第一章 二次根式重难点检测卷-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

第一章 二次根式重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·四川宜宾·专题练习）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·北京·开学考试）下列式子中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广东深圳·专题练习）如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·湖南长沙·专题练习）若，则（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·上海静安·期中）下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 9．（2024八年级下·全国·竞赛）已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C． D． 10．（24-25八年级下·重庆渝北·月考）已知多项式，下列说法正确的有（　　）个． ①若，则； ②若为整数，则整数x的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A．1 B．2 C．3 D．4 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级下·山东济南·专题练习）比较大小： ______ （填 、或） 2．（2023·八年级下 河南周口·模拟预测）若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值______． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）当时，化简的结果是__________． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）计算：________． 5．（25-26八年级下·河南开封·专题练习）将式子（为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．所有符合条件的的值的和为_____ 6．（25-26八年级下·福建宁德·月考）已知，则代数式的值是______． 7．（24-25八年级下·青海玉树·期中）已知，则___________． 8．（25-26八年级下·全国·周测）现将一个面积为的正方形的一组对边缩短，就成为一个长方形，这个长方形的面积为_________． 三、解答题（10小题，共66分） 1．（25-26八年级下·上海·月考）已知实数x、y满足，求的立方根． 2． （25-26八年级下·陕西榆林·开学考试）计算：． 3．（25-26八年级下·浙江·假期作业）如果一个三角形的三边的比例是，我们称它是“阶梯根式三角形”，比如：三角形的三边为“”或“”的都是“阶梯根式三角形”． (1)已知下列三角形的三边，分别判断是否为“阶梯根式三角形”． ①     ② (2)“阶梯根式三角形”是直角三角形吗？判断并说明你的理由． 4．（25-26八年级下·山西临汾·月考）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知是两个正整数，且记作，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．”例如： 任务： (1)分母有理化：___________； 化简“理想二次根式”：___________． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值． 5．（25-26八年级下·河北保定·开学考试）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（25-26八年级下·湖南怀化·专题练习）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 7． （24-25八年级下·湖北襄阳·月考）已知．求的值． 8． （25-26八年级下·全国·课后作业）当取什么值时，式子有最大值？请求出这个最大值． 9． （25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求式子的值． 10．（25-26八年级下·四川成都·专题练习）已知，C点为射线上一动点，以为直角边在右侧构造等腰直角． (1)如图1，连接，与相等吗？请说明理由； (2)若，求； (3)若，射线与射线交于点E，当 为等腰三角形时，求m与n的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次根式重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·四川宜宾·专题练习）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 【答案】D 【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义（形如（）的式子是二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负），逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，求不等式组的解集，根据二次根式性质与分式的符号性质求解，先确定分母的取值范围，再根据分式小于0的条件确定分子的范围，最后取两者交集得到x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式的被开方数需大于等于0，且分母不能为0， ∴， 解得， ∵分式，且， ∴分子， 解得， ∴综合两个不等式的解，x的取值范围是． 故选：C． 3．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的性质以及二次根式有意义的条件逐一判断即可求解． 【详解】解：因为二次根式的被开方数必须为非负数，选项A中与的被开方数为负数，无意义，所以A错误不符合题意； 因为，所以B错误不符合题意； 因为，所以C错误不符合题意； 因为有意义时，即，所以，所以D正确符合题意； 故选：D． 5．（25-26八年级下·北京·开学考试）下列式子中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可。 【详解】∵最简二次根式的定义为：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式， 对选项A，=，被开方数含有分母，不是最简二次根式， 对选项C，分母含有根式，可化简为，不是最简二次根式， 对选项D，==，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 对选项B，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义， ∴选B. 6．（24-25八年级下·广东深圳·专题练习）如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理．过点A作于点E，根据勾股定理可得：，进而得出，即可解答． 【详解】解：过点A作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴根据勾股定理可得：， 即， ∴， ∵， 根据勾股定理可得：， ∴， 故选：B． 7．（23-24八年级下·湖南长沙·专题练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化，读懂题意，利用平方差公式进行分母有理化，是解答本题的关键． 根据题意，将展开，然后利用平方差公式进行分母有理化，化简整理，最终得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， ． 故选：． 8．（22-23八年级下·上海静安·期中）下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可． 【详解】A.，不是互为倒数，选项错误； B.若，由于，则，选项错误； C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确； D.由可得，结合可得，，则，选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键． 9．（2024八年级下·全国·竞赛）已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，根式的化简，熟练掌握根式的化简是解答本题的关键．先求的值，再求和的值，最后代入，根据根式运算法则求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A． 10．（24-25八年级下·重庆渝北·月考）已知多项式，下列说法正确的有（　　）个． ①若，则； ②若为整数，则整数x的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，分母有理化，数字规律探索，分式的混合运算，二次根式的性质化简等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据代数式求值对①进行判断即可；②将化为，根据式子为整数分析求解即可；③求出，即可得出最小值；④根据分母有理化算出，进而求解即可． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②当整数时，则为整数， 为整数， 为整数，取整数， 当或或或时，为整数，故②错误； ③， 当时，的最小值为，故③错误； ④ ， ， ， ， ， ， 故④错误， 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级下·山东济南·专题练习）比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 2．（2023·八年级下 河南周口·模拟预测）若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】属于真分数，则是整数，且不能为的因数，即可求解． 【详解】∵属于真分数， ∴，且为整数， ∴可以取，即， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查二次根式的性质，理解真分数的定义是解题的关键． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）当时，化简的结果是__________． 【答案】1 【分析】根据二次根式的性质， ，再结合条件 ，化简绝对值表达式． 本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：因为 ， 所以 ， 因此． 故． 故答案为：1． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，分母有理化，先化简二次根式，再相减即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5．（25-26八年级下·河南开封·专题练习）将式子（为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．所有符合条件的的值的和为_____ 【答案】80 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，同类二次根式的概念，二次根式有意义的条件，解决本题的关键是对完全平方数以及同类二次根式的理解． 先化简，令，根据符合条件的n的值，再求解出a的值即可． 【详解】解：∵， 又∵式子（为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并． 则化简后是，其中为整数， 即可以转化为2乘以一个平方数， 令（为正整数），则， 又，解得， ∴满足条件的n的值为1，2，3，4， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴所有符合条件的的值的和为． 故答案为：80． 6．（25-26八年级下·福建宁德·月考）已知，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、乘法公式，解题的关键是熟练掌握应用乘法公式，掌握二次根式的混合运算法则． 将代入代数式，利用完全平方公式以及平方差公式计算即可． 【详解】解：把代入代数式得， 原式 ． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·青海玉树·期中）已知，则___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．由已知条件得到，则根据二次根式的性质化简得原式，然后通分后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为． 8．（25-26八年级下·全国·周测）现将一个面积为的正方形的一组对边缩短，就成为一个长方形，这个长方形的面积为_________． 【答案】60 【分析】本题考查了正方形及长方形的面积公式、二次根式的混合运算，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 先求出正方形的边长，再根据缩短后的对边长度计算长方形的面积． 【详解】解：正方形的面积为，故边长为 = cm． 将一组对边缩短 cm， 则缩短后的对边长度为 = cm． 另一组对边长度不变，仍为 cm． 因此长方形的面积为 = = = cm²． 故答案为：60． 三、解答题（10小题，共66分） 1．（25-26八年级下·上海·月考）已知实数x、y满足，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，从而得到，再结合分母不为零，得到，进而求出 的值，然后计算代数式的值，最后求立方根． 【详解】解：∵实数、 满足， ∴ 且 ， ∴ 且 ， ∴， ∴， ∵分母 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的立方根为， ∴的立方根为 ． 2．（25-26八年级下·陕西榆林·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】先计算除法，绝对值，乘方，再计算加减即可． 【详解】解： 3．（25-26八年级下·浙江·假期作业）如果一个三角形的三边的比例是，我们称它是“阶梯根式三角形”，比如：三角形的三边为“”或“”的都是“阶梯根式三角形”． (1)已知下列三角形的三边，分别判断是否为“阶梯根式三角形”． ①     ② (2)“阶梯根式三角形”是直角三角形吗？判断并说明你的理由． 【答案】(1)①和②都是“阶梯根式三角形” (2)是直角三角形，理由见详解 【分析】本题考查二次根式的化简、勾股定理的逆定理等知识，关键是紧扣“阶梯根式三角形”的定义，通过化简变形验证三边比例；利用勾股定理的逆定理，通过设参数表达式验证三角形是否为直角三角形． （1）①先将三边、、按从小到大排序，再将三边同时除以最小边，化简比例后验证是否符合的定义． ②先对三边化简为最简二次根式，再化简比例，验证是否符合“阶梯根式三角形”的定义． （2）根据定义设三边为、、，分别计算三边的平方，验证两小边的平方和是否等于最大边的平方，从而利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形． 【详解】（1）解：①将三边、、按从小到大排列为，，． (两边同除以)，符合“阶梯根式三角形”的定义，故①是阶梯根式三角形； ②将三边、、化简为、、，按从小到大排列为，，． ，符合定义，故②是阶梯根式三角形； （2）解：是直角三角形．理由如下： 设“阶梯根式三角形”的三边为，，． ，且， ，满足勾股定理的逆定理， “阶梯根式三角形”是直角三角形； 4．（25-26八年级下·山西临汾·月考）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知是两个正整数，且记作，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．”例如： 任务： (1)分母有理化：___________； 化简“理想二次根式”：___________． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分子分母同乘以进行分母有理化即可；将变形为求解即可； （2）先代入，然后进行分母有理化和化简“理想二次根式”，再进行加减计算． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． ． ． 5．（25-26八年级下·河北保定·开学考试）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用平方差公式简化计算，再按运算顺序计算即可； （2）分别化简各部分后，合并同类二次根式即可； （3）运用加减消元法求解二元一次方程组即可； （4）方程组整理后运用加减消元法求解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， 得， 解得， 把代入②得， 解得：， 所以，方程组的解为； （4）解：， 整理方程组得， 得， 解得， 把代入①得， 解得， 所以，方程组的解为． 6．（25-26八年级下·湖南怀化·专题练习）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简与大小比较，核心是利用完全平方公式将根号内的式子配成完全平方式，再结合二次根式的性质进行化简，同时运用分母有理化来比较大小． （1）先观察根号内的代数式，将其拆分为两个数的平方和与这两个数乘积的倍的形式，凑成完全平方式，再根据二次根式的性质去掉外层根号完成化简； （2）先对两个分式的分母进行化简，同样通过配方法将分母根号内的式子配成完全平方式，再进行分母有理化，最后根据化简后的结果比较两个数的大小． 【详解】（1）解：① ． ② ； （2）解： ． 7．（24-25八年级下·湖北襄阳·月考）已知．求的值． 【答案】18 【分析】求出和的值，再把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）当取什么值时，式子有最大值？请求出这个最大值． 【答案】，最大值为8 【分析】本题考查的是二次根式的非负性，理解题意是解题的关键． 要使得式子有最大值，那么需取最小值，根据二次根式的非负性可知，时最小，由此可求出这个最大值． 【详解】解：由题意，得，解得． 当，即时，有最大值，最大值为8． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求式子的值． 【答案】 【分析】由非负性可得，，再将二次根式进行化简代入求值即可． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， 原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键． 10．（25-26八年级下·四川成都·专题练习）已知，C点为射线上一动点，以为直角边在右侧构造等腰直角． (1)如图1，连接，与相等吗？请说明理由； (2)若，求； (3)若，射线与射线交于点E，当 为等腰三角形时，求m与n的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的运算，熟练掌握三角形全等的判定定理及等腰三角形的性质是解题的关键． （1）先证明，易证，即可得出结论； （2）先求出，同理（1）得，推出，根据题意易求，进而得到，求出，利用勾股定理求出，再根据是等腰直角三角形，可得即可求解； （3）根据题意求出，结合题意得到，进而得到，求出，，，由（1）知，即，由（2）知，利用，即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：当点C在上时， ∵， ∴， 同理（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 当点C在的延长线上时， ∵， ∴， 同理（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 综上，为或； （3）解：． 如图，连接， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴只存在， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，即， 由（2）知，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $