5.3.2等比数列的前n项和（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第三册

第五章 数 列 5.3 等比数列 5.3.2等比数列的前项和 学 习 目 标 1 2 经历问题探究，利用错位相减法理解与掌握等比数列的前n项和公式，并能灵活运用其求解相关的实际问题（逻辑推理、数学运算•重点）. 经历问题探究，理解与掌握等比数列的前n项和与函数的关系，并能运用其求解相关的实际问题（逻辑推理、数学运算•难点）. （一）情景问题——信息传播问题 一、等比数列前n项和公式 在信息技术高度发展的今天,人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息,在这样的背景下,要求每一个人都要"不造谣,不信谣,不传谣",否则要依法承担有关法律责任,你知道这其中的缘由吗? 如图所示,如果一个人得到某个信息之后,就将这个信息传给3个不同的好友(称为第1轮传播);每个好友收到信息后,又都传绍合了3个不同的好友(称为第2轮传播)......依此下去,假设信息在传播的过程中都是传给不同的人,则每一轮传播后,信息传播的人数就构成了一个等比数列 1, 3, 9, 27, 81, ... 如果信息按照上迷方式共传播了19轮,那么知晓这个信息的人数共有多少? （二）问题探究 一、等比数列前n项和公式 为了解决情境中的问题,我们需要计算出等比数列 1, 3, 9, 27, 81, ... 的前20项和,即要算出 ① 的值. 你能想办法算出①式的值吗?你能得出一般等比数列前项和的公式吗? 探究（1） 用①×3可得 . ② 再用①－②可得 因此，也就是说,经过19轮传播之后,知晓这个信息的人数约为17亿,比我 国现有的总人口还多! （二）问题探究——等比数列的前n项求和公式推导（错位相减法） 一、等比数列前n项和公式 探究（2）——错位相减法 由探究（1）可知一般等比数列前项的和可以用类似的方式得到. 设等比数列的公比为,前n项和为,则 , 代入通项公式可得 ③ ①当时,由③可以看出. ②当时,在③两边同时乘以可得 ④ 用③－④可得, 此时有 . 综上可得等比数列前n项和的公式为 . 一、等比数列前n项和公式 （三）等比数列的前n项求和公式 由上探究可得等比数列的前n项和公式为 1.错位相减法公式 设等比数列的公比为,前n项和为，则 . 2.∵, ∴等比数列的前n项和公式也可以写为 . （三）实例运用 一、等比数列前n项和公式 例1 已知等比数列的公比，求这个数列前8项的和.   【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】根据等比数列公式得到，再利用等比数列求和公式得到答案. 【详解】因为，所以， 因此.   （三）实例运用 一、等比数列前n项和公式 例2 已知等比数列中，，求这个数列前10项的和.   【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】根据等比数列通项公式，结合题意，可求得的值，代入求和公式，即可得答案. 【详解】因为为等比数列， 所以，   解得， . 所以前10项的和.   （三）实例运用 一、等比数列前n项和公式 例3 已知数列的前项和公式为，求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等比数列.   【知识点】由定义判定等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用与的关系计算即可得出通项公式，根据等比数列的定义验证即可得出结果. 【详解】当时，有5 当时，有. 因此数列的通项公式为 注意到， 因此，所以可知不是等比数列.   （一）问题探究 二、等比数列前n项和与函数的关系 1.问题一：等比数列中与的关系与以前学过的什么函数有关? 探究1： 设等比数列的前n项和为,首项为，公比为，则 ， 整理得 ，， 故等比数列是关于项数的函数. （一）问题探究 二、等比数列前n项和与函数的关系 2.问题二： 如果数列的前n项和的公式是 , 其中都是常数,且，那么 一定是等比数到吗?为什么? 探究2：不一定，只有当常数 时， 才是等比数列，原因如下 假设等比数列的前n项和为,首项为，公比为，则 ， ，， 分别令，,则 ，且 故当常数 时， 才是等比数列，且首相，公比为， 通项公式为 ,. （二）等比数列前n项和与函数的关系 二、等比数列前n项和与函数的关系 关系1： 设等比数列的前n项和为,首项为，公比为，则 , 整理得 ，， 故等比数列是关于项数的函数. 关系2： 如果数列的前n项和的公式是 , 其中都是常数,且， 那么当常数 时， 才是等比数列，且首相，公比为， 通项公式为 ,. （三）实例运用 二、等比数列前n项和与函数的关系 例4 求和：.   【知识点】求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】依题意可得，再利用分组求和及等比数列前项和公式计算可得； 【详解】解：因为，，……，， 所以 .   （三）实例运用 二、等比数列前n项和与函数的关系 例5 某工厂去年1月份的产值为元，且月平均增长率为，求这个工厂去年全年产值的总和.   【知识点】等比数列的定义、求等比数列前n项和 【分析】设该工厂去年第n个月的产值为元，根据题意及等比数列定义，可得为等比数列，代入公式，即可得答案. 【详解】解：设该工厂去年第n个月的产值为元，由题意可知，且， 所以. 所以是以a为首项，为公比的等比数列， 因为这个数列共有12项， 所以. 因此可知该工厂去年全年的总产值为元.   三、提升演练 练习1 已知数列是等比数列． (1)若，，求； (2)若，，求； 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【详解】（1）由等比数列的前项和公式可知， ； （2）设等比数列的首项为，公比为. 若，则，不符合题意，所以， 又，， 两式相除得，即， 解得或． 当时，；当时，， 所以或. 三、提升演练 练习2 在等比数列中，，，求的值. 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】利用等比数列的奇数项和与偶数项和的关系,即可求解. 【详解】解：设,， 所以, 所以， 所以.   三、提升演练 练习3 已知数列是等差数列，是等比数列，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和．   【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和 【分析】（1）通过等比数列的基本量运算求出，再求出，进而通过等差数列的基本量运算求出； （2）结合（1），通过错位相减法求得答案. 【详解】（1）解：设的公差为d，的公比为q，则，所以，则，即，所以 （2）解：由（1），记的前n项和为， 所以……① 则……②， ①-②，得：， 所以.   三、提升演练 练习4 已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和为．   （2）数列． 则 所以 故 所以． 当时，，得， 当，时，，② ①-②得，，即，又， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列． 所以．   今天我们都学习了什么知识？ 1.经历问题探究，利用错位相减法理解与掌握了等比数列的前n项和公式，并能灵活运用其求解相关的实际问题. 2.经历问题探究，理解与掌握领了等比数列的前n项和与函数的关系，并能运用其求解相关的实际问题. 四、课堂小结 感谢聆听! $