专题3.1 感受可能性、频率的稳定性（3大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题3.1 感受可能性、频率的稳定性 教学目标 1. 理解必然事件、不可能事件与随机事件的概念，能判断生活中的事件类型。 2. 通过试验感受在大量重复试验中随机事件发生的频率具有稳定性，能计算简单事件的频率。 3. 能根据频率的稳定性估计事件发生的可能性大小，发展数据分析观念。 教学重难点 重点： 1. 理解随机事件的概念，能区分必然事件、不可能事件与随机事件。 2. 通过试验感受频率的稳定性，并能根据频率估计事件发生的可能性大小。 难点： 1. 理解频率与概率的关系，知道频率稳定于常数但并非完全相等。 2. 通过试验数据的收集、整理与分析，归纳出频率的稳定性规律。 知识点01 确定事件与随机事件 1、确定事件 （1）不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． （2）必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 2.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 【即学即练1】 1．（25-26九年级下·江西·开学考试）南昌拥有深厚的红色文化底蕴．若随机挑选一位正在参观南昌八一起义纪念馆的游客，其能说出至少一个南昌起义的关键人物，该事件属于（    ） A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件 2．（25-26九年级上·天津滨海新区·月考）从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（　　） A．成语“刻舟求剑”是随机事件 B．诗句“手可摘星辰”是必然事件 C．成语“水中捞月”是不可能事件 D．谚语“竹篮打水一场空”是随机事件 知识点02 初步认识概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0＜P(A) ＜1，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 【即学即练2】 3．（25-26九年级上·河北衡水·期末）把正面分别写有，，，，，的张卡片反面向上放在桌子上，从中任意摸一张，摸到的可能性最大的数字是____________． 4．（25-26八年级上·北京顺义·期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，落地后两枚硬币朝上一面可能的情况分别是：①全是正面；②一正一反；③全是反面．这三个事件中，发生的可能性最大的是______（填“①”，“②”或“③”） 知识点03 用频率估计概率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 【即学即练3】 5．（25-26九年级上·河南郑州·期末）某新菜种在播种前做了五次发芽试验，每次任取一定数量的种子进行实验．实验结果如表所示：在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的菜种发芽的概率为_________ ．（精确到0.01） 实验的菜种数 200 500 1000 2000 10000 发芽的菜种数 193 487 983 1942 9734 发芽率 0.965 0.974 0.983 0.971 0.973 6．（25-26九年级下·江西·开学考试）某鱼塘主准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了300条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表： 每次打捞条数 50 100 150 200 300 400 500 打捞到带标记的鱼的条数 4 11 15 21 30 n 51 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 m 0.100 0.105 0.100 0.095 0.102 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中________，________； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计这条鱼带标记的概率为________（精确到0.1）； (3)若每条鱼价值大约为45元，则这片鱼塘中的鱼的价值大约是多少元？ 题型01 随机事件 【典例1】（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（    ） A．守株待兔 B．画饼充饥 C．水中捞月 D．拔苗助长 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）下列成语所描述的是随机事件的是（   ） A．海底捞月 B．寒来暑往 C．一箭双雕 D．拔苗助长 【变式2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．从装有10个黑球的不透明袋子中随机摸出一个球恰为黑球 B．从装有10个黑球的不透明袋子中随机摸出一个球恰为白球 C．从装有9个黑球和1个白球的不透明袋子中随机摸出1个球，恰有白球 D．从装有9个黑球和1个白球的不透明袋子中随机摸出2个球，恰有黑球 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·期末）下列事件中，不属于随机事件的是（　　） A．某种彩票的中奖率为，佳佳买10张彩票能中奖 B．13名学生中一定有两个人在同一个月过生日 C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放篮球比赛节目 D．这次数学考试乐乐能考满分 题型02 必然事件 【典例2】（25-26九年级上·广东江门·月考）下列事件是必然事件的是（   ） A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．13名学生中至少有两个人在同一个月过生日 D．购买一张彩票，中奖 【变式1】（25-26九年级上·河南周口·期末）下列事件中，属于必然事件的是（  ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为6 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．任意画一个三角形，其内角和为 D．抛一枚硬币，正面朝上 【变式2（25-26九年级上·广东广州·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．购买1张彩票，中奖 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C．温度降到以下，纯净的水结冰 D．汽车累积行驶，从未出现故障 【变式3】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．阜阳人正月十五逛灯会时，一定能看到游龙灯表演 B．阜阳格拉条制作原料中必定包含面粉 C．临泉老集种植的生姜，每块重量都超过50克 D．阜阳人除夕守岁时，都会观看央视春晚 题型03 不可能事件 【典例3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列事件中，属于不可能事件的（   ） A．抛掷一枚普通硬币出现正面向上 B．任意掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出的点数是0 C．做“剪刀、石头、布”的游戏，两人同时出相同的手势 D．从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王 【变式1】（25-26九年级上·山西长治·期末）下列说法正确的是（   ） A．“打开手机，微信有新消息”是必然事件 B．“购买1张中奖率是的彩票中奖”是不可能事件 C．“打开电视正在播放《新闻联播》”是不可能事件 D．“50个人中有2个人的生日相同”是随机事件 【变式2】（25-26七年级上·湖北武汉·月考）下列事件是确定性事件的是（   ） A．打开电视机，正在播电视剧 B．小明坚持体育锻炼，今后会成为奥运冠军 C．太阳从西边升起 D．13个同学中，恰有2人出生的月份相同 【变式3】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）下列事件中，属于不确定事件的是（    ） A．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 B．三角形内角和为 C．太阳从东边升起 D．在一个装满红球的袋中，摸出黑球 题型04 事件发生的可能性大小 【典例4】（25-26九年级上·广东汕头·期末）某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_________． 【变式1】（25-26七年级上·重庆·自主招生）袋子里有15个红球和20个白球，球除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，那么摸出______球的可能性大． 【变式2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸到___________球的可能性最小． 【变式3】（25-26七年级上·湖南湘潭·月考）盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到_______球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加_______个这种颜色的球． 题型05 概率的意义理解 【典例5】（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）下列说法正确的是（　　） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 C．“汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件 D．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 【变式1】（2026九年级下·全国·专题练习）盲盒，顾名思义，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶等，之所以叫盲盒，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己抽到了什么，具有随机性．这种诞生于日本的潮玩，最初名字叫 ，流行欧美后也开始被称作 ．现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出6种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有百分之一的概率开出一种隐藏款玩偶，那么以下说法中正确的是（   ） A．若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买6个盲盒即可 B．考虑到隐藏款的存在，若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买7个盲盒即可 C．若购买100个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶 D．若购买8个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶 【变式2】（25-26九年级上·山西晋城·期末）将一枚图钉向上抛起，下列说法错误的是（    ） A．钉尖触地属于随机事件 B．P（钉尖触地）（钉尖朝上） C．因只有“钉尖触地”和“钉尖朝上”两种结果，则P（钉尖触地） D．通过大量重复试验，钉尖触地的频率会越来越接近其概率 【变式3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）下列表述正确的是（    ） A．如果某一彩票的中奖概率是 ，那么买1000 张彩票就一定能中奖 B．购买一张彩票就中奖，是随机事件 C．已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在陆地上”比“落在海洋里”可能性更大 D．同学们都知道“石头、剪刀、布”的游戏，如果两个人做这种游戏，随机出手一次，两人获胜的概率不同 题型06 关于频率与概率关系说法正误 【典例6】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【变式1】（25-26九年级上·广东佛山·月考）关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【变式2】（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【变式3】（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 题型07 由频率估计概率 【典例7】（25-26九年级上·河南郑州·期末）为考查一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所示： 移植总数 n 150 300 700 1000 1500 成活数 m 134 271 631 899 1350 成活的频率 0.893 0.903 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是________（结果精确到0.1）． 【变式1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 发芽频数 发芽频率 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为______．（精确到） 【变式2】（25-26九年级上·山西长治·期末）某校学生会在筹备校庆游园会的过程中，设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢，投中即可获奖．活动开始前，为检验游戏难度，策划者多次进行投掷试验、将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 投中的次数 12 27 49 60 70 88 250 510 1000 2500 投中的频率 则投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为___________．（结果精确到） 【变式3】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）“头盔是家校路的守护罩”，社区安全志愿队对家长骑电瓶车接送孩子时使用的头盔合格情况抽样检查，结果如下表： 抽查的头盔数 100 200 300 500 900 1000 2000 合格的头盔数 98 193 292 484 873 970 1940 合格头盔的频率 0.980 0.965 0.973 0.968 0.970 0.970 0.970 如果从家长常用的电瓶车头盔中任取一个，则该头盔合格的概率为______________（精确到0.01）． 题型08 用频率估计概率的综合应用 【典例8】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【变式1】（25-26九年级上·江西南昌·月考）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 31．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）一个不透明的盒子里装有黄色乒乓球和白色乒乓球共40个，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如下表的部分数据： 摸球总次数 出现黄色乒乓球的次数 出现黄色乒乓球的频率 (1)填空： ， ； (2)估计出现黄色乒乓球的概率为 ；（精确到0.1） (3)估计盒子里黄色乒乓球和白色乒乓球各有多少个？ 32．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 一、单选题 1．（2025·四川广元·一模）下列事件是确定性事件的是（     ） A．购买一张彩票，中奖； B．射击运动员射击1次，命中靶心； C．等边三角形的三条边长相等； D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）下列说法错误的是（   ） A．打开电视，中央电视台正在播放“神舟二十号发射成功”的新闻是随机事件 B．“（x是实数）”是必然事件 C．“从两个班级中任选三名学生担任学校卫生督查员，则至少有两名学生来自同一个班级”是必然事件 D．“抛掷骰子一次，正面朝上的点数是6”是随机事件 3．（25-26九年级下·辽宁盘锦·开学考试）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（   ）（精确到0.01） A．0.50 B．0.59 C．0.62 D．0.63 4．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计口袋中大约有红球（   ） A．8个 B．16个 C．25个 D．30个 5．（25-26九年级上·福建·期末）不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（    ） A．袋中红球有90个 B．第101次摸到红球的可能性较大 C．第101次会摸到红球 D．红球的数量占袋中总球数的 6．（25-26九年级上·吉林长春·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数 C．一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取球，取出的球是红球 D．在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯 二、填空题 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？将结果填在横线上． （1）明天，上海会下雨；_______ （2）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；_______ （3）从装满红球的袋中取出个球，它是绿色的；_______ （4）抛掷一枚质地均匀的元硬币，反面朝上．_______ 8．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）不透明的袋子里装有黄球4个，白球2个，红球1个，这些球除颜色外无其他差别，从袋子里随机取出一个球，取出_________球的可能性最大． 9．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）九年级学生分六批依次在劳动周种植南瓜种子，其记录的在相同条件下种植的南瓜种子的发芽情况数据如下表： 南瓜种子的种植数 南瓜种子的发芽数 南瓜种子发芽的频率 由此估计该南瓜种子在此条件下发芽的概率为________．（结果精确到） 10．（25-26九年级上·福建泉州·期末）小东收集抛掷两枚普通硬币结果分别为“两正”、“两反”、“一正一反”的数据，并将其中一种数据绘制成如图所示的折线统计图，可推断该图象是结果出现________的折线统计图． 第1枚            第2枚 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 11．（25-26九年级上·四川眉山·期末）一个不透明的口袋中装有红球和白球共10个，这两种球除颜色外均相同，将口袋中的球摇匀，从口袋中取出一个球，记录颜色后放回再摇匀再取出，经过多次实验，估计得到红球的概率是，则口袋中红球有___________个． 12．（24-25七年级上·陕西咸阳·开学考试）不透明的口袋里放入同样大小的个红球和一些黑球，每次从口袋里任意摸出一个球，然后放回．如果摸到黑球的可能性是，那么口袋里放了______个黑球．要使摸到黑球的可能性变成，可以从口袋里拿走______个红球，也可以往口袋里再放入______个黑球． 三、解答题 13．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？并说明理由． （1）13个人至少有两个人出生的月份相同． （2）十五的月亮像一艘弯弯的小船． （3）三角形的内角和等于． （4）李叔叔买福利彩票，中奖． 14．（24-25九年级下·河北石家庄·月考）一个不透明的袋子中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到____球的可能性大； (2)能否通过改变某种颜色球的数量使摸到红球和摸到黑球的可能性相同？ 15．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）掷一枚质地均匀的骰子，估计下列事件发生的概率，并将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列． （1）面朝上的点数大于0； （2）面朝上的点数是7； （3）面朝上的点数是3的倍数． 16．（24-25九年级下·全国·随堂练习）请你根据下列要求，分别设计一个摸球游戏： (1)任意摸出1个球是黄球是不可能事件． (2)任意摸出2个球，1个是黄球，1个是白球是必然事件． (3)任意摸出3个球，2个是黄球，1个是白球是随机事件． 17．（24-25七年级下·广东深圳·期末）（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 18．（21-22八年级下·江苏南京·期中）某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 感受可能性、频率的稳定性 教学目标 1. 理解必然事件、不可能事件与随机事件的概念，能判断生活中的事件类型。 2. 通过试验感受在大量重复试验中随机事件发生的频率具有稳定性，能计算简单事件的频率。 3. 能根据频率的稳定性估计事件发生的可能性大小，发展数据分析观念。 教学重难点 重点： 1. 理解随机事件的概念，能区分必然事件、不可能事件与随机事件。 2. 通过试验感受频率的稳定性，并能根据频率估计事件发生的可能性大小。 难点： 1. 理解频率与概率的关系，知道频率稳定于常数但并非完全相等。 2. 通过试验数据的收集、整理与分析，归纳出频率的稳定性规律。 知识点01 确定事件与随机事件 1、确定事件 （1）不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． （2）必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 2.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 【即学即练1】 1．（25-26九年级下·江西·开学考试）南昌拥有深厚的红色文化底蕴．若随机挑选一位正在参观南昌八一起义纪念馆的游客，其能说出至少一个南昌起义的关键人物，该事件属于（    ） A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件 【答案】A 【详解】解：随机挑选一名参观的游客，该游客可能说出至少一个南昌起义关键人物，也可能说不出，结果不确定． ∴该事件属于随机事件． 2．（25-26九年级上·天津滨海新区·月考）从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（　　） A．成语“刻舟求剑”是随机事件 B．诗句“手可摘星辰”是必然事件 C．成语“水中捞月”是不可能事件 D．谚语“竹篮打水一场空”是随机事件 【答案】C 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念辨析，需根据三类事件的定义判断各选项语句对应的事件类型，然后即可求解． 【详解】解：∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件， ∴A. 成语“刻舟求剑”是不可能事件，判断错误； B. 诗句“手可摘星辰”是不可能事件，判断错误； C. 成语“水中捞月”是不可能事件，判断正确； D. 谚语“竹篮打水一场空”是必然事件，判断错误． 故选：C． 知识点02 初步认识概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0＜P(A) ＜1，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 【即学即练2】 3．（25-26九年级上·河北衡水·期末）把正面分别写有，，，，，的张卡片反面向上放在桌子上，从中任意摸一张，摸到的可能性最大的数字是____________． 【答案】 【分析】本题考查了可能性的大小判断，关键在于比较各数字在卡片中出现的次数，次数最多的数字被摸到的可能性最大．由题可知张卡片中，数字出现次，数字出现次，数字出现次，故摸到数字的可能性最大，据此即可解答． 【详解】解：卡片上的数字分别为，，，，，，其中数字出现次，数字出现次，数字出现次，因此数字出现的次数最多，故摸到数字的可能性最大，故答案为：． 4．（25-26八年级上·北京顺义·期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，落地后两枚硬币朝上一面可能的情况分别是：①全是正面；②一正一反；③全是反面．这三个事件中，发生的可能性最大的是______（填“①”，“②”或“③”） 【答案】② 【分析】本题考查了列举法求概率．首先利用列举法，可得抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果为：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求得各概率，再比较判断，即可解题． 【详解】解：抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果为：正正，正反，反正，反反，共4种等可能情况． 事件①（全是正面）包含1种情况，概率为； 事件②（一正一反）包含2种情况，概率为； 事件③（全是反面）包含1种情况，概率为． ， 事件②的概率最大． 故答案为：②． 知识点03 用频率估计概率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 【即学即练3】 5．（25-26九年级上·河南郑州·期末）某新菜种在播种前做了五次发芽试验，每次任取一定数量的种子进行实验．实验结果如表所示：在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的菜种发芽的概率为_________ ．（精确到0.01） 实验的菜种数 200 500 1000 2000 10000 发芽的菜种数 193 487 983 1942 9734 发芽率 0.965 0.974 0.983 0.971 0.973 【答案】0.97 【分析】本题考查了用频率估计概率，随实验次数增多，发芽频率逐渐稳定在某一数值附近，该数值可估计为发芽概率，观察表格发芽率的变化趋势，取稳定值并精确到即可． 【详解】解：观察表格内的发芽率数据，随着实验的种子数增加，发芽率逐渐稳定在左右， 根据频率稳定性定理，大量重复实验时，事件发生的频率的集中趋势可用来估计概率， 将该稳定值精确到后为． 故答案为：． 6．（25-26九年级下·江西·开学考试）某鱼塘主准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了300条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表： 每次打捞条数 50 100 150 200 300 400 500 打捞到带标记的鱼的条数 4 11 15 21 30 n 51 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 m 0.100 0.105 0.100 0.095 0.102 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中________，________； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计这条鱼带标记的概率为________（精确到0.1）； (3)若每条鱼价值大约为45元，则这片鱼塘中的鱼的价值大约是多少元？ 【答案】(1)， (2)0.1 (3)这片鱼塘中的鱼的价值大约是135000元 【分析】（1）用频数11除以总数100即可求出频率m，用总数400乘以频率0.095即可求出频数n； （2）根据频率估计概率得0.1； （3）先用300除以概率0.1得到鱼塘中大约有3000条鱼，再列式即可求出总价值． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据频率估计概率得随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计这条鱼带标记的概率为0.1； （3）解：（条）， （元）． 答：这片鱼塘中的鱼的价值大约是135000元． 题型01 随机事件 【典例1】（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（    ） A．守株待兔 B．画饼充饥 C．水中捞月 D．拔苗助长 【答案】A 【分析】根据随机事件与不可能事件的概念区分各类事件，随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件． 【详解】解：“守株待兔”的结果不确定，可能发生也可能不发生，属于随机事件；故A符合题意； “画饼充饥”“水中捞月”“拔苗助长”均违背客观规律，是一定不会发生的不可能事件，故B、C、D不符合题意． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）下列成语所描述的是随机事件的是（   ） A．海底捞月 B．寒来暑往 C．一箭双雕 D．拔苗助长 【答案】C 【分析】本题考查了确定事件和随机事件的定义，属于基础概念题型，熟知必然事件、不可能事件和随机事件的概念是关键． 根据不可能事件、随机事件和必然事件的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、海底捞月，是不可能事件，不是随机事件，故本选项不符合题意； B、寒来暑往，是必然事件，不是随机事件，故本选项不符合题意． C、一箭双雕，是随机事件，故本选项符合题意； D、拔苗助长，是不可能事件，不是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．从装有10个黑球的不透明袋子中随机摸出一个球恰为黑球 B．从装有10个黑球的不透明袋子中随机摸出一个球恰为白球 C．从装有9个黑球和1个白球的不透明袋子中随机摸出1个球，恰有白球 D．从装有9个黑球和1个白球的不透明袋子中随机摸出2个球，恰有黑球 【答案】C 【分析】本题考查随机事件的定义，需依据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，对每个选项的事件类型进行判断． 【详解】解：∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件， ∴对各选项逐一分析： A选项：袋子中只有黑球，随机摸出一个球必为黑球，属于必然事件，不符合题意； B选项：袋子中无白球，不可能摸出白球，属于不可能事件，不符合题意； C选项：袋子中有黑球和白球，随机摸出1个球，可能是白球也可能是黑球，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，符合题意； D选项：袋子中仅有1个白球，随机摸出2个球时，至少有1个黑球，即“恰有黑球”是一定发生的，属于必然事件，不符合题意； 故选：C 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·期末）下列事件中，不属于随机事件的是（　　） A．某种彩票的中奖率为，佳佳买10张彩票能中奖 B．13名学生中一定有两个人在同一个月过生日 C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放篮球比赛节目 D．这次数学考试乐乐能考满分 【答案】B 【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件的概念可得答案． 【详解】解：A、某种彩票的中奖率为，佳佳买10张彩票能中奖，属于随机事件，不符合题意； B、 一年有12个月，13名学生中至少有两人生日在同一个月是必然发生的，属于必然事件，符合题意； C、打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放篮球比赛节目，属于随机事件，不符合题意； D、这次数学考试乐乐能考满分，属于随机事件，不符合题意． 故选：B． 题型02 必然事件 【典例2】（25-26九年级上·广东江门·月考）下列事件是必然事件的是（   ） A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．13名学生中至少有两个人在同一个月过生日 D．购买一张彩票，中奖 【答案】C 【分析】本题考查必然事件的定义，必然事件指在一定条件下一定会发生的事件，需结合各选项事件的发生特性判断. 【详解】解：∵一年共有12个月份 ∴13名学生中，至少有两个人在同一个月过生日，该事件必然发生； 又∵A选项经过有交通信号灯的路口遇到红灯、B选项射击运动员射击一次命中靶心、D选项购买一张彩票中奖，均为可能发生也可能不发生的随机事件， ∴只有选项C是必然事件． 故选：C 【变式1】（25-26九年级上·河南周口·期末）下列事件中，属于必然事件的是（  ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为6 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．任意画一个三角形，其内角和为 D．抛一枚硬币，正面朝上 【答案】C 【分析】本题考查必然事件与随机事件的定义，关键是明确必然事件是在一定条件下一定会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A选项：掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数可能为1、2、3、4、5、6中的任意一个，因此点数为6是可能发生也可能不发生的随机事件； B选项：射击运动员射击一次，可能命中靶心也可能不命中靶心，属于随机事件； C选项：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和都为，这是一定会发生的事件，属于必然事件； D选项：抛一枚硬币，可能正面朝上也可能反面朝上，属于随机事件； 故选：C． 【变式2（25-26九年级上·广东广州·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．购买1张彩票，中奖 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C．温度降到以下，纯净的水结冰 D．汽车累积行驶，从未出现故障 【答案】C 【分析】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、“购买1张彩票，中奖”是随机事件，故本选项不符合题意； B、“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件，故本选项不符合题意； C、“温度降到以下，纯净的水结冰”是必然事件，故本选项符合题意； D、“汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．阜阳人正月十五逛灯会时，一定能看到游龙灯表演 B．阜阳格拉条制作原料中必定包含面粉 C．临泉老集种植的生姜，每块重量都超过50克 D．阜阳人除夕守岁时，都会观看央视春晚 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【详解】解：A、阜阳人正月十五逛灯会时，一定能看到游龙灯表演，是随机事件，故该选项不符合题意； B、阜阳格拉条制作原料中必定包含面粉，是必然事件，故该选项符合题意； C、临泉老集种植的生姜，每块重量都超过50克，是随机事件，故该选项不符合题意； D、阜阳人除夕守岁时，都会观看央视春晚，是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型03 不可能事件 【典例3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列事件中，属于不可能事件的（   ） A．抛掷一枚普通硬币出现正面向上 B．任意掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出的点数是0 C．做“剪刀、石头、布”的游戏，两人同时出相同的手势 D．从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、抛掷一枚普通硬币出现正面向上是随机事件，该选项不符合题意； B、任意掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出的点数是0是不可能事件，该选项符合题意； C、做“剪刀、石头、布”的游戏，两人同时出相同的手势是随机事件，该选项不符合题意； D、从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王是随机事件，该选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·山西长治·期末）下列说法正确的是（   ） A．“打开手机，微信有新消息”是必然事件 B．“购买1张中奖率是的彩票中奖”是不可能事件 C．“打开电视正在播放《新闻联播》”是不可能事件 D．“50个人中有2个人的生日相同”是随机事件 【答案】D 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的定义，需依据三类事件的概念逐一判断选项事件的类型，进而确定正确选项． 【详解】解： “打开手机，微信有新消息”可能发生也可能不发生，是随机事件，不是必然事件， 故A错误． “购买1张中奖率是1%的彩票中奖”可能发生，是随机事件，不是不可能事件， 故B错误． “打开电视正在播放《新闻联播》”可能发生，是随机事件，不是不可能事件， 故C错误． “50个人中有2个人的生日相同”可能发生也可能不发生，是随机事件， 故D正确． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·湖北武汉·月考）下列事件是确定性事件的是（   ） A．打开电视机，正在播电视剧 B．小明坚持体育锻炼，今后会成为奥运冠军 C．太阳从西边升起 D．13个同学中，恰有2人出生的月份相同 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类．确定性事件指一定发生或一定不发生的事件，即概率为1或0的事件．选项C为不可能事件，是确定性事件；其他选项均为不确定事件． 【详解】解：∵太阳总是从东边升起， ∴太阳从西边升起是不可能事件，即确定性事件． 对于A：打开电视机可能播电视剧，也可能播其他节目，是不确定事件． 对于B：小明坚持体育锻炼不一定成为奥运冠军，是不确定事件． 对于D：13个同学出生月份有12种可能，根据鸽巢原理，至少两人同月，但“恰有2人”不一定成立（如可能有多人同月），是不确定事件． 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）下列事件中，属于不确定事件的是（    ） A．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 B．三角形内角和为 C．太阳从东边升起 D．在一个装满红球的袋中，摸出黑球 【答案】A 【分析】本题考查事件的分类，正确理解必然事件、不可能事件、不确定事件（随机事件）的定义是关键．根据必然事件、不可能事件、不确定事件（随机事件）的定义逐一分析各选项事件的类型即可判断． 【详解】解：∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，不确定事件是可能发生也可能不发生的事件 A选项，任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上，可能发生也可能不发生，属于不确定事件，符合题意； B选项，三角形内角和为，是必然会发生的，属于必然事件，不符合题意； C选项，太阳从东边升起，是必然会发生的，属于必然事件，不符合题意； D选项，在装满红球的袋中摸出黑球，一定不会发生，属于不可能事件，不符合题意． 故选：A． 题型04 事件发生的可能性大小 【典例4】（25-26九年级上·广东汕头·期末）某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_________． 【答案】三等奖 【分析】本题考查概率在转盘抽奖中的应用，由奖项比例计算各奖项概率，比较大小即可． 【详解】一等奖、二等奖、三等奖的比为，总比例为， 获一等奖的概率为，获二等奖的概率为，获三等奖的概率为， 由于，则获奖可能性最大的奖项是三等奖． 故答案为三等奖． 【变式1】（25-26七年级上·重庆·自主招生）袋子里有15个红球和20个白球，球除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，那么摸出______球的可能性大． 【答案】 白 【分析】本题主要考查了可能性的大小，根据数量多则可能性大，即可解答． 【详解】解：袋中有红球15个，白球20个， ∵， ∴摸出白球的可能性大． 故答案为：白． 【变式2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸到___________球的可能性最小． 【答案】白 【分析】本题考查概率，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 通过比较各种颜色球的数量，数量最少的球被摸到的概率最小，据此计算即可． 【详解】解；布袋中总球数为个， 红球的概率为，黄球的概率为，白球的概率为，蓝球的概率为， 其中白球的概率最小， 因此摸到白球的可能性最小。 故答案为：白． 【变式3】（25-26七年级上·湖南湘潭·月考）盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到_______球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加_______个这种颜色的球． 【答案】 红 6 【分析】本题主要考查了可能性大小的实际应用，掌握可能性大小的比较方法是解题的关键． 比较盒子里白球、黄球、红球的数量多少，数量最多的，摸到的可能性最大；反之，数量最少的，摸到的可能性就最小．要使拿到这种颜色的球可能性最大，则其个数至少要比7多1，据此即可确定需要增加的个数． 【详解】解：∵， ∴红球的数量最少，所以从中任意摸一个球，摸到红球的可能性最小． ∵（个）， ∴要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加6个这种颜色的球． 故答案为：红，6． 题型05 概率的意义理解 【典例5】（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）下列说法正确的是（　　） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 C．“汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件 D．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类与概率的意义，根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，结合概率的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：A、中奖率为的奖券10张，仍有可能不中奖，“中奖”是随机事件，不是必然事件，故该选项不符合题意； B、200件产品中只有5件次品，任意抽取6件，最多有5件次品，因此至少1件正品一定发生，是必然事件，不是不可能事件，故该选项不符合题意； C、汽车累计行驶，可能从未出现故障，也可能出现故障，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，故该选项符合题意； D、明天降水概率为，指明天降水的可能性为，不是的时间下雨，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式1】（2026九年级下·全国·专题练习）盲盒，顾名思义，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶等，之所以叫盲盒，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己抽到了什么，具有随机性．这种诞生于日本的潮玩，最初名字叫 ，流行欧美后也开始被称作 ．现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出6种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有百分之一的概率开出一种隐藏款玩偶，那么以下说法中正确的是（   ） A．若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买6个盲盒即可 B．考虑到隐藏款的存在，若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买7个盲盒即可 C．若购买100个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶 D．若购买8个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义． 根据概率的意义逐一判断即可． 【详解】解：盲盒开出6种普通款的概率相同，开出隐藏款的概率为，所有抽取结果均为随机事件． 选项A：购买6个盲盒可能出现普通款重复的情况，无法保证集齐6种普通款，A错误； 选项B：购买7个盲盒可能出现重复的情况，无法保证集齐6种普通款，B错误； 选项C：是开出隐藏款的概率，购买100个盲盒是随机事件，并非必然会出现隐藏款，C错误； 选项D：共有6种普通款种隐藏款种不同玩偶，根据抽屉原理，将8个盲盒的结果归入7种类别中，，肯定会重复出现某款玩偶，D正确； 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·山西晋城·期末）将一枚图钉向上抛起，下列说法错误的是（    ） A．钉尖触地属于随机事件 B．P（钉尖触地）（钉尖朝上） C．因只有“钉尖触地”和“钉尖朝上”两种结果，则P（钉尖触地） D．通过大量重复试验，钉尖触地的频率会越来越接近其概率 【答案】C 【分析】本题考查随机事件、概率的意义及等可能事件的判断，需依据相关概念逐一分析选项. 【详解】解：∵随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. ∴钉尖触地的结果不确定，属于随机事件，A选项说法正确; ∵抛起图钉后，所有可能结果为钉尖触地和钉尖朝上，二者是对立事件; ∴P（钉尖触地）（钉尖朝上），B选项说法正确; ∵“钉尖触地”和“钉尖朝上”这两种结果发生的可能性不相等，不属于等可能事件, ∴不能得出P（钉尖触地），C选项说法错误; ∵根据频率估计概率的知识，大量重复试验后，频率会逐渐接近概率. ∴D选项说法正确. 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）下列表述正确的是（    ） A．如果某一彩票的中奖概率是 ，那么买1000 张彩票就一定能中奖 B．购买一张彩票就中奖，是随机事件 C．已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在陆地上”比“落在海洋里”可能性更大 D．同学们都知道“石头、剪刀、布”的游戏，如果两个人做这种游戏，随机出手一次，两人获胜的概率不同 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义，事件的分类． 根据概率的意义，随机事件的定义判断即可． 【详解】解：选项A：中奖概率为，买1000张彩票不一定中奖，因为每次购买都是独立随机事件，A错误； 选项B：购买一张彩票中奖是不确定事件，属于随机事件，B正确； 选项C：陆地与海洋面积比为，故陨石落在陆地的概率为，陨石落在海洋的概率为，陨石落在海洋可能性更大，C错误； 选项D：“石头、剪刀、布”游戏中，两人随机出手，获胜概率均为，相等，D错误． 故选：B． 题型06 关于频率与概率关系说法正误 【典例6】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 【变式1】（25-26九年级上·广东佛山·月考）关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系． 概率是理论值，频率是实验值，当实验次数较多时，频率会稳定在概率附近． 根据频率与概率的关系逐一判断即可． 【详解】解：概率是事件发生的理论值，频率是实验值，通过大量重复实验，频率逐渐稳定于概率； 选项A错误，实验次数越多频率越接近概率； 选项B错误，频率不一定等于概率； 选项C正确，符合频率的稳定性； 选项D错误，对于均匀骰子，点数为6的概率为，实验10次次数较少，频率可能偏离概率，估计不准确． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率． 根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答． 【详解】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。 选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。 综上，正确答案为B。 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有  1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 题型07 由频率估计概率 【典例7】（25-26九年级上·河南郑州·期末）为考查一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所示： 移植总数 n 150 300 700 1000 1500 成活数 m 134 271 631 899 1350 成活的频率 0.893 0.903 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是________（结果精确到0.1）． 【答案】0.9 【分析】本题考查利用频率估计概率，依据频率稳定性定理，大量重复试验时，事件发生的频率会在某个固定值附近摆动，可利用频率的集中趋势估计该事件发生的概率，据此可得答案． 【详解】解：观察表格中的成活频率，随着移植总数的增大，成活的频率逐渐稳定在0.9左右，根据利用频率估计概率的原理，可估计这种幼苗移植成活的概率为0.9． 故答案为：0.9． 【变式1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 发芽频数 发芽频率 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为______．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查用频率估算概率，掌握好频率与概率的关系是关键． 根据频率的稳定性，当试验次数大量时，频率接近概率，观察发芽频率值，并得出结论． 【详解】解：从频数表可知，试验次数次及以上时，发芽频率分别为，，，这些值稳定在附近． 根据频率的稳定性，大量重复试验时频率接近概率， ∴该稻种的发芽概率约为． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·山西长治·期末）某校学生会在筹备校庆游园会的过程中，设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢，投中即可获奖．活动开始前，为检验游戏难度，策划者多次进行投掷试验、将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 投中的次数 12 27 49 60 70 88 250 510 1000 2500 投中的频率 则投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为___________．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据大量重复试验中频率稳定于概率的原理，取投掷次数较大时的稳定频率作为概率的估计值． 本题考查了频率估计概率，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：由频率分布表可知，当投掷次数较大时，如，频率为；，频率为；，频率为；，频率为， 投中的频率稳定在附近， 因此估计投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）“头盔是家校路的守护罩”，社区安全志愿队对家长骑电瓶车接送孩子时使用的头盔合格情况抽样检查，结果如下表： 抽查的头盔数 100 200 300 500 900 1000 2000 合格的头盔数 98 193 292 484 873 970 1940 合格头盔的频率 0.980 0.965 0.973 0.968 0.970 0.970 0.970 如果从家长常用的电瓶车头盔中任取一个，则该头盔合格的概率为______________（精确到0.01）． 【答案】0.97 【分析】本题主要考查由频率估计概率，通过观察表格中合格头盔的频率，发现当抽查数量较大时，频率稳定在0.970附近，根据频率估计概率的原理，可确定概率值． 【详解】从表格数据可知，当抽查数量为900、1000和2000时，合格头盔的频率均为0.970， 且随着增大，频率趋于稳定，因此该头盔合格的概率为0.97． 故答案为：0.97． 题型08 用频率估计概率的综合应用 【典例8】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【答案】(1)，1802 (2) (3)估计还要移植4000棵这种苹果树苗 【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率. （1）根据成活率成活数移植棵树，可算出a，根据成活数移植棵数成活率，可算出b； （2）利用频率估计概率即可； （3）利用概率公式计算即可. 【详解】（1）解：∵成活率成活数移植棵数，成活数移植棵数成活率， ∴，， （2）解：∵随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近，显示出一定的稳定性， ∴可以估计该种苹果树苗成活的概率是0.9. 故答案为：0.9. （3）解：（棵） 答：估计还要移植4000棵这种苹果树苗. 【变式1】（25-26九年级上·江西南昌·月考）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 【答案】(1)0.5 (2)290 【分析】本题考查了频率的计算，利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法； （2）投中的次数=投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 观察表格数据，当投篮次数n越来越大时，投中频率在0.5附近摆动， 因此可以估计投中的概率约为0.5， 故答案为：0.5； （2）解：， 所以估计这名同学投篮580次，投中的次数约是290次． 31．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）一个不透明的盒子里装有黄色乒乓球和白色乒乓球共40个，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如下表的部分数据： 摸球总次数 出现黄色乒乓球的次数 出现黄色乒乓球的频率 (1)填空： ， ； (2)估计出现黄色乒乓球的概率为 ；（精确到0.1） (3)估计盒子里黄色乒乓球和白色乒乓球各有多少个？ 【答案】(1)， (2)0.4 (3)估计盒子里黄色乒乓球有16个，白色乒乓球有24个 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率， （1）利用概率公式求出，的值即可； （2）根据表格中的数据即可得出结论； （3），根据②中的概率计算即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：，； （2）由表格中的数据可知，摸到黄色乒乓球的频率在附近， 当很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是， 故答案为：； （3）解：由（2）可知，摸到黄色乒乓球的概率约是， 盒子中黄色乒乓球的个数（个）； 白色乒乓球有个， 答：盒子里黄色乒乓球有16个，白色乒乓球有24个． 32．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.44；450 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，还考查了求圆心角的度数． （1）根据表中数据，结合频率、频数的关系求解即可； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率可得答案； （4）先求得表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，，， 故答案为：0.44；450； （2）解：如图： （3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近， 故获得《红星照耀中国》的概率约为， 故答案为：； （4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为， 则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是． 一、单选题 1．（2025·四川广元·一模）下列事件是确定性事件的是（     ） A．购买一张彩票，中奖； B．射击运动员射击1次，命中靶心； C．等边三角形的三条边长相等； D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯． 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的分类，掌握确定性事件指必然发生或必然不发生的事件是解题的关键． 根据确定性事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．购买一张彩票，中奖，是随机事件，不符合题意； B．射击运动员射击1次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； C．等边三角形的定义是三条边长相等，是确定性事件，符合题意； D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不符合题意． 故选C． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）下列说法错误的是（   ） A．打开电视，中央电视台正在播放“神舟二十号发射成功”的新闻是随机事件 B．“（x是实数）”是必然事件 C．“从两个班级中任选三名学生担任学校卫生督查员，则至少有两名学生来自同一个班级”是必然事件 D．“抛掷骰子一次，正面朝上的点数是6”是随机事件 【答案】B 【分析】本题考查事件类型的判断，包括随机事件、必然事件和不可能事件．根据事件的分类逐项分析判断，即可求解． 【详解】解： A、打开电视播放特定新闻可能发生也可能不发生，是随机事件，故该选项正确，不符合题意； B、当时，，故事件“（x是实数）”不是必然事件，故该选项不正确，符合题意； C、根据抽屉原理，从两个班级选三名学生，至少两人同班，是必然事件，故该选项正确，不符合题意； D、抛掷骰子点数为6可能发生也可能不发生，是随机事件，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26九年级下·辽宁盘锦·开学考试）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（   ）（精确到0.01） A．0.50 B．0.59 C．0.62 D．0.63 【答案】C 【详解】解：∵随着累计抛掷次数增大，针尖朝上的频率在附近波动（精确到）， ∴估计“针尖朝上”的概率接近于，故C选项符合． 4．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计口袋中大约有红球（   ） A．8个 B．16个 C．25个 D．30个 【答案】B 【分析】根据黄球的数量和摸到黄球的频率，列方程求解红球数量即可． 【详解】解：设口袋中有红球个 根据题意，得 解得， 经检验，是原方程的根， 故口袋中大约有红球16个． 故选：B． 5．（25-26九年级上·福建·期末）不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（    ） A．袋中红球有90个 B．第101次摸到红球的可能性较大 C．第101次会摸到红球 D．红球的数量占袋中总球数的 【答案】B 【分析】本题考查根据频率估计概率，摸到红球的频率为，故概率约为；每次摸球独立且概率不变，因此第101次摸到红球的可能性较大，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵ 摸球100次，摸到红球90次，且每次摸球后放回搅匀，每次摸球独立， ∴ 摸到红球的频率为，估计概率为， ∴ 第101次摸到红球的概率约为，故摸到红球的可能性较大， 选项A错误，因为总球数未知； 选项B正确； 选项C错误，因为概率不为1； 选项D错误，因为频率不一定精确等于比例， 故选B． 6．（25-26九年级上·吉林长春·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数 C．一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取球，取出的球是红球 D．在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯 【答案】C 【分析】本题考查了折线统计图，样本频率估计总体概率，根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，该选项不符合题意； 、掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数的概率为，该选项不符合题意； 、一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取球，取出的球是红球的概率为，该选项符合题意； 、在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯的概率为，该选项不符合题意； 故选：． 二、填空题 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？将结果填在横线上． （1）明天，上海会下雨；_______ （2）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；_______ （3）从装满红球的袋中取出个球，它是绿色的；_______ （4）抛掷一枚质地均匀的元硬币，反面朝上．_______ 【答案】 随机事件 随机事件 不可能事件 随机事件 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件的分类逐一判断即可． 【详解】解：（1）明天，上海会下雨，是随机事件； （2）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件； （3）从装满红球的袋中取出个球，它是绿色的，是不可能事件； （4）抛掷一枚质地均匀的元硬币，反面朝上，是随机事件； 故答案为：随机事件，随机事件，不可能事件，随机事件． 8．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）不透明的袋子里装有黄球4个，白球2个，红球1个，这些球除颜色外无其他差别，从袋子里随机取出一个球，取出_________球的可能性最大． 【答案】黄 【分析】本题考查的是可能性大小的判断．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．根据题意得到相应的可能性，比较即可． 【详解】解：， 摸到黄球的可能性为，摸到白球的可能性为，摸到红球的可能性为， 所以摸到黄球的可能性最大， 故答案为：黄． 9．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）九年级学生分六批依次在劳动周种植南瓜种子，其记录的在相同条件下种植的南瓜种子的发芽情况数据如下表： 南瓜种子的种植数 南瓜种子的发芽数 南瓜种子发芽的频率 由此估计该南瓜种子在此条件下发芽的概率为________．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据大量试验中频率稳定于概率的原理，观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在左右，据此即可解答． 【详解】解：观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在左右， 估计该南瓜种子在此条件下发芽的概率约为， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·福建泉州·期末）小东收集抛掷两枚普通硬币结果分别为“两正”、“两反”、“一正一反”的数据，并将其中一种数据绘制成如图所示的折线统计图，可推断该图象是结果出现________的折线统计图． 【答案】一正一反 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率公式，解题的关键在于从折线图读取稳定频率．根据统计图可知，试验结果频率在附近波动，即其概率，然后根据抛掷两枚普通硬币结果为“两正”、“两反”、“一正一反”的概率，约为即为正确答案． 【详解】解：抛掷两枚普通硬币， 第1枚            第2枚 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 故“两正”、“两反”的概率均为，“一正一反”的概率为， 试验结果频率在附近波动，所以可推断该图象是结果出现“一正一反”的折线统计图． 故答案为：一正一反． 11．（25-26九年级上·四川眉山·期末）一个不透明的口袋中装有红球和白球共10个，这两种球除颜色外均相同，将口袋中的球摇匀，从口袋中取出一个球，记录颜色后放回再摇匀再取出，经过多次实验，估计得到红球的概率是，则口袋中红球有___________个． 【答案】4 【分析】本题考查利用频率估计概率的知识点，根据多次实验得到的红球概率，结合总球数，计算红球的个数． 【详解】解：设口袋中红球有个， ∵总球数为个，且得到红球的概率是， ∴，解得； 故答案为：4． 12．（24-25七年级上·陕西咸阳·开学考试）不透明的口袋里放入同样大小的个红球和一些黑球，每次从口袋里任意摸出一个球，然后放回．如果摸到黑球的可能性是，那么口袋里放了______个黑球．要使摸到黑球的可能性变成，可以从口袋里拿走______个红球，也可以往口袋里再放入______个黑球． 【答案】 【分析】本题考查了事件的可能性的大小，先求出袋子球的总个数为（个），则黑球的个数为（个），要使摸到黑球的可能性变成，则球的总个数为（个），从口袋里拿走个红球，也可以往口袋里再放入黑球（个），掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：袋子中球的总个数为：（个）， 则黑球的个数为（个）， 要使摸到黑球的可能性变成， 则球的总个数为（个）， ∴此时红球个数为，即从口袋里拿走个红球， 也可以往口袋里再放入黑球（个）， 故答案为：，，． 三、解答题 13．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？并说明理由． （1）13个人至少有两个人出生的月份相同． （2）十五的月亮像一艘弯弯的小船． （3）三角形的内角和等于． （4）李叔叔买福利彩票，中奖． 【答案】必然事件是（1）（3）；不可能事件是（2）；随机事件是（4），理由见解析 【分析】本题考查了随机事件，必然事件和不可能事件的相关概念，理解概念是解题的关键．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：（1）一年有12个月，13个人中一定至少有两个人出生月份相同，是必然事件． （2）十五的月亮是圆的，一定不会像一艘弯弯的小船，是不可能事件． （3）三角形的内角和等于是定理，一定是正确的，是必然事件． （4）李叔叔买福利彩票，有可能中奖，也有可能不中奖，无法确定，是随机事件． 故必然事件是（1）（3）；不可能事件是（2）；随机事件是（4）． 14．（24-25九年级下·河北石家庄·月考）一个不透明的袋子中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到____球的可能性大； (2)能否通过改变某种颜色球的数量使摸到红球和摸到黑球的可能性相同？ 【答案】(1)黑 (2)可以，取出个黑球或放入个红球就可以使摸到红球和摸到黑球的可能性相同 【分析】（）根据两种球的数量即可判断求解； （）使两种球的数量相同即可使摸到红球和摸到黑球的可能性相同； 本题考查了可能性大小，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵黑球的数量大于红球的数量， ∴从中任意摸出一个球，摸到黑球的可能性大， 故答案为：黑； （2）解：取出个黑球或放入个红球，使得两种球的数量相同，就可以使摸到红球和摸到黑球的可能性相同． 15．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）掷一枚质地均匀的骰子，估计下列事件发生的概率，并将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列． （1）面朝上的点数大于0； （2）面朝上的点数是7； （3）面朝上的点数是3的倍数． 【答案】见解析 【分析】本题考查求概率，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：（1）面朝上的点数大于0，是必然事件，故； （2）面朝上的点数是7，是不可能事件，故； （3）面朝上的点数是3的倍数有3，6两种情况，故； 按发生的可能性从大到小的顺序排列为． 16．（24-25九年级下·全国·随堂练习）请你根据下列要求，分别设计一个摸球游戏： (1)任意摸出1个球是黄球是不可能事件． (2)任意摸出2个球，1个是黄球，1个是白球是必然事件． (3)任意摸出3个球，2个是黄球，1个是白球是随机事件． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；必然事件：必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件；不可能事件：有的事件在每次试验中都不会发生，掌握其定义是解题的关键． （1）根据不可能事件的含义设计游戏即可； （2）根据必然事件的含义设计游戏即可； （3）根据随机事件的含义设计游戏即可； 【详解】（1）解：在一个不透明的口袋中装有4个白球和2个黑球，每个球除颜色外其他全部相同，从中任意摸出1个球是黄球是不可能事件．（答案不唯一） （2）解：在一个不透明的口袋中装有1个黄球和1个白球，每个球除颜色外其他全部相同，任意摸出2个球，1个是黄球，1个是白球是必然事件． （3）解：在一个不透明的口袋中装有4个黄球和2个白球，任意摸出3个球，2个是黄球，1个是白球是随机事件．（答案不唯一） 17．（24-25七年级下·广东深圳·期末）（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】(1)，33 (2) (3)560个 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． （3）解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 18．（21-22八年级下·江苏南京·期中）某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【答案】(1)、 (2)， (3) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：、； （2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； 故答案为：，； （3）解：，，， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $