专题1.2 二次根式运算（高效培优讲义）数学浙教版八年级新教材下册

本讲义聚焦二次根式运算核心知识点，系统梳理从乘除法则、最简与同类二次根式概念，到加减及混合运算的完整脉络，以层层递进的学习支架帮助学生逐步构建运算技能体系。 资料通过“知识点解析+即学即练+题型变式”设计，强化运算能力与推理意识，如分母有理化、矩形面积计算等实例培养抽象能力与模型意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固提升，有效查漏补缺。

专题1.2 二次根式运算 教学目标 1.理解最简二次根式、同类二次根式的判定标准，能快速将二次根式化为最简形式，准确判断同类二次根式并完成合并。 2.熟练掌握二次根式加减、乘除运算法则，能规范进行简单运算及混合运算（含括号运算），杜绝符号、法则运用错误。 3.能运用二次根式运算解决基础实际问题（如长度、面积相关计算），实现知识的简单应用 教学重难点 1.重点 （1）二次根式加减、乘除运算法则的熟练运用，能规范、准确完成各类基础运算。 （2）最简二次根式的化简方法，同类二次根式的判断与合并技巧。 （3）二次根式核心性质的应用，能运用性质快速化简二次根式。 2.难点 （1）二次根式混合运算中，运算顺序（先乘除、后加减，有括号先算括号内）的把握，以及符号的判断。 （2）复杂二次根式的化简（如分母有理化）、同类二次根式的判断（需先化简再判断的情况）。 （3）运用二次根式运算解决实际问题，能将文字信息转化为数学运算，梳理数量关系 知识点01 二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 【即学即练】 (1)； (2)； (3)． 知识点02 二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【即学即练】 1．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 知识点03 最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【即学即练】 1．若，其中为最简二次根式，为有理数， ． 2．化简： （1） ． （2） ． （3） ． 知识点04 同类二次根式 1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【即学即练】 1．下列各式与可以合并的是（    ） A． B． C． D． 2．若最简二次根式与可以合并，则的值是（　　） A． B． C． D． 知识点05 二次根式的加减 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变 【即学即练】 1．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 知识点06 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即学即练】 1．计算：． 2．计算： (1) (2) 题型01二次根式的乘法 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【变式2】计算 （1）     （2） 【变式3】计算： (1)． (2)． (3)． 题型02 二次根式的除法 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 题型03二次根式的乘除法混合 【典例3】计算：． 【变式1】计算： 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】化简计算． 题型04 最简二次根式的判断 【典例4】下列二次根式中的最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若是最简二次根式，则a的值可以是（    ） A． B．2 C．4 D．8 题型05 化为最简二次根式 【典例5】化简的结果是 ． 【变式1】化简： ． 【变式2】计算 ． 【变式3】化简： ． 题型06 同类二次根式 【典例6】下列二次根式中，能与进行合并的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与3 【变式2】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【变式3】若最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 题型07 二次根式的加减运算 【顶啊力7】计算：． 【变式1】计算：． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算：． 题型08 二次根式的混合运算 【典例8】计算： (1) (2)． 【变式1】计算： (1)； (2) 【变式2】计算：． 【变式3】计算 (1) (2) 题型09 分母有理化 【典例9】在高中阶段，要求二次根式的最终结果中不含有根号，也就是说当分母中有无理数时要将其化为无理数，实现分母有理化． 试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【变式1】阅读下列材料，然后解答下列问题： 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)（为正整数）___________． (2)___________．（结果不含根号） (3)比较与的大小，并说明理由． 【变式2】阅读材料并解决问题： 像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们称这两个式子互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 请仿照上面的方法，解决下列问题： (1)的有理化因式是 ， ； (2)计算： 【变式3】阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上．如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；． 这种化简的方法叫分母有理化．请将下列代数式分母有理化： (1)； (2)． 题型10 已知字母的值，化简求值 【典例10】已知，，则的值是 ． 【变式1】设，，则的值是 ． 【变式2】已知：，则 ． 【变式3】已知，，则的值是 ． 题型11 比较二次根式的大小 【典例11】比较大小： ；（填“<”，“=”或“>”）． 【变式1】比较大小： ． 【变式2】已知，，，则a，b，c的大小关系是 ． 题型12 二次根式的应用 【典例12】如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原矩形木板的面积； (2)求剩余木料的周长． 【变式1】如图，长方形空地的长为，宽为，现准备在空地中划出长为，宽为的小长方形（图中阴影部分）作为花卉实验田． (1)求长方形空地的周长（结果化为最简）； (2)求长方形花卉实验田的面积（结果化为最简）． 【变式2】海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度（），d表示海水的深度，g表示重力加速度．若在海洋深度20m处发生海啸，求其行进的速度． 【变式3】已知矩形的长为a，宽为b且，． (1)求矩形的周长； (2)当时，求正方形的边长m的值．（注：S表示面积） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．计算所得的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值为（    ） A．4 B．12 C．10 D．6 5．计算： ． 6．若与最简二次根式能合并，则的值为 ． 7．比较大小： （填“>”“=”或“<”）． 8．计算： ． 9．计算： (1)； (2)． 10．计算： (1) (2) 11．海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 12．阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 二次根式运算 教学目标 1.理解最简二次根式、同类二次根式的判定标准，能快速将二次根式化为最简形式，准确判断同类二次根式并完成合并。 2.熟练掌握二次根式加减、乘除运算法则，能规范进行简单运算及混合运算（含括号运算），杜绝符号、法则运用错误。 3.能运用二次根式运算解决基础实际问题（如长度、面积相关计算），实现知识的简单应用 教学重难点 1.重点 （1）二次根式加减、乘除运算法则的熟练运用，能规范、准确完成各类基础运算。 （2）最简二次根式的化简方法，同类二次根式的判断与合并技巧。 （3）二次根式核心性质的应用，能运用性质快速化简二次根式。 2.难点 （1）二次根式混合运算中，运算顺序（先乘除、后加减，有括号先算括号内）的把握，以及符号的判断。 （2）复杂二次根式的化简（如分母有理化）、同类二次根式的判断（需先化简再判断的情况）。 （3）运用二次根式运算解决实际问题，能将文字信息转化为数学运算，梳理数量关系 知识点01 二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 【即学即练】 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可； （3）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 知识点02 二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【即学即练】 1．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （3）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （4）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （5）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （6）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 知识点03 最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【即学即练】 1．若，其中为最简二次根式，为有理数， ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质化简，涉及最简二次根式定义、利用二次根式性质化简等知识，先得到，再由最简二次根式定义及题意即可得到答案．熟记最简二次根式定义、利用二次根式性质化简是解决问题的关键． 【详解】解：， 若，其中为最简二次根式，为有理数，则， 故答案为：． 2．化简： （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．正确化简二次根式是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （2）先将被开方数化为正分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （3）先将带分数化为假分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简． 【详解】解：（1）∵ = ，而 ，， ∴原式 = . 故答案为： . （2）， . 故答案为：． （3）， . 故答案为：． 知识点04 同类二次根式 1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【即学即练】 1．下列各式与可以合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质及同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质及同类二次根式是解题的关键；判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后根号内的数相同，先将化简，再逐一检查各选项化简后的结果即可． 【详解】解：∵， ∴选项A：， 选项B：， 选项C：， 选项D：， ∴只有选项C化简后根号内为2，与化简后的被开方数相同，可以合并； 故选C． 2．若最简二次根式与可以合并，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的计算，准确计算是解题的关键． 两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同，先将化为最简形式，得到，从而确定被开方数为2． 【详解】∵ ，且与可以合并， ∴ 与是同类二次根式， ∴ ， ∴， ∴ ， 故选：A． 知识点05 二次根式的加减 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变 【即学即练】 1．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先去括号，再将二次根式化为最简形式，最后合并同类二次根式； （3）把每个二次根式化简后，合并同类二次根式； （4）先化简各二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式= ． （2）解：原式= ． （3）解：原式= ． （4）解：原式= ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先将二次根式化为最简形式，再准确合并同类二次根式． 知识点06 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即学即练】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的乘除法法则计算，再根据二次根式的性质化简，然后计算加减即可． 【详解】解： ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先计算乘法，再根据二次根式的性质化简即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型01二次根式的乘法 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)8 【分析】（1）把被开方数相乘即可， （2）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可， （3）把被开方数相乘即可， （4）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键． 【变式1】计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【答案】(1)6 (2)10 (3)1 (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （4）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是熟练掌握二次的乘法法则：． 【变式2】计算 （1）     （2） 【答案】（1）45；（2） 【分析】（1）先化简二次根式，然后进行乘法运算，即可求解； （2）先利用二次根式的乘法法则进行乘法运算，再化简，即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则——，其中 ， ，还要注意结果要化为最简二次根式． 【变式3】计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简，再结合二次根式的乘法法则计算，即可作答． （3）根据二次根式的乘法法则计算，再结合二次根式的性质化简，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 题型02 二次根式的除法 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法． （1）直接根据二次根式的除法法则计算即可； （2）先将带分数化为假分数，再根据二次根式的除法法则计算即可； （3）直接根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，熟记运算法则是关键. （1）根据二次根式的除法法则计算即可， （2）根据二次根式的除法法则计算即可， （3）根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则计算即可； （2）利用二次根式的除法法则计算即可； （3）利用二次根式的除法法则计算即可； （4）利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 题型03二次根式的乘除法混合 【典例3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，然后将二次根式化为最简二次根式，最后进行加减运算．掌握相应的运算法则、运算顺序及性质是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式1】计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接根据二次根式的乘除计算法则进行计算求解即可． 【详解】解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 【变式3】化简计算． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除运算法则进行乘除运算即可． 【详解】解： ． 题型04 最简二次根式的判断 【典例4】下列二次根式中的最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数无平方因子且分母无根号．选项A、B、D均可进一步简化，只有C满足条件． 【详解】解： A．，不是最简； B．，不是最简； C．，为质数，无平方因子，是最简； D．，不是最简． 故选：C． 【变式1】下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数． 【详解】解：A． = = ，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B．被开方数含分母，不是最简二次根式； C． = ，可完全开方，不是最简二次根式； D． 被开方数为质数，无分母和能开得尽方的因数，是最简二次根式． 故选：D． 【变式3】若是最简二次根式，则a的值可以是（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵时，，根号下有分母，不是最简二次根式； ∵时，，可化简为整数，不是最简二次根式； ∵时，，可化简，不是最简二次根式； ∵时，，被开方数2不含分母且不含完全平方因数，是最简二次根式． 故选：B． 题型05 化为最简二次根式 【典例5】化简的结果是 ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质化简求得答案即可． 本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键． 【详解】解：． 故答案为： 【变式1】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的化简方法是解题的关键．根据二次根式的性质解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算及化简，解题的关键是掌握二次根式乘法法则（），并将结果化为最简二次根式． 先根据二次根式乘法法则，将系数与被开方数分别相乘，即；再计算被开方数的乘积；最后将化简为，并与系数3相乘得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的性质是解题关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：原式：， 故答案为：． 题型06 同类二次根式 【典例6】下列二次根式中，能与进行合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，解决本题的关键是熟练掌握相关的知识点. 先化简成最简二次根式，被开方数相同则为同类二次根式. 【详解】解：A、被开方数不同，不是同类二次根式，选项说法错误，不符合题意； B、被开方数不同，不是同类二次根式，选项说法错误，不符合题意； C、被开方数相同，是同类二次根式，选项说法正确，符合题意； D、被开方数不同，不是同类二次根式，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与3 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握被开方数相同的最简二次根式叫同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，，因为化成最简二次根式以后被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B．，，因为化成最简二次根式以后被开方数相同，所以是同类二次根式，故本选项符合题意； C．因为和的被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D．，因为化成最简二次根式以后被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，根据同类二次根式的定义，被开方数必须相同，把化为最简二次根式后，因此令 等于 化简后的被开方数即可求解． 【详解】解：∵， 与是同类二次根式， ∴，解得． 故答案为 3． 【变式3】若最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式；最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得， 当时，，，二者均为最简二次根式，符合题意， 故； 故答案为：． 题型07 二次根式的加减运算 【顶啊力7】计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简与加减运算．将各个二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1】计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键； 先化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先利用算术平方根对二次根式化简，然后利用有理数的加减混合运算法则进行计算按即可； （2）先去括号，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题主要考查二次根式化简、二次根式和有理数的加减混合运算法则；熟练掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 【变式3】计算：． 【答案】 【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的加减运算即可． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，熟记运算法则是解题关键． 题型08 二次根式的混合运算 【典例8】计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的四则混合运算、乘方与绝对值的综合计算，解决本题的关键在于正确运算并熟练掌握二次根式的化简、运算顺序，以及根据被开方数的大小比较判断绝对值内的正负，进而正确化简． （1）分别将​等进行化简，然后计算​的乘积，最后合并同类二次根式得到结果． （2）先计算乘方，再化简​，接着判断绝对值内的正负，得到，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键； （1）根据二次根式的乘除法可进行求解； （2）根据二次根式的混合运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键；因此此题可根据二次根式的混合运算法则进行求解． 【详解】解：原式 ． 【变式3】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键： （1）先进行乘除运算，利用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式即可； （2）先乘法，再进行合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 题型09 分母有理化 【典例9】在高中阶段，要求二次根式的最终结果中不含有根号，也就是说当分母中有无理数时要将其化为无理数，实现分母有理化． 试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化： （1）根据分母有理化方法，分子分母同时乘以即可得到结论； （2）根据分母有理化方法，分子分母同时乘以，即可得到结论； （3）根据分母有理化方法，分子分母同时乘以，即可得到结论． 【详解】（1）解：； （2）解∶ ； （3）解： ． 【变式1】阅读下列材料，然后解答下列问题： 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)（为正整数）___________． (2)___________．（结果不含根号） (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)22 (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式， 对于（1），根据分母有理化的定义解答； 对于（2），先根据平方差公式将分母有理化，再合并同类二次根式； 对于（3），先求出两个数的倒数，再比较可得答案. 【详解】（1）解：原式. 故答案为：； （2）解：原式 ； 故答案为：22； （3）解：,理由如下：； . ∵， ∴， ∴. 【变式2】阅读材料并解决问题： 像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们称这两个式子互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 请仿照上面的方法，解决下列问题： (1)的有理化因式是 ， ； (2)计算： 【答案】(1)； (2)49 【分析】本题考查了分母有理化的计算，平方差公式的应用，熟练掌握有理化的依据和计算是解题的关键． （1）根据平方差公式，类比例子解答即可； （2）根据平方差公式，类比例子解答即可． 【详解】（1）解： 所以的有理化因式是 ； 故答案为：，． （2）解：原式 ． 【变式3】阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上．如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；． 这种化简的方法叫分母有理化．请将下列代数式分母有理化： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）把原式的分子分母同时乘以，再计算求解即可； （2）把原式的分子分母同时乘以，再计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解； ． 题型10 已知字母的值，化简求值 【典例10】已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，利用已知条件计算代数式的值，通过计算和的值，再利用完全平方公式求，最后代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】设，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，通过观察发现和互为倒数，即，从而将原式化简为． 【详解】解：由，， 计算， 所以． 则． 因此． 故答案为：． 【变式2】已知：，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的运算，化简求值，求出的值，再将多项式进行因式分解，再利用整体代入法，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 【变式3】已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，由已知求出，将原式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； ； ； ∴， 故答案为：． 题型11 比较二次根式的大小 【典例11】比较大小： ；（填“<”，“=”或“>”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． 先比较平方的大小，再比较两数大小即可． 【详解】解：计算，， 由于，且和均为正数， 因此． 故答案为：． 【变式1】比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．利用作商法，即可比较大小． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【变式2】已知，，，则a，b，c的大小关系是 ． 【答案】 【分析】通过有理化将每个表达式转化为分母形式，比较分母的大小关系即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用二次根式的性质化简，分子有理化，比较二次根式的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 题型12 二次根式的应用 【典例12】如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原矩形木板的面积； (2)求剩余木料的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，再求出原矩形木板的长为，宽为，进而根据矩形的面积得到答案； （2）求出剩余木料的长为，宽为，进而可得出答案． 【详解】（1）解：（1）∵两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为，， ∴原矩形木板的长为，宽为， ∴原矩形木板的面积为； （2）解：剩余木料的长为，宽为， ∴剩余木料的周长为． 【变式1】如图，长方形空地的长为，宽为，现准备在空地中划出长为，宽为的小长方形（图中阴影部分）作为花卉实验田． (1)求长方形空地的周长（结果化为最简）； (2)求长方形花卉实验田的面积（结果化为最简）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，最简二次根式： （1）根据矩形的周长=（长+宽）计算即可； （2）先求出通道的面积，再算钱数即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长 （2）解：长方形花卉实验田的面积 【变式2】海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度（），d表示海水的深度，g表示重力加速度．若在海洋深度20m处发生海啸，求其行进的速度． 【答案】 【分析】根据公式及二次根式的运算法则即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 则， ∴海啸行进的速度是． 【点睛】此题主要考查二次根式的计算，解题的关键是根据题中的公式列式求解． 【变式3】已知矩形的长为a，宽为b且，． (1)求矩形的周长； (2)当时，求正方形的边长m的值．（注：S表示面积） 【答案】(1) (2)6 【分析】(1)直接利用矩形周长求法，结合二次根式的加减运算法则，计算得出答案； (2)直接利用正方形的性质化简，得出边长，求出答案． 【详解】（1） ∴长方形的周长是： （2）设正方形的边长为x，则有， ∴ ， ∴正方形的边长是：m=． 【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键． 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数为整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数．根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数为整数，且无平方因子，故为最简二次根式，符合题意； B、  ，含平方因子，故不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数不是整数，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2．计算所得的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘方运算．应用指数运算规则，将平方分配到每个因子进行计算． 【详解】解：． 故选：D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减运算，只有根号内的数相同时才能直接合并系数．对此一一计算即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式加减时，需被开方数相同才能合并， 选项A：与被开方数不同，不能合并，故错误； 选项B：，故错误； 选项C：与被开方数不同，不能合并，故错误； 选项D：，正确． 故选D． 4．已知，，则的值为（    ） A．4 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式的运用，根据已知求出，再根据完全平方公式将式子化为，求出结果即可． 【详解】解：，， ， ∴， 故选：B． 5．计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟悉计算是解题的关键． 利用二次根式的乘法法则进行计算． 【详解】解： ， 故答案为3． 6．若与最简二次根式能合并，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念． 先将化简为，被开方数为，因此的被开方数也应为2，即可得出结果． 【详解】解：， ∴被开方数为2， ∵与最简二次根式能合并， 又∵是最简二次根式， ∴的被开方数与2相同， 即，解得， 故答案为：1． 7．比较大小： （填“>”“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查无理数大小比较，通过比较两个数的平方值来判断大小． 【详解】解：∵，，且， ∴， 故答案为：． 8．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；通过观察表达式，先利用平方差公式计算，再与剩余部分相乘，简化计算． 【详解】解： 故答案为：． 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算： （1）根据二次根式的性质进行计算即可． （2）根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 10．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先将二次根式化简，然后计算加减法即可； （2）根据平方差公式及完全平方公式、二次根式的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 11．海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了“海伦公式”的应用，二次根式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将，，代入公式计算得出，然后再代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ． 12．阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点． （1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $