精品解析：山东东营市第一中学2025-2026学年高一下学期收心考试数学试题

东营市第一中学2025-2026学年高一下收心考试数学试题 命题人：宋春 审题人：林翠 甄西龙 一､单选题：本题共8小题，每题5分，共40分 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数定义域为，则函数的定义域为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 3. “”是方程至多有一个实数解”的（ ）条件 A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系满足（ ） A. B. C. D. 6. 某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，现从同学们提出的问题中初选个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：利用随机数表法从中抽取个问题回答.若从下列随机数表第行第个数字开始，每次从左向右选取两个数字，则选出的第个问题编号为（ ） A B. C. D. 7. 已知点为所在平面内一点，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 8. 设函数，的零点分别为，则 A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每题6分，共18分 9. 已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”，Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有（） A. B. M与Q互斥 C. D. M与N相互独立 10. 设x>0，y>0，则下列结论正确的是（ ） A. 函数f（x）=3x+3﹣x的最小值为2 B. 不等式恒成立 C. 函数的最小值 D. 若，则x+2y的最小值是 11. 如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（ ） A. 满足的点有且只有一个 B. 满足的点有两个 C. 存在最小值 D. 不存在最大值 三､填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知事件和互斥，且，，则为___________． 13. 若方程的两实根均在区间内，求的取值范围____________． 14. 大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为_____ 四､解答题 15 化简求值 （1）； （2）． 16. 一座金陵城，半部南京史！六朝古都南京，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，以及样本的平均数； （2）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的成绩在这一组的概率． 17. 如图，在等腰梯形中，为线段中点，与交于点为线段上的一个动点. （1）用基底表示； （2）求的值； （3）设，求的取值范围. 18. 设函数是定义R上的奇函数． （1）求k的值； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围； （3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值． 19. 已知函数，． （1）若，求的值； （2）若至少存在两个不相等的正实数，，满足． ①求的取值范围，并求在上的最小值； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东营市第一中学2025-2026学年高一下收心考试数学试题 命题人：宋春 审题人：林翠 甄西龙 一､单选题：本题共8小题，每题5分，共40分 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的基本运算进行求解. 【详解】因为， 所以或， 所以， 故选：B 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】由函数有意义的条件，结合函数的定义域即可求解. 【详解】函数的定义域为，函数有意义， 则有且，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B 3. “”是方程至多有一个实数解”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程根的个数利用判别式求得的范围，再根据充分不必要条件定义可得结论. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件为，即， 又是的充分不必要条件， 因此“”是方程至多有一个实数解”的充分不必要条件. 故选：A 4. 对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共线定理即可求解. 【详解】由题意知. 若与共线，则存在实数使得， 因为向量，不共线， 所以解得，故的值为. 故选：C 5. 设，则的大小关系满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性确定的范围，由此比较的大小即可. 【详解】因为函数为增函数，且， 所以，故， 因为函数为减函数，且， 所以，故， 因为函数为增函数，且， 所以，故，故. 故选：D. 6. 某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，现从同学们提出的问题中初选个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：利用随机数表法从中抽取个问题回答.若从下列随机数表第行第个数字开始，每次从左向右选取两个数字，则选出的第个问题编号为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机数表法的读数规则结合题意求出需选取符合条件的5个数字即可得解. 【详解】由题可知依次选取符合条件的5个数字为：. 所以选出的第个问题编号为11. 故答案为：B 7. 已知点为所在平面内一点，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，以为邻边作平行四边形，利用可得答案. 【详解】过点作， 则， 以为邻边作平行四边形， 所以，， 可得， 所以. 故选：B. 8. 设函数，的零点分别为，则 A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出、、的图像，即可得，于是有，由对数的运算及对数函数的性质即可求得答案. 【详解】解：由题意可得是函数的图像和的图像的交点的横坐标，是的图像和函数的图像的交点的横坐标，且都是正实数，如图所示： 故有，故， ∴， ∴，∴. 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，每题6分，共18分 9. 已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”，Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有（） A. B. M与Q互斥 C. D. M与N相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件、独立事件、和事件概率的计算公式，依次计算、判断互斥性、计算、验证独立性，逐一判定选项正误. 【详解】每次取红球概率为，取白球概率为. 第二次取球与第一次无关，每次摸到白球概率均为，因此，A正确. 第一次摸到红球且第二次摸到红球，和可以同时发生，不互斥，B错误. 因为. ，，=， 所以，C正确. ，，满足，因此与相互独立，D正确. 故选：. 10. 设x>0，y>0，则下列结论正确的是（ ） A. 函数f（x）=3x+3﹣x的最小值为2 B. 不等式恒成立 C. 函数的最小值 D. 若，则x+2y的最小值是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式求解最小值，判断命题的真假即可. 【详解】解：函数f（x）=3x+3﹣x≥2，当且仅当x=0时，取等号，所以表达式没有最小值，所以A不正确； 不等式≥4=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以命题是真命题，所以B正确. 函数=≤，所以当x=1时，函数取得最大值，所以C不正确； 若，则x+2y=（x+1+2y+2）（+）﹣3= ≥2，当且仅当y=3﹣2，x=4时，表达式的最小值是，所以D正确. 故选：BD. 11. 如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（ ） A. 满足的点有且只有一个 B. 满足的点有两个 C. 存在最小值 D. 不存在最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，然后利用点的四种位置进行分类讨论即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形的边长为1，，则 ， 所以，， 由，得， 所以，所以， ①当点在上时，，且， 所以； ②当点在（不含点B）上时，则，所以，化简， 所以， 因为，所以，即； ③当点在（不含点C）上时，，且， 所以，即，所以； ④当点在（不含点A、D）上时，则，所以，化简， 所以， 因为，所以，所以； 对于A，由①知，当时，，此时点与点重合； 由④可知当时，，，此时点在的中点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，所以A错误， 对于B，由②知，当时，，，此时点在的中点； 由③知，当时，，，此时点在点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，所以B正确， 对于CD，由①②③④可得： 当，即点点时，取到最小值0； 当，即点为点时，取到最大值3，所以C正确，D错误， 故选：BC. 【点睛】关键点睛：此题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，然后分类讨论，考查数形结合的思想，属于较难题. 三､填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知事件和互斥，且，，则为___________． 【答案】0.3## 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的性质求解即可. 【详解】解析：由得， 又事件和互斥，所以， 所以. 故答案为：0.3. 13. 若方程的两实根均在区间内，求的取值范围____________． 【答案】 【解析】 【分析】令 ，由二次函数的图象和性质建立不等式组即可求解. 【详解】令 ，该函数的图象对称轴为，由题意得 ，解得:． 故答案为:． 14. 大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为_____ 【答案】 ①. 33岁 ②. 10 【解析】 【分析】利用平均数的意义可求总体平均数；利用由部分方差求总体方差的公式求解即可. 【详解】由题意得，该高中高三备课组老师的平均年龄为岁， 则该高中高三备课组老师的方差 . 故答案为：33岁；10. 四､解答题 15. 化简求值 （1）； （2）． 【答案】（1）100 （2） 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算法则即可求解； （2）由对数的运算法则即可求解. 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 . 16. 一座金陵城，半部南京史！六朝古都南京，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，以及样本的平均数； （2）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的成绩在这一组的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图的性质即可求出，利用由频率分布直方图估计平均数的公式即可求出平均数； （2）根据分层抽样求出成绩在和的人数，利用列举法，根据古典概型的概率公式即可求解. 【小问1详解】 因为小长方形面积和为1， 所以， 解得， 则平均数为. 【小问2详解】 由图可知，成绩在的人数与的人数之比为， 现从两组中用分层抽样的方法抽取6人， 所以从成绩在的人中抽取4人，分别记为，从成绩在的人中抽取2人，分别记为， 所有可能的情况为 ，共种， 其中至少有1人的成绩在的情况有 ，共种， 故抽取的2人中至少有1人的成绩在这一组的概率． 17. 如图，在等腰梯形中，为线段的中点，与交于点为线段上的一个动点. （1）用基底表示； （2）求的值； （3）设，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）设，，从而可得，联立方程组，求得，即可得解； （3）设，代入中，可得，从而得，结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为， ， 所以. 【小问2详解】 设，① 设，可得， 即，② 由①②得，，解得 所以， 所以. 【小问3详解】 由题意，可设， 代入中，可得. 又， 故，可得， 因为，且函数在上单调递减， 所以， ， 因为函数在上单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 18. 设函数是定义R上的奇函数． （1）求k的值； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围； （3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）最小值为，此时. 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得，即可求得k值，经检验，符合题意； （2）有解，等价为，利用二次函数图象与性质，即可求得答案； （3）由题意，令，可得t的范围，整理可得，，利用二次函数的性质，即可求得答案. 【详解】（1）因为是定义域为R上奇函数， 所以，所以，解得， 所以， 当时，， 所以为奇函数，故； （2）有解，所以有解， 所以只需， 因为（时，等号成立）， 所以； （3）因为，所以， 可令，可得函数t在递增，即， 则，可得函数，， 由为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以时，取得最小值， 此时，解得， 所以在上的最小值为，此时． 【点睛】解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若，只需，若，只需，处理恒成立问题时，若，只需，若，只需，考查分析理解，计算化简的能力属中档题. 19. 已知函数，． （1）若，求的值； （2）若至少存在两个不相等的正实数，，满足． ①求的取值范围，并求在上的最小值； ②证明：． 【答案】（1） （2）①答案见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式得出关于的方程，进而求解； （2）写出的解析式，根据已知条件，结合函数单调性分类讨论得出函数相应的范围，进而得出相应范围内的最小值；利用基本不等式和图象法讨论的范围，进而证明结论． 【小问1详解】 由，则，解得． 小问2详解】 ①，且， 已知至少存在两个不相等的正实数，，满足， 故只需讨论的情况， 在上单调递减，在上单调递增； 在上单调递增，且，即在处连续， 当时，在上，显然其在上单调递增，不符合题意； 当时，，在上单调递增， 在上单调递增，在处连续， 在上单调递增，不符合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时至少存在两个不相等的正实数，，满足， 的取值范围为， 若，则在上单调递减，最小值为； 若，则在上单调递减，在上单调递增，最小值为； 综上，时最小值为，时最小值为； ②不妨设，结合①分析： 有、、三种情况， 当时，由于，均有， 即，即， 又，故，，则， 结合图知，对于、两种情况必有， 当时，，则， 结合图知，对于、两种情况必有， 综上，，即，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $