学易金卷：高二数学下学期第一次月考03【全国通用，人教A版选修二导数及其应用+选三排列组合】

11 2025-2026学年高二数学第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分） 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17. （15分） 18.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第二、三册，导数+排列组合。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合，从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有（   ） A．2个 B．4个 C．1个 D．12个 3．已知函数，则（   ） A．2 B．1 C． D． 4．已知函数，则（   ） A．0 B．64 C．-64 D．128 5．从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（   ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 7．已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．设，且，，，则它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 10．已知函数，则（   ） A．是函数的极小值点 B．对，方程恒有两个不同的实数解 C． D．存在，使得直线与曲线相切 11．把数2，4，6，8，10，12按任意顺序排一列，构成数列：，，，，，，则（    ） A．满足，，与，，分别成等差数列的排法种数为8 B．满足，且的排法种数为20 C．满足的排法种数为48 D．满足的排法种数为360 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数．若在区间上恒成立，则整数的最小值是__________． 13．已知不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为_____． 14．已知斜率为的直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，令，求证： 16．（15分）如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段． (1)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ (2)由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？ (3)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ 17．（15分）已知函数，其中为正实数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）当取最小值时，若，为正实数，且，证明：． 18．（17分）已知函数（是自然对数的底数）. (1)当时，求函数的单调区间及曲线在处的切线方程； (2)当时： （i）证明：在上有两个极值点； （ii）设极小值点是，证明：. 19．（17分）已知，直线与曲线和都相切． (1)求的值； (2)若，其中． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学第一次月考卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版（2019)选择性必修第二、三册，导数+排列组合。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.己知函数∫(x)在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是() 1 A.3)f@<f0<f'3) B.f6<3),0≤f0 2 2 C.f"3)s1"1)<f3)-f D.r0<f)f0f③) 2 2.已知集合A={-3,-1,0,2},集合B={-4,3,5},从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个 数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有() A.2个 B.4个 C.1个 D.12个 3.已知函数f(x)=x3+3x-f'(0)sin2x,则f'(0)=() A.2 B.1 C.-1 D.-2 4.已知函数f(x)=x(x-2)(x-4)(x-6)(x-8),则f"(4)=() A.0 B.64 C.-64 D.128 5.从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白 球的编号分别为1,2,3，三个黑球的编号分别为4,5,6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一 1/7 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 个为黑球的概率为() 2-5 B. D.5 6.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且f(x-1)为奇函数，f'(2-x)+'(x)=2,f'(-1)=2, 2025 则∑f'(2i-1)=() 11 A.2025 B.2024 C.1013 D.1012 7.已知函数f(x)=e,g(x)=aW(a≠0)，若函数y=f(x)的图象上存在点P(x,y),使得y=f(x)在点 P(x,)处的切线与y=8(x)的图象也相切，则a的取值范围是( ) A.(0,1] B.(0,V2e] c.1,v2e] D π 8.设a,b,c∈0, 2 ,且a=cosa,b=sin(cosb),c=cos(sinc),则它们的大小关系为() A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<b<c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下面正确的是() A.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法： B.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有5种不同的放法： C.将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法： D.将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法. 10.已知函数f()-点，则() A.x=e是函数f(x)的极小值点 B.对k≥3，方程∫(x)-k=0恒有两个不同的实数解 C.n2>2nπ D.存在k∈R,使得直线y=k(x-1)与曲线y=f(x)相切 11.把数2,4,6,8,10,12按任意顺序排一列，构成数列：a,42,4,44,a,4。,则() A.满足a1,4,4与42,4，a。分别成等差数列的排法种数为8 B.满足4<4<4，且a,>a>4的排法种数为20 C.满足4-42+4-4+4-a。=6的排法种数为48 D.满足a2-1<a(i=1,2,3)的排法种数为360 217 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 1 l2.函数f(x)=sinx-x COSx+二ax2+2元.若f(x)>0在区间[0，+o)上恒成立，则整数a的最小值是 2 13.已知不等式k(x+2)e<x+1恰有两个整数解，则实数k的取值范围为 14.已知斜率为-1的直线与曲线y=e-x,(x>0),y=1-x-lnx分别相交于A(x,),B(x2,y2)两点，则 2x+x2的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知函数f(x)=anx-x-1,a∈R, (I)讨论函数f(x)的单调性： +1+子求证：gW血x (2当a=1时，令g(x)=f四+x+1+1 x-1 317 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.(15分)如图，己知平面图形ABCDEFG的内部连有线段， E D G C B (1)由点A出发，沿着图中的线段到达点F的最近路线有多少条？ (2)由点A出发，沿着图中的线段到达点C,任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？ (3)由点A出发，沿着图中的线段到达点D的最近路线有多少条？ 417 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .(15分)已知国激fe)=aG-左) -2lnx,其中a为正实数. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)当x≥1时，f(x)20. (i)求a的取值范围： (ii)当a取最小值时，若，n为正实数，且m+n=2m,证明：f(m)+f(n)≥0. 517 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(17分)已知函数f(x)=(x-m)e-x2(e是自然对数的底数). (1)当n=1时，求函数f(x)的单调区间及曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线方程： (2)当n≥2(neN)时： ()证明：f(x)在R上有两个极值点： (i)设极小值点是y,证明： 617 9学科网·学易金卷 做好卷，就用学易金卷 19.(17分)已知 $$a ， k \in R ， f \left( x \right) = x \ln x ， g \left( x \right) = \left( x + a \right) e ^ { x } ，$$ ，直线y=k与曲线 y= f(x)和 y= g(x)都相切. (1)求 a，k 的值； (2)若， $$f \left( x _ { 1 } \right) = f \left( x _ { 2 } \right) = g \left( x _ { 3 } \right) = g \left( x _ { 4 } \right) = b ，$$ ，其中 $$x _ { 1 } e { x _ { 2 } } ， x _ { 3 } e { x _ { 4 } } .$$ (i)求实数b的取值范围； (ii)求证： $$| \frac { 1 } { x _ { 1 } } - \frac { 1 } { x _ { 2 } } | > | \frac { 1 } { x _ { 1 } } - \frac { 1 } { x _ { 4 } } |$$ 7/7 2025-2026学年高二数学第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第二、三册，导数+排列组合。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合，从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有（   ） A．2个 B．4个 C．1个 D．12个 3．已知函数，则（   ） A．2 B．1 C． D． 4．已知函数，则（   ） A．0 B．64 C．-64 D．128 5．从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（   ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 7．已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．设，且，，，则它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 10．已知函数，则（   ） A．是函数的极小值点 B．对，方程恒有两个不同的实数解 C． D．存在，使得直线与曲线相切 11．把数2，4，6，8，10，12按任意顺序排一列，构成数列：，，，，，，则（    ） A．满足，，与，，分别成等差数列的排法种数为8 B．满足，且的排法种数为20 C．满足的排法种数为48 D．满足的排法种数为360 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数．若在区间上恒成立，则整数的最小值是__________． 13．已知不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为_____． 14．已知斜率为的直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，令，求证： 16．（15分）如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段． (1)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ (2)由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？ (3)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ 17．（15分）已知函数，其中为正实数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）当取最小值时，若，为正实数，且，证明：． 18．（17分）已知函数（是自然对数的底数）. (1)当时，求函数的单调区间及曲线在处的切线方程； (2)当时： （i）证明：在上有两个极值点； （ii）设极小值点是，证明：. 19．（17分）已知，直线与曲线和都相切． (1)求的值； (2)若，其中． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学第一次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B B B C A B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AB BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 1 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减.......................6分 （2）当时，，， 不等式， 当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此； 当时，，函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此， 所以.......................13分 16．（15分） 【详解】（1）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动3次， 则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条．.....................4分 （2）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动6次， 则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条， 其中两次向上行走连续且最近的路线有7条． 故所求路线有条．.......................9分 （3）设H，K的位置如图所示， 则由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线可分为以下三种情况： ①，有条最近路线； ②，有条最近路线； ③，有条最近路线． 故由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条．......................15分 17．（15分） 【详解】（1）当时，，． 所以，又． 所以所求的切线方程为，即．....................3分 （2）（ⅰ）， 因为，设二次函数的判别式为， ①当，即时，，所以在单调递增， 所以，所以． ②，即时，设的两个根为，，且， 由韦达定理，可得，即，所以， 所以在单调递减，在单调递增． 所以当时，有，与不符合，舍去． 综上所述，的取值范围为．.......................9分 （ⅱ）由（ⅰ）得，的最小值为2，在单调递增， 且，即 因为，为正实数，且，所以． 不妨设，则，，所以，． 又，所以，即． 所以，所以． 所以，即．.....................15分 18．（17分） 【详解】（1）当时，可得，. 当时；当时，则在上恒成立， 故的单调递增区间为无单调递减区间. 因， 曲线在处的切线方程为......................4分 （2）（i）， 令，则， 再令，则， 由， 故在上单调递减，在上单调递增. 因为，，， 当时，，所以存在使得. 于是在上单调递减，在上单调递增. 又因为，， 所以在内存在唯一零点， 即在内有唯一极值点且为极小值点. 又因为，当时，， 于是在内存在唯一零点， 即在内有唯一极值点且为极大值点. 综上， 在 上有一个极大值点 和一个极小值点 ，且........................11分 （ii）由（i）知，，所以. ........................17分 19．（17分） 【详解】（1）． 设与的切点为， 则，解得，所以． 由与相切，同理得， 所以．.......................5分 （2）（i）由得直线与有两个不同的交点，与有两个不同的交点， 由（1）知，，， 在上单调递减，在上单调递增； ，， 在上单调递减，在上单调递增， 又，且； ，且， 作出函数和的图象， 由图象知的取值范围为． ......................11分 （ii）不妨设， 由（i）知，， 显然，且，所以， 同理，． 要证，只需证， 只需证． 又，只需证． 令函数，则， 所以函数在（0，1）上单调递增， 由得，所以显然成立， 综上，．.......................17分 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高二数学第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 粉 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][CD] 5[A][B][C[D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C[D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 4[A[B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C]D] 10 [A][B][C][D] 前 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 的1 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) E D C B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) E M F A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）2025-2026学年高二数学第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣▣■。●■▣。。■m。■=-。■=▣。▣=。■=■=■▣■■。中■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填：缺考标记 ▣ 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【W1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A[B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A[B][C]D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][CD] 7[A][B][C][D] 4[A[B][C[D] 8[A][B][C[D] 二、 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9[A][B][C][D] 10[A]B][CI[D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13, 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分) 16.(15分) E D 分 C B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $: 2025-2026学年高二数学第一次月考卷 : O (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意丰项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 : : 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版(2019)选择性必修第二、三册，导数+排列组合。 O O 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知函数∫(x)在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是() .: : A. f3)-f@<f四<f'(3) 8.3)<3,0<r0 2 : c.f"3)sf)<3)-f D.f<)-0<f(3) 2 拟 : 2.已知集合A={-3,-1,0,2},集合B={-4,3,5},从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一 : 个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有() A.2个 B.4个 C.1个 D.12个 : : 3.已知函数f(x)=x3+3x-f'(0)sin2x,则f'(0)=() : A.2 B.1 c.-1 D.-2 K 4.已知函数f(x)=x(x-2)(x-4)(x-6)(x-8),则f'(4)=() A.0 B.64 C.-64 D.128 5.从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个 : 白球的编号分别为1,2,3，三个黑球的编号分别为4,5,6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少 试题第1页（共4页） .: .: ©学科网·学易金卷做树装：限是鲁” 有一个为黑球的概率为() 1 A.3 c 6.已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R,且f(x-1)为奇函数，f(2-x)+f"(x)=2,"(-1)=2, 2025 则∑f'(2i-1)=() A.2025 B.2024 C.1013 D.1012 7.已知函数f(x)=e,g(x)=a√x(a≠0)，若函数y=f(x)的图象上存在点P(,%),使得y=f(x)在点 P(x。,)处的切线与y=8(x)的图象也相切，则a的取值范围是() A.(0,1 B.(0,V2e] c.(1,V2e D 8.设a,b.c∈0,2)且a=cosa,b=sim(cosb),c=cos(simc),则它们的大小关系为（) A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<b<c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下面正确的是() A.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法： B.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有53种不同的放法： C.将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法： D.将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法. 10.已知函数/()-点，则() A.x=e是函数f(x)的极小值点 B.对k≥3，方程f(x)-k=0恒有两个不同的实数解 C.n2>2ln D.存在k∈R,使得直线y=k(x-1)与曲线y=∫(x)相切 11.把数2,4,6,8,10,12按任意顺序排一列，构成数列：4,42,4,44,4,46，则() A.满足a,4,4与4,44，a。分别成等差数列的排法种数为8 B.满足4<4<4，且4，>4>4。的排法种数为20 C.满足a-a+a-a4+%-a。=6的排法种数为48 D.满足4-1<4，(i=1,2,3)的排法种数为360 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做就卷：就限是普 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 1 12.函数f(x)=sinx-x cOsx+一ar2+2元.若f(x)>0在区间[0，+o)上恒成立，则整数a的最小值是 13.已知不等式k(x+2)e<x+1恰有两个整数解，则实数k的取值范围为. 14.已知斜率为-1的直线与曲线y=e-x,(x>0),y=1-x-nr分别相交于A(x1,),B(x2,y2)两点，则 2x,+x,的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知函数f(x)=alhx-x-1,a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性： 2当a=1时，令g)=f)++1+,求证：g)>nN x+1 x x-1 16.(15分)如图，己知平面图形ABCDEFG的内部连有线段. 7 (1)由点A出发，沿着图中的线段到达点F的最近路线有多少条？ (2)由点A出发，沿着图中的线段到达点C,任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？ (3)由点A出发，沿着图中的线段到达点D的最近路线有多少条？ 17.a5分)已知函数f)-aG-)x,共中a为正实数。 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)当x≥1时，f(x)≥0. (i)求a的取值范围； (ii)当a取最小值时，若m,n为正实数，且m+n=2,证明：f(m)+f(n)≥0. 试题第3页（共4页） 18.(17分)已知函数f(x)=(x-e-】x2(e是自然对数的底数). ○ (1)当=1时，求函数f(x)的单调区间及曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线方程； : (2)当n≥2(n∈N)时： (i)证明：f(x)在R上有两个极值点： (i)设极小值点是y,证明：】 站 张 19.(17分)已知a,k∈R,f(x)=xnx,8(x)=(x+a)e*,直线y=k与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切. (1)求a,k的值： (2)若f(x)=f(x2)=8(x3)=8(x)=b,其中x≠x2,x3≠x4. 滞 (i)求实数b的取值范围； 游 ()求证： 传 S 世 ..0 试题第4页（共4页） 2025-2026学年高二数学第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第二、三册，导数+排列组合 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数的图象，由导数的几何意义求解判断即可． 【详解】设为点、为点． 由题图可知函数的图象在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大， 且均为正数，所以． 直线的斜率为，其比在处的切线的斜率小， 但比在处的切线的斜率大，所以． 2．已知集合，集合，从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有（   ） A．2个 B．4个 C．1个 D．12个 【答案】B 【分析】根据第二象限点的特征，运用分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】在第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数， 由题意得点的横坐标有，两种选择，点的纵坐标有3，5两种选择． 由分步乘法计数原理，得在第二象限的点有个． 故选：B． 3．已知函数，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】求函数求导，令，可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意得，所以， 可得． 故选：B． 4．已知函数，则（   ） A．0 B．64 C．-64 D．128 【答案】B 【分析】根据题目条件构造函数，根据函数的求导法则，求出函数导数，求出导数值即可. 【详解】令，其中； 则， 代入，可得. 故选：B. 5．从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，任意取的2个球共有种，再计算符合条件的情况，再求概率即可． 【详解】根据题意，任意取的2个球共有种， 取出的2个球的编号之和为奇数， 则取出的2个球的编号必须为一个奇数一个偶数，且至少有一个为黑球， 所以，一个白球（奇数）一个黑球（偶数）有种， 一个白球（偶数）一个黑球（奇数）有种， 两个黑球（一奇一偶）共有种，故概率为． 故选：C． 6．已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（   ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【答案】A 【分析】根据题意和函数的对称性可得，进而，则函数是以8为周期的周期函数，分别求出的值，结合函数的周期即可求解. 【详解】由，令，得，所以. 由为奇函数，得， 所以，故①， 又②， 由①和②得， 即， 令，则， 所以③， 令，得，得； 令，得，得. 又④， 由③-④得，即， 所以函数是以8为周期的周期函数，故， 所以， 所以. 故选：A 7．已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两条直线的公切线，表示出切点坐标，构造函数，利用导函数求得极值点；根据极值点，求出两侧的单调性，再根据单调性求得的最大值． 【详解】的公共切点为，设切线与的图象相切与点 由题意可得 ，解得 所以 令 则 令，解得 当 时， 当 时， ，函数在上单调递增 当 时， ，函数在上单调递减 当t从右侧趋近于0时， 趋近于0 当t趋近于 时， 趋近于0 所以 所以选B 【点睛】本题考查了导数的综合应用，利用导数的单调性求得值域，属于难题． 8．设，且，，，则它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可通过构造函数，利用函数的单调性比较大小，关键在于分析以及在上的单调性. 【详解】首先比较的大小， 令，求导得在上恒成立， 所以在上单调递增.因为，所以. 又因为在上恒成立，且，所以， 所以，所以即. 由于在上单调递增，则. 其次比较的大小， 令，求导得， 因为，所以，所以且， 所以，所以在上单调递减. 所以 又因为在上恒成立，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即，由单调性可知. 综合以及，所以 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 【答案】AC 【分析】先将5个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果验证A；确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果验证B；只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可，利用隔板法可求得结果验证C；问题等价于在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可，利用隔板法可求得结果验证D. 【详解】将5个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为2、2、1或3、1、1，然后再将这三组小球放入三个盒子中， 因此，不同的放法种数为种，故A正确 每个小球有3种方法，由分步乘法计数原理可知，将5个不同的小球放入3个不同的盒子中， 盒子可空，不同的放法种数为种，故B错误； 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故C正确. 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，等价于将8个相同的小球放入3个不同的盒子中， 每个盒子不空，只需在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故D错误； 故选：AC. 10．已知函数，则（   ） A．是函数的极小值点 B．对，方程恒有两个不同的实数解 C． D．存在，使得直线与曲线相切 【答案】AB 【分析】对于A选项，利用导数即可求出极小值；对于B选项，将问题转化为与有两个交点即可；对于C，根据在上单调递增，可得，代入化简即可判断；对于D，设切点为，则切线方程为：，将点，代入化简得：，令，利用导数研究函数的取值范围即可判断D选项. 【详解】函数​的定义域为，且， 令，解得 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 则是函数的极小值点，故A 正确； 对于B，的极小值为， 当时，，，当时，， 结合图像可知对，方程恒有两个不同解成立，故B正确； 对于C，由于当时，单调递增，所以，则， 即,所以，故C不正确； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为：， 因为切线过，代入得： 化简得：， 整理得：，即， 令，， 则，所以在和上单调递增， 所以当时，，当时，， 则当时，无解， 即不存在，使得直线与曲线相切，故D不正确； 11．把数2，4，6，8，10，12按任意顺序排一列，构成数列：，，，，，，则（    ） A．满足，，与，，分别成等差数列的排法种数为8 B．满足，且的排法种数为20 C．满足的排法种数为48 D．满足的排法种数为360 【答案】BC 【分析】由排列组合逐选项分析求解即可. 【详解】A选项，6个数中分别选3个构成等差数列，有以下2种组合： 与，与， 对每组的两个等差数列，每个等差数列自身有2种排列方式，奇偶项也可交换， 则共有种，故A错误； B选项，任取三个数作为，则满足的排列只有1种， 而余下三个数作为，满足的排列也只有1种， 则满足，且的排法种数为种，故B正确； C选项，由于任取两数之差均不小于2，若满足， 则只能是，对于， 先全排列，再内部各自排列，共有种，C选项正确； D选项，类似B选项，先任取两个数作为，则满足的排列只有1种， 再任取两个数作为，满足的排列只有1种，最后两个数作为， 满足的排列只有1种，共有种，故D选项错误； 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数．若在区间上恒成立，则整数的最小值是__________． 【答案】 【分析】利用特值法判断成立的必要条件，再根据导数判断函数单调性，即可证明其充分性. 【详解】由，要使在区间上恒成立，则， 当时，， 此时在上恒成立， 故在区间上单调递增， 此时，也即在上恒成立， 故整数的最小值为． 13．已知不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【分析】原不等式化为，构造函数，利用导数研究单调性并作出大致图象，数形结合即可求出范围. 【详解】原不等式等价于，设，， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取极大值1，又，且时，， 在同一坐标系内作出与的图象，如图： 直线恒过点，当时，显然不满足条件； 当时，若0，1是原不等式的解，只需要满足，解得， 的取值范围为； 当的切线过点时，设切点为，则切线方程为， 该直线过点，，解得， 若是原不等式的解，则，解得， 所以k的取值范围为. 故答案为： 14．已知斜率为的直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】利用参数来表示，从而把构造成一个关于的函数，再利用导数来研究单调性求最值即可. 【详解】设斜率为的直线方程为，与交于， 则有，化简得，即 因为，所以， 又与交于， ，化简得，即. 则， 构造函数， 求导得： ，可知， 又由， 构造函数，求导得， 由， 在上单调递增， 由， 可得在上单调递减， 又因为，， 所以结合单调性可知： 当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取最小值，即 ， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，令，求证： 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出的导数，再按分类讨论求出的单调区间. （2）把代入求出，再对所证不等式作等价变形，按分段并构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减.......................6分 （2）当时，，， 不等式， 当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此； 当时，，函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此， 所以.......................13分 16．（15分）如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段． (1)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ (2)由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？ (3)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ 【答案】(1)10条． (2)21条． (3)155条． 【分析】（1）先求出点出发到达点需要向上和向右的次数，再根据组合数求解即可； （2）先求出点出发到达点的最近路线有多少条，再计算两次向上行走连续且最近的路线，相减即可； （3）分类讨论分别经过的情况数，结合（1）中的方法求解即可. 【详解】（1）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动3次， 则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条．.....................4分 （2）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动6次， 则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条， 其中两次向上行走连续且最近的路线有7条． 故所求路线有条．.......................9分 （3）设H，K的位置如图所示， 则由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线可分为以下三种情况： ①，有条最近路线； ②，有条最近路线； ③，有条最近路线． 故由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条．......................15分 17．（15分）已知函数，其中为正实数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）当取最小值时，若，为正实数，且，证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求导得切线斜率，代入点坐标写出切线方程即可； （2）（i）通过导数分析函数单调性，结合判别式讨论参数；（ⅱ）利用条件转化为，结合函数性质和单调性证明不等式. 【详解】（1）当时，，． 所以，又． 所以所求的切线方程为，即．....................3分 （2）（ⅰ）， 因为，设二次函数的判别式为， ①当，即时，，所以在单调递增， 所以，所以． ②，即时，设的两个根为，，且， 由韦达定理，可得，即，所以， 所以在单调递减，在单调递增． 所以当时，有，与不符合，舍去． 综上所述，的取值范围为．.......................9分 （ⅱ）由（ⅰ）得，的最小值为2，在单调递增， 且，即 因为，为正实数，且，所以． 不妨设，则，，所以，． 又，所以，即． 所以，所以． 所以，即．.....................15分 18．（17分）已知函数（是自然对数的底数）. (1)当时，求函数的单调区间及曲线在处的切线方程； (2)当时： （i）证明：在上有两个极值点； （ii）设极小值点是，证明：. 【答案】(1)单调递增区间为,无单调递减区间；切线方程为 (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）利用不含参函数的单调区间以及切线方程的求法可得答案； （2）（i）求导，利用单调性以及零点存在定理证明导函数在上有2个变号的零点即可；（ii）放缩成等比数列，利用等比数列的前项和公式求和即可. 【详解】（1）当时，可得，. 当时；当时，则在上恒成立， 故的单调递增区间为无单调递减区间. 因， 曲线在处的切线方程为......................4分 （2）（i）， 令，则， 再令，则， 由， 故在上单调递减，在上单调递增. 因为，，， 当时，，所以存在使得. 于是在上单调递减，在上单调递增. 又因为，， 所以在内存在唯一零点， 即在内有唯一极值点且为极小值点. 又因为，当时，， 于是在内存在唯一零点， 即在内有唯一极值点且为极大值点. 综上， 在 上有一个极大值点 和一个极小值点 ，且........................11分 （ii）由（i）知，，所以. ........................17分 19．（17分）已知，直线与曲线和都相切． (1)求的值； (2)若，其中． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)，； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可； （2）（i）根据导数的正负性与函数单调性的关系，运用转化法，结合数形结合思想进行求解即可； （ii）对所证明不等式进行变形，利用构造函数法，结合导数的性质进行运算证明即可. 【详解】（1）． 设与的切点为， 则，解得，所以． 由与相切，同理得， 所以．.......................5分 （2）（i）由得直线与有两个不同的交点，与有两个不同的交点， 由（1）知，，， 在上单调递减，在上单调递增； ，， 在上单调递减，在上单调递增， 又，且； ，且， 作出函数和的图象， 由图象知的取值范围为． ......................11分 （ii）不妨设， 由（i）知，， 显然，且，所以， 同理，． 要证，只需证， 只需证． 又，只需证． 令函数，则， 所以函数在（0，1）上单调递增， 由得，所以显然成立， 综上，．.......................17分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $