6.3.5 平面向量数量积的坐标表示讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 目录 题型1：数量积的坐标表示 2 题型2：向量垂直的坐标表示 3 题型3：坐标计算向量的模 4 题型4：向量夹角的坐标表示 4 题型5：坐标法解决数量积的最值范围问题 5 平面向量数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 u6 与的关系 （当且仅当时等号成立） 提醒 (1)向量平行与垂直的坐标公式不要记混；(2)是对非零向量而言的，若，虽然有，但不能说. 题型1：数量积的坐标表示 【例1.1.】 已知向量，，则（    ） A． B． C． D．3 【例1.2.】 已知向量，满足，，则（    ） A． B．29 C． D．13 【例1.3.】 如图，在方格边长为1的方格纸中，向量的起点和终点均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 【例1.4.】 设向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型2：向量垂直的坐标表示 【例2.1.】 已知向量，，且，则的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【例2.2.】 已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知向量满足若则实数的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【例2.4.】 已知点，若点在轴上，且⊥，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标（    ） A．或 B．或 C． D． 【例2.6.】 与垂直的单位向量的坐标为________. 题型3：坐标计算向量的模 【例3.1.】 已知平面向量满足且，则（    ） A． B．5 C． D．6 【例3.2.】 平面向量，，且．若，则（    ） A．0 B．2 C．0或 D． 【例3.3.】 已知向量，，则（    ） A． B． C．4 D． 【例3.4.】 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，为单位正交基底，则最小值是__________. 【例3.5.】 已知向量满足，则的最小值是（    ） A．0 B．2 C． D．5 题型4：向量夹角的坐标表示 【例4.1.】 向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知向量，，，则____________. 【例4.3.】 已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知向量，，，若，则与的夹角的大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【例4.5.】 已知向量．若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【例4.6.】 已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例4.7.】 若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.8.】 设向量，则的最小值为______. 【例4.9.】 如图，在梯形ABCD中，，AB＝5，AD＝2DC＝4，且，E是线段AB上一点，且AE＝4EB，F为线段BC上一动点. (1)求∠DAB的大小； (2)若F为线段BC的中点，直线AF与DE相交于点M，求. 题型5：坐标法解决数量积的最值范围问题 【例5.1.】 已知正方形的边长为1，点在边上（不包含边界），则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 在菱形ABCD中，，点P在ABCD所在平面内，当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 如图，在四边形中，，，，，，若为线段上一动点（包含端点），则的取值范围为______． 【例5.4.】 （多选）如图，已知扇形的半径为2，，点分别为线段上（包括线段的端点）的动点，且，点为上（包括端点）的任意一点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为0 B．的最小值为 C．的最大值为4 D．的最小值为2 【例5.5.】 已知为等边三角形，线段MN的中点为A，且，则的取值范围是__________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 目录 题型1：数量积的坐标表示 2 题型2：向量垂直的坐标表示 4 题型3：坐标计算向量的模 7 题型4：向量夹角的坐标表示 9 题型5：坐标法解决数量积的最值范围问题 15 平面向量数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 u6 与的关系 （当且仅当时等号成立） 提醒 (1)向量平行与垂直的坐标公式不要记混；(2)是对非零向量而言的，若，虽然有，但不能说. 题型1：数量积的坐标表示 【例1.1.】 已知向量，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据数量积的坐标运算求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：C 【例1.2.】 已知向量，满足，，则（    ） A． B．29 C． D．13 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】分别求得，，进而根据数量积的坐标公式即可求解. 【详解】因为向量，所以①.又②， ①②两式相减得，所以，. 所以. 故选：A. 【例1.3.】 如图，在方格边长为1的方格纸中，向量的起点和终点均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示可求解. 【详解】 如图，将向量放入平面直角坐标系中，则，， ， 则，故. 故选：A. 【例1.4.】 设向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求投影向量、数量积的坐标表示 【分析】利用求投影向量的公式进行求解即可. 【详解】在方向上的投影向量为 . 故选：C. 题型2：向量垂直的坐标表示 【例2.1.】 已知向量，，且，则的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】由向量垂直列方程求解即可. 【详解】已知向量，，且，则，解得. 故选：A. 【例2.2.】 已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数的值. 【详解】因为向量，，则， 因为，则，解得． 故选：B. 【例2.3.】 已知向量满足若则实数的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算得到，再利用垂直的坐标表示即可求实数的值. 【详解】解：由题意，得 若 则若 解得 故选：B. 【例2.4.】 已知点，若点在轴上，且⊥，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】垂直关系的向量表示 【分析】设点的坐标，利用数量积为即可求解. 【详解】因为在轴上，所以可设， 所以 因为，所以， 解得，故， 故选：D. 【例2.5.】 已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】设点，根据为直角可得，解出的值即可得出点的坐标. 【详解】设点，则， 由为直角可得，即， 因此，解得或， 所以点的坐标为或. 故选：A 【例2.6.】 与垂直的单位向量的坐标为________. 【答案】或 【难度】0.94 【知识点】垂直关系的向量表示、零向量与单位向量 【分析】设与垂直的单位向量的坐标为，根据题意可得，解得答案即可. 【详解】设与垂直的单位向量的坐标为， 可得，解得或 ， 故答案为：或 题型3：坐标计算向量的模 【例3.1.】 已知平面向量满足且，则（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示、坐标计算向量的模 【分析】由垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式计算即得. 【详解】由，得，由，得，则， 由，得，即，则， 所以. 故选：D 【例3.2.】 平面向量，，且．若，则（    ） A．0 B．2 C．0或 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知模求参数、坐标计算向量的模、数量积的运算律 【分析】根据平面向量的模与数量积运算可求得结果. 【详解】因为，所以， 即， 又因为，，， 所以，即，解得或． 故选：C． 【例3.3.】 已知向量，，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】坐标计算向量的模、已知数量积求模 【分析】利用对模进行“平方”处理，转化为平面向量的数量积来计算． 【详解】由，得，故． 故选：D． 【例3.4.】 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，为单位正交基底，则最小值是__________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】坐标计算向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用单位正交基底表示出，再利用数量积运算求模长即可求出的最小值. 【详解】由图可知， 则， 化简得，，即. 故答案为：. 【例3.5.】 已知向量满足，则的最小值是（    ） A．0 B．2 C． D．5 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】解析法在向量中的应用、坐标计算向量的模、向量减法的运算律、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据已知条件设出向量,再求出向量,再根据模长公式结合三角函数的值域得出最小值即可. 【详解】不妨设，则， 则，且， 则， 当时，. 故选：D. 题型4：向量夹角的坐标表示 【例4.1.】 向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】根据平面向量夹角的余弦值的坐标表示求解即可. 【详解】由，， 则，， ， 所以， 又，则. 故选：C 【例4.2.】 已知向量，，，则____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】向量夹角的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】首先需要求出向量和的坐标，然后根据向量夹角余弦值公式来计算. 【详解】已知，，则. 已知，，则. . ，. . 故答案为：. 【例4.3.】 已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】坐标计算向量的模、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】根据模长，以及向量垂直，结合已知条件求得，再求夹角的余弦即可. 【详解】因为，所以，所以， 整理得①， 又，所以②， 联立①②求解得， 所以. 故选：B. 【例4.4.】 已知向量，，，若，则与的夹角的大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】设，由已知可得且，求得的坐标，进而利用夹角的坐标运算求解即可. 【详解】设，因为，，所以， 因为，所以，又，所以， 解得或，所以或， 当时，可得， 又因为，所以， 当时，可得， 又因为，所以， 综上所述：与的夹角的大小为. 故选：B. 【例4.5.】 已知向量．若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的坐标表示、向量垂直的坐标表示、数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量的坐标运算以及夹角公式即可求解. 【详解】，则，解得，故． ，则． ，则， 即，解得． 故选：D 【例4.6.】 已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用向量减法，向量的数量积及向量共线的坐标表示的公式即可求解. 【详解】因为，，所以. 又与的夹角为锐角，所以，且与不共线， 则，解得，且. 即x的取值范围为. 故选：C 【例4.7.】 若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】由向量夹角为钝角可得两向量数量积小于0且不反向，由此列出不等式求解即可. 【详解】因为向量与的夹角为钝角， 所以且，即且， 即实数的取值范围是， 故选：C. 【例4.8.】 设向量，则的最小值为______. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】先求得的表达式，再利用换元法并结合二次函数的性质即可求得其最小值. 【详解】，令，则， 所以， 当，即时，取得最小值，且最小值为． 故答案为： 【例4.9.】 如图，在梯形ABCD中，，AB＝5，AD＝2DC＝4，且，E是线段AB上一点，且AE＝4EB，F为线段BC上一动点. (1)求∠DAB的大小； (2)若F为线段BC的中点，直线AF与DE相交于点M，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、向量夹角的计算、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）用基底与表示、，再结合代入可求得的值. （2）建立平面直角坐标系由夹角公式计算可得结果. 【详解】（1）连接，，如图所示， 因为，，， 所以，， 所以与的夹角和与的夹角相同，并设为，， 则 ， 又因为， 所以， 解得， 又因为， 所以，即. （2）过点作于，如图所示， 则，， 故以为原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 又F为线段BC的中点，则， 所以，， 所以. 题型5：坐标法解决数量积的最值范围问题 【例5.1.】 已知正方形的边长为1，点在边上（不包含边界），则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量与二次函数的性质即可得到结果. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设,则，则， 故，由二次函数的性质可知：当时，取得最大值， 即， 故选：B 【例5.2.】 在菱形ABCD中，，点P在ABCD所在平面内，当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，设出，表示出，由二次函数求出最小值对应点坐标，进而求得. 【详解】 如图：设交于点，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，易得，， 设，则，则 ，当时，取得最小值时， 此时，. 故选：C. 【例5.3.】 如图，在四边形中，，，，，，若为线段上一动点（包含端点），则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、数量积的运算律 【分析】利用直角梯形建立直角坐标系，用坐标法来计算数量积，即可求出结果. 【详解】 因为在四边形中，，，，，， 所以可以如图建系，可知，设， 则， 由于，所以当时，有最小值， 当时，有最大值，所以的取值范围为， 故答案为：. 【例5.4.】 （多选）如图，已知扇形的半径为2，，点分别为线段上（包括线段的端点）的动点，且，点为上（包括端点）的任意一点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为0 B．的最小值为 C．的最大值为4 D．的最小值为2 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】以为原点建立如图所示的直角坐标系，得，，设，则，求出，利用的范围可判断；求出的坐标，由，利用的范围可判断B；设,,，可得，求出，由，利用、，，的范围可判断C，D． 【详解】以为原点建立如图所示的直角坐标系， 所以，， 设，则，， 所以， 因为，所以，所以， 所以的最小值为，故A错误； ， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 的最小值为，故B正确； 因为，则,,，所以，可得， ， 所以，其中， 又，所以，,，所以， ,，,，所以， 的最小值为，最大值为，故C，D正确． 故选：BCD． 【例5.5.】 已知为等边三角形，线段MN的中点为A，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】根据已知条件建系，再应用三角换元计算化简，应用辅助角公式及正弦函数值域求解即可. 【详解】 因为为等边三角形，且，以A为坐标原点以为x轴，过A且垂直AB的直线为轴建系， 则，因为，设， 所以， 所以 ， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $