． （2）________________． 4．（25-26八年级下·上海·期中） 【经典例题五 复合二次根式的化简】 【例1】（25-26八年级下·安徽合肥·专题练习）已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【例2】（2026八年级下·全国·专题练习）当时，化简二次根式的正确结果是_____________． 1．（24-25八年级下·四川乐山·月考）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·全国·竞赛）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 3．（22-23八年级下·湖北黄冈·自主招生）______． 4．（25-26八年级下·广东江门·开学考试）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3） 化简：（请写出化简过程）． 【经典例题六 同类二次根式】 【例1】（24-25八年级下·北京·开学考试）下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式：． （1）能与合并的是___________； （2）能与合并的是___________． 1．（25-26八年级下·全国·周测）在二次根式，，，中，与是同类二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025八年级下·上海·专题练习）若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若最简二次根式与可以合并，则___________． 4．（25-26八年级下·山东泰安·专题练习）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 【经典例题七 二次根式的加减运算】 【例1】（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·河北沧州·专题练习）已知，则______． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（    ） A．或 B． C．或 D． 2．（25-26八年级下·全国·周测）陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出．如果运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，则的值为__________． 4．（25-26八年级下·云南昆明·开学考试）计算： (1) (2) 【经典例题八 二次根式的混合运算】 【例1】（2026·八年级下 湖南·模拟题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·北京大兴·开学考试）计算： （1）______． （2）______． 1．（25-26八年级下·广东佛山·专题练习）如图，在等腰中，，点在线段上，过点作，交延长线于点，过点作交于点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为__________． 4．（25-26八年级下·宁夏银川·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题九 已知字母的值，化简求值】 【例1】（25-26八年级下·河北石家庄·专题练习）已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·四川成都·专题练习）已知，则_________ ． 1．（25-26八年级下·江西宜春·专题练习）已知：，，则代数式的值是（    ） A．6 B．24 C．42 D．96 2．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）已知．则的值为（　　） A．11 B．19 C．17 D．20 3．（25-26八年级下·全国·周测）已知，，则代数式的值为_____． 4．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）（1）已知，求的近似值．（结果保留小数点后两位） （2）已知，求代数式的值 【经典例题十 已知条件式，化简求值】 【例1】（25-26八年级下·四川宜宾·月考）已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 【例2】（25-26八年级下·上海·期中）如果正数满足，那么的值是______． 1．（24-25八年级下·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 2．（23-24八年级下·四川内江·月考）如果，则的值是（　　） A．5 B．3 C． D． 3．（2026八年级下·四川成都·专题练习）已知，，则的值为______． 4．（25-26八年级下·湖北十堰·专题练习）（1）计算； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【经典例题十一 比较二次根式的大小】 【例1】（24-25八年级下·福建厦门·月考）已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·周测）比较下列两个数的大小：____________． 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）在算式的□中填入一个运算符号，使其结果最大，则这个运算符号是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖南永州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是__________． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）比较大小： (1)与． (2)与． 【经典例题十二 二次根式的应用】 【例1】（25-26八年级下·福建泉州·专题练习）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积是_____． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江·假期作业）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为______． 4．（25-26八年级下·湖南长沙·专题练习）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【拓展训练一 二次根式化简的综合应用】 【例1】（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列结论中正确的个数是（   ） ①；②是最简二次根式；③和不是同类二次根式；④的有理化因式是；⑤不等式的解集是；⑥的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】（25-26八年级下·河北张家口·月考）分母有理化：_________，__________． 1．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）化简的结果是（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 2．（25-26八年级下·山东济南·月考）阅读下列解题过程： ； ； 观察上面解题过程，的值为（     ） A． B． C． D．10+ 3．（25-26八年级下·北京海淀·自主招生）化简______． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 【拓展训练二 化简求值问题的综合应用】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如果，那么的值为（ ） A．2 B． C． D． 【例2】（2026八年级下·全国·专题练习）当时，式子的值是_____________． 1．（23-24八年级下·湖北十堰·自主招生）已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级下·全国·周测）已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 3．（25-26八年级下·江苏南通·月考）已知，则的值为_________． 4．（25-26八年级下·湖南长沙·专题练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·开学考试）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·上海·月考）下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（24-25八年级下·广东汕尾·月考）若最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A．2023 B． C．2024 D． 5．（25-26八年级下·福建泉州·专题练习）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·河北沧州·专题练习）下列选项计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A．1 B．0 C． D． 8．（25-26八年级下·河北沧州·月考）已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 9．（25-26八年级下·山东济南·月考）二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 11．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）若，化简______． 12．（23-24八年级下·湖北十堰·自主招生）化简：____． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则化简________． 14．（25-26八年级下·上海·月考）最简二次根式与是同类二次根式，则________，________． 15．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）已知：，则的值为______． 16．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）计算： (1) (2) 17．（25-26八年级下·云南昆明·开学考试）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：_________，_________，_________； (2)已知：，求的值． (3)计算：． 18．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 19． （25-26八年级下·江西南昌·月考）先化简，再求值：，其中 ． 20．（25-26八年级下·福建福州·专题练习）阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题： (1)与___________互为有理化因式； (2)比大小：___________（直接填或中的一种）； (3)已知是正整数，，求． 学科网（北京）股份有限公司 $