6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 巩固训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

S6.3.5平面向量数量积的坐标表示 1.已知向量a+b=(1,2),a-b=(-3,0),则a.b=() A.-1 B.1 C.3 D.-3 2.已知向量a=(k,2,b=(-1,3),且(a+bb=9,则k= 3已知向最a-传9,5=（小且a16:则a+列-列-(） A.8 B.-8 c.-5 D.-2 4.已知平面向量a=al.6-(L小，向量a与万炙角的余弦值为子，且a-k6)1a,k为实 数，则k=· 5.已知向量a=(2m,),6=(m,-),若a-6与五垂直，则a+= 6.（多选)已知向量ā=(3,2)，b=(-1,2),则下列结论正确的是() A.B5 525 B.与同向的单位向量为 5’5 C.五在ā上的投影向量为 D.若ā与a+b的夹角为锐角，则实数2的取值范围是(-13，+∞) 7.(多选)已知向量a=(3,-2),，b=(-1,2),c=(2,4,其中a/乃，b⊥c,则() A.= 2 B.=v5 c.(a-c,c)=150 D.a-c在c上的投影向量为(-2，-3) 8.在ABC中，AB=2,BC=2V3,∠ABC=90°，E为AC边上靠近点A的三等分点，F为AC 的中点，则BE.BF=() A. 10 3 C. 3 D.3 1 9.已知平面向量a=(x,1,b=（-2,2x),a+b在a方向上的投影向量模长为√2，则a= 10.已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a1c (1)求6在c方向上的投影向量： (2)求m=2a-b与i=a+c的夹角. 11.已知向量a=(1,0,2),b=(-1,1,0). (1)若a+kb⊥2a+3b,求实数k; (2)若向量ā+kb与2ā+36所成角为锐角，求实数k的取值范围. 12.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，己知四边形OABC是平行四边形，且点 A(4,0,C1,V5. (1)求∠ABC的大小. (2)设点M是OA的中点，点P在线段BC上运动（包括端点），求OP.CM的取值范围， §6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 1. 已知向量，，则（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【难度】0.9 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【详解】由，得， 所以. 2. 已知向量，且，则____. 【答案】7 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、利用数量积求参数 【分析】根据向量数量积的坐标运算列式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得. 故答案为：7. 3. 已知向量，，且，则（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】坐标计算向量的模、已知向量垂直求参数、数量积的运算律 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数值，再由向量数量积的运算律及模长的坐标运算求结果. 【详解】由，得，所以． 故选：D 4. 已知平面向量，向量与夹角的余弦值为，且，为实数，则_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、已知向量垂直求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】根据已知及向量夹角、垂直的坐标表示得、，即可得. 【详解】由夹角公式， 又， . 故答案为： 5. 已知向量，，若与垂直，则_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知向量垂直求参数、坐标计算向量的模 【分析】由向量垂直的坐标表示求参数，再由模长的坐标运算求. 【详解】由题设，则，即， 又，则. 故答案为： 6. （多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A． B．与同向的单位向量为 C．在上的投影向量为 D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、坐标计算向量的模、由向量共线（平行）求参数、求投影向量 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量投影向量的坐标公式求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断． 【详解】对于，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，同向为，故B正确； 对于在上的投影向量为，故C错误； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误． 故选：AB. 7. （多选）已知向量，，，其中，，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】求投影向量、已知向量垂直求参数、向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】由计算，由计算，由向量夹角的坐标计算公式计算，由投影向量的计算得到在上的投影向量. 【详解】A选项，因为，所以，解得，A正确； B选项，因为，所以，即，解得，所以，，B错误； C选项，，，，所以，C错误； D选项，在上的投影向量为，D正确； 故选：AD. 8. 在中，为边上靠近点的三等分点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系确定、的向量坐标，利用向量的数量积公式计算即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 因为，，所以，，， 因为为中点，所以，，则. 所以，. 所以 . 9. 已知平面向量在方向上的投影向量模长为，则_______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】坐标计算向量的模、数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】先求，，再结合定义求向量在方向上投影向量的模长，列方程可求结论. 【详解】因为，，所以 ， 所以 所以向量在方向上投影向量的模长为，又， 所以 ， 因此. 10. 已知平面向量，，，且， (1)求在方向上的投影向量； (2)求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、求投影向量、由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）根据向量平行及垂直的坐标表示及投影向量的定义可得； （2）根据向量的坐标运算分别求得与的坐标，利用向量数量积的定义及其坐标表示求得与夹角的余弦值，即可求得与的夹角. 【详解】（1），，解得. . ，，. . ， . 所以在方向上的投影向量为． （2）由（1）知，，， ，，. 设，的夹角为，则：. ， 即向量与向量的夹角为． 11. 已知向量． (1)若，求实数k； (2)若向量与所成角为锐角，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数、利用向量垂直求参数、利用数量积求参数 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示求解； （2）将问题转化为两个向量的数量积为正且不共线求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，则， 解得； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线． 由（1）知，， 若向量与同向共线，则存在，使得，即， 可得，解得，若两个向量不同向共线，则， 故，解得且， 即的取值范围为． 12. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，且点． (1)求的大小． (2)设点是的中点，点在线段上运动（包括端点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.64 【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】（1）应用平行四边形得出，再应用平面向量夹角余弦公式计算求解； （2）设，应用平面向量的坐标运算结合数量积坐标运算求解. 【详解】（1）由题意得． 因为四边形是平行四边形， 所以 因为，所以． （2）设，其中，则． ， 故的取值范围是． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $