第一单元 简易方程（期中知识清单）五年级数学下学期（苏教版）

苏教版 第一单元 简易方程（知识清单） 适用对象：苏教版小学五年级下册数学 核心目标：理解方程的意义与等式性质，掌握解方程的方法，能运用方程解决实际问题，建立“未知→已知”的数学思维模式 知识框架：概念辨析→等式性质→解方程→实际应用→易错突破→真题演练 一、核心知识点（精梳细理·夯实基础） 1. 方程的核心概念（辨本质·明关系） 概念 定义 关键特征 举例 等式 表示两个数或表达式相等关系的式子 含有“=”，左右两边数值相等 、 方程 含有未知数的等式 ① 是等式；② 含有未知数（如x、y等） 、、 方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值 代入方程后，左右两边结果一致 方程的解是 解方程 求方程的解的过程 依据等式性质，逐步化简方程 解的过程（移项、计算） 等式与方程的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程（不含未知数的等式不是方程），可表示为： 2. 等式的性质（解方程的依据） 性质1：加减性质 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 字母表示：如果，那么 应用：解方程中“移项变号”（如，两边同时减18，得） 性质2：乘除性质 等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。 字母表示：如果（），那么、 应用：解方程中“系数化1”（如，两边同时除以0.7，得） 易错提醒：等式两边不能同时除以0（0不能作除数）。 3. 解方程的步骤与方法（按规操作·精准求解） （1）基础型方程（一步求解） 方程类型 解题方法 示例 加法型（） 两边同时减a 解： 减法型（） 两边同时加a 解： 乘法型（） 两边同时除以a（a≠0） 解： 除法型（） 两边同时乘a（a≠0） 解： （2）复杂型方程（多步求解） 步骤：去括号→移项（含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项变号）→合并同类项→系数化1→检验 示例：解 ① 移项：（两边同时加21.9） ② 计算： ③ 系数化1： ④ 检验：把代入原方程，左边，与右边相等，解正确。 （3）检验的重要性 解方程后必须检验，确保结果正确： 检验方法：把求出的未知数的值代入原方程，计算左右两边的结果，若相等则解正确，否则需重新求解。 4. 列方程解决实际问题（找关系·列等式） 核心步骤： 1.审题设元：找出未知量，用字母（通常用x）表示； 2.找等量关系：根据题意列出数量之间的相等关系（关键步骤，可借助线段图、公式辅助）； 3.列方程：根据等量关系列出方程； 4.解方程：按步骤求解，注意单位统一； 5.检验作答：检验结果是否符合实际情境，再写出答案。 常见等量关系类型： 求和型：A的数量+B的数量=总数量（如“鸡和兔共8只”→鸡的只数+兔的只数=8）； 倍数型：A的数量=B的数量×倍数±相差数（如“大雁塔高比小雁塔的2倍少21.9米”→小雁塔高度×2-21.9=大雁塔高度）； 公式型：利用学过的公式（如长方形周长=（长+宽）×2、路程=速度×时间）； 相遇问题：甲行的路程+乙行的路程=总路程（如“两车相向而行3小时相遇”→甲速度×3+乙速度×3=总路程）。 二、重难点突破（攻难克险·掌握方法） 重点1：辨析方程与等式、含字母的式子 解题关键：抓住核心特征——方程必须同时满足“是等式”和“含未知数”两个条件。 举例判断： （含未知数但不是等式→不是方程）； （是等式但不含未知数→不是方程）； （是等式且含未知数→是方程）。 重点2：掌握复杂方程的解法 解题技巧： 移项时牢记“变号”（加变减、减变加、乘变除、除变乘）； 合并同类项时，同类项的系数相加，字母和指数不变（如）； 遇到有括号的方程，先去括号（若括号前是加号，去括号后各项符号不变；若括号前是减号，去括号后各项符号改变）。 难点1：找准实际问题中的等量关系 突破方法： 1.抓关键词：“一共” “比……多” “比……少” “是……的几倍” “占”等，明确数量关系； 2.画线段图：用线段表示各数量，直观呈现它们的和、差、倍数关系（如“甲比乙的3倍多5”，先画乙的线段，再画3段乙的长度加5表示甲）； 3.联系生活常识：结合生活经验分析数量关系（如“购物时，付出的钱-商品总价=找回的钱”）。 难点2：列方程解决含两个未知量的问题 解题思路： 设较小的未知量为x，根据倍数关系用含x的式子表示另一个未知量； 依据“两个未知量的和/差=已知数”列方程。 示例：“果园里桃树和梨树共120棵，桃树的棵数是梨树的2倍”，设梨树有x棵，则桃树有2x棵，列方程：，解得（梨树），（桃树）。 三、易错点点拨（避坑指南·少走弯路） 易错1：混淆“方程的解”与“解方程” 错误表现：认为“x=5”是解方程。 纠正：“方程的解”是一个具体的数值（如x=5），“解方程”是求这个数值的过程，二者本质不同。 易错2：等式两边同时乘除时忽略“不为0” 错误表现：解（无意义）或时，两边同时除以2得x=0（正确），但误将“x=0”视为无效解。 纠正：0可以作为方程的解，但等式两边不能同时除以0；任何数乘0都得0，因此的解是x=0。 易错3：移项时不变号 错误表现：解时，写成（应为）。 纠正：移项的本质是利用等式性质，把某一项从等式一边移到另一边，必须改变该项的符号（加变减、减变加）。 易错4：列方程时单位不统一 错误表现：“小明身高1.5米，比小红高0.2米”，设小红身高为x厘米，列方程：（单位不一致）。 纠正：先统一单位（1.5米=150厘米），再列方程：，或设小红身高为x米，方程：。 易错5：忽略实际问题的合理性 错误表现：“一个长方形的长是5厘米，宽是x厘米，周长是18厘米”，解得x=4（正确），若解得x=10（超出长的长度，不合理）未检验。 纠正：列方程解决实际问题时，除了检验方程解的正确性，还要检验结果是否符合实际情境（如长度、人数、数量等不能为负数或不合理数值）。 四、特色题型精讲（融生活·提能力） 题型1：基础概念辨析题（课本原型题） 例题：下面的式子哪些是等式？哪些是方程？ 、、、、、 解答： 等式：、、、（含“=”）； 方程：、（是等式且含未知数）。 点拨：紧扣“等式看等号，方程看‘等式+未知数’ ”的判断标准。 题型2：复杂方程求解题（高频考题） 例题：解方程 解答： 1.移项：（两边同时减1.8）； 2.计算：； 3.系数化1：； 4.检验：左边，与右边相等，解正确。 点拨：多步方程按“移项→计算→系数化1”的步骤求解，每一步都要依据等式性质。 题型3：实际应用综合题（生活拓展题） 例题：甲、乙两辆汽车同时从相距540千米的两地出发，相向而行，经过3小时相遇。已知甲车的速度是95千米/时，乙车的速度是多少千米/时？ 解答： 1.设未知数：设乙车的速度是x千米/时； 2.找等量关系：甲车3小时行的路程+乙车3小时行的路程=总路程； 3.列方程：； 4.解方程： ； 5.检验作答：乙车速度85千米/时，3小时行255千米，甲车3小时行285千米，255+285=540千米，符合总路程，答：乙车的速度是85千米/时。 点拨：相遇问题的核心是“路程和=总路程”，用含未知数的式子表示各车行驶的路程，再列方程求解。 五、学习锦囊（巧学妙记·助力提升） 1. 核心口诀 方程定义：等式含未知，二者缺一不可； 等式性质：加减同数不变，乘除同数（非0）不变； 解方程：移项要变号，合并再化1，检验不能少； 列方程：先找未知量，再找等量关，方程自然现。 2. 解题小技巧 遇复杂方程：先化简（合并同类项、去括号），再按步骤求解； 找等量关系：关键词标注法（圈出“一共” “倍” “多” “少”），线段图辅助法； 检验小窍门：代入原方程计算，左右相等则正确，不等则回头查步骤。 3. 课后实践建议 1.收集生活中的数学问题（如购物、行程、身高体重等），尝试用方程解决； 2.制作“方程错题本”，记录易错题型（如移项不变号、单位不统一），标注错误原因和正确解法； 3.小组合作：互相出题（含基础题、复杂题、实际应用题），交换求解并检验，共同提升。 六、真题小练（练真题·验成果） 基础题 1．今年艺术节展演，美术社团举行优秀作品展评活动，127件作品共计布置了5块大展板和4块小展板，已知每块大展板比小展板多贴2件作品，则每块大展板可以贴( )件作品，每块小展板可以贴( )件作品。 2．如图，一支钢笔的价格是一支铅笔的6倍，那么一支铅笔( )元，一支钢笔( )元。 3．星期天小明去爬山，从山脚到山顶用32分钟，然后原路返回用24分钟，已知下山比上山每分钟多走20米。小明下山每分钟走( )米，爬山走了( )米。 4．有一个数乘2减去4和3的积，所得的差是10，这个数是______。 5．下面的式子中等式有( )，方程有( )（填序号）。 ①    ②    ③    ④    ⑤ 6．摄氏温度（℃）和华氏温度（℉）是两种常用的温度计量单位。摄氏温度起源于瑞典天文学家安德斯·摄尔修斯的发明，而华氏温度则是由德国物理学家丹尼尔·加布里埃尔·华伦海特提出。这两种温度计量单位在不同国家和地区被广泛使用。华氏温度和摄氏温度的换算公式为：华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32。如果今天的气温是86℉，那么相当于( )℃。 7．解方程。 60%x＋25＝85       x－75%x＝150        8．看图列方程，不解答。 9．根据下面线段图中的信息，请计算：巧克力有多少箱？ 提升题 10．阿姨花160元买了一些水瓶和茶杯。每个水瓶25元，每个茶杯6元，买的茶杯比水瓶多6个。阿姨一共买了（    ）个茶杯。 A．8 B．10 C．12 D．14 11．体育商店一个足球80元，一个篮球60元。学校要买足球和篮球共30个，足球的总价比篮球贵440元，学校买篮球（    ）个。 A．8 B．14 C．16 D．22 12．下面的式子中，（    ）是方程。 A．3.2＋1.8＝5 B．x－6 C． D．2a＋3b 13．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送时是：明文→密文（加密过程），接收时是：密文→明文（解密过程）。已知加密规则为：明文m、n对应的密文为3m、2n－1，如果接收到的密文为12、9，那么解密得到的明文应为（    ）。 A．4、5 B．36、17 C．4、4 D．36、4 14．小红今年a岁，她爸爸的年龄比她的4倍少6岁，爸爸今年42岁。下面错误的方程是（    ）。 A．4a－6＝42 B．4a－42＝6 C．4a＝42－6 D．4a＝42＋6 拓展题 15．无锡举办青少年非遗文化传承活动，参加锡剧表演学习的学生有25人，比参加惠山泥人制作学习人数的3倍少8人，参加惠山泥人制作学习的学生有多少人？（列方程解答） 16．甲、乙、丙三辆汽车同时从A地出发去B地。甲、乙两车的速度分别为每小时66千米和每小时50千米。有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的4小时、5小时、8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。 17．学校买来6张办公桌和12把椅子，一共用了3600元。已知每把椅子的价钱比每张桌子便宜240元，每把椅子和每张办公桌各是多少元？ 18．一根长420厘米的铁丝围成一个长方形，长是宽的5倍。这个长方形的长是多少厘米？（列方程解答） 19．妈妈买来3盆玫瑰和2盆月季，一共用去79.2元，一盆月季的价格是一盆玫瑰的3倍。每盆玫瑰和每盆月季各多少元？ 20．客车和货车同时从相距560千米的甲、乙两地相向开出，4小时后两车还未相遇，且相距60千米。客车每小时行70千米，货车每小时行多少千米？ 参考答案 1． 15 13 分析：设每块小展板可以贴x件作品，则每块大展板可以贴（x＋2）件作品，4块小展板可以贴4x件作品，5块大展板可以贴5×（x＋2）件作品，根据等量关系：“5块大展板可以贴的作品件数＋4块小展板可以贴的作品件数＝127件”列方程解答求出小展板可以贴的作品件数，用小展板可以贴的作品件数再加上2就是大展板可以贴的作品件数。 详解：解：设每块小展板可以贴x件作品，则每块大展板可以贴（x＋2）件作品。 4x＋5×（x＋2）＝127 4x＋5x＋10＝127 9x＋10＝127 9x＋10－10＝127－10 9x＝117 9x÷9＝117÷9 x＝13 13＋2＝15（件） 每块大展板可以贴15件作品，每块小展板可以贴13件作品。 2． 1.4 8.4 分析：分析题目，设一支铅笔是x元，则一支钢笔是6x元，根据等量关系：铅笔的数量×铅笔的单价＋钢笔的数量×钢笔的单价＝12.6列出方程3x＋6x＝12.6，进一步解方程即可得到一支铅笔多少元，再用一支铅笔的价钱乘6即可得到一支钢笔的价钱。 详解：解：设一支铅笔是x元，则一支钢笔是6x元。 3x＋6x＝12.6 9x＝12.6 9x÷9＝12.6÷9 x＝1.4 1.4×6＝8.4（元） 一支钢笔的价格是一支铅笔的6倍，那么一支铅笔1.4元，一支钢笔8.4元。 3． 80 3840 分析：根据题目，下山速度比上山速度多20米/分钟，路程相同，因为是原路返回，所以上山路程＝下山路程。设小明上山速度为米/分钟，因为下山比上山每分钟多走20米，所以下山速度为米/分钟。 从山脚到山顶和从山顶返回山脚的路程是相等的，根据路程＝速度×时间，可列方程：，求出上山的速度，进而求出上山走的路程，再乘2即等于爬山的路程，据此即可解答。 详解：解：设小明上山速度为米/分钟，则下山速度为米/分钟。   （米） （米） 因此，小明下山每分钟走80米，爬山走了3840米。 4． 11 分析：根据题意，设这个数为x，按照运算顺序列出方程，解方程即可。 详解：解：设这个数为。 则这个数是11。 5． ①②⑤ ①⑤ 分析：含有等号的式子叫作等式；含有未知数的等式叫作方程，由方程的意义可知，方程必须同时满足以下两个条件：（1）是等式；（2）含有未知数；两个条件缺一不可，据此判断。 详解：分析可知，等式有①，②，⑤，方程有①，⑤。 6．30 分析：设摄氏温度是x℃，根据华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32，列出方程求出x的值即可。 详解：解：设摄氏温度是x℃。 1.8x＋32＝86 1.8x＋32－32＝86－32 1.8x＝54 1.8x÷1.8＝54÷1.8 x＝30 如果今天的气温是86℉，那么相当于30℃。 7．x＝100；x＝600； 分析：60%x＋25＝85，方程两边同时减25后，再同时除以0.6，方程得解； x－75%x＝150，合并未知数，得25%x＝150，两边同时除以0.25，方程得解； ，将除法改写成乘法后得，两边同时除以，方程得解。 详解：606x＋25＝85 解：606x＋25－25＝85－25 0.6x＝60 0.6x÷0.6＝60÷0.6 x＝100 x－75%x＝150 解：0.25x＝150 0.25x÷0.25＝150÷0.25 x＝600 解： 8．＋3＋35＝407 分析：从图中可知，白兔有只，灰兔的只数比白兔的3倍还多35只，白兔和灰兔一共有407只，求白兔、灰兔各有多少只？ 根据“白兔有只，灰兔的只数比白兔的3倍还多35只”可得，灰兔的只数是（3＋35）只；等量关系：白兔的只数＋灰兔的只数＝白兔和灰兔的总只数，据此列出方程。 详解：＋3＋35＝407 解：4＋35＝407 4＋35－35＝407－35 4＝372 4÷4＝372÷4 ＝93 灰兔：407－93＝314（只） 9．102箱 分析：设饼干有x箱，巧克力比饼干多30箱，则巧克力有（x＋30）箱，蛋糕比巧克力多20箱，则蛋糕有（x＋30＋20）箱，一共有296箱，列方程：x＋（x＋30）＋（x＋30＋20）＝296，解方程，求出饼干的箱数，进而求出巧克力的箱数；即可解答。 详解：解：设饼干有x箱，则巧克力有（x＋30）箱；蛋糕有（x＋30＋20）箱。 x＋（x＋30）＋（x＋30＋20）＝296 x＋x＋30＋x＋30＋20＝296 2x＋30＋x＋30＋20＝296 3x＋60＋20＝296 3x＋80＝296 3x＝296－80 3x＝216 x＝216÷3 x＝72 巧克力：72＋30＝102（箱） 10．B 分析：设阿姨一共买了x个茶杯，则买了（x－6）个水瓶，根据茶杯个数×单价＋水瓶个数×单价＝总钱数，列出方程求出x的值即可。 详解：解：设阿姨一共买了x个茶杯。 6x＋25×（x－6）＝160 6x＋25x－150＝160 31x－150＝160 31x－150＋150＝160＋150 31x＝310 31x÷31＝310÷31 x＝10 阿姨一共买了10个茶杯。 故答案为：B 11．B 分析：分析题目，设学校买篮球x个，则买足球（30－x）个，根据等量关系：买的足球的个数×足球的单价－买的篮球的个数×篮球的单价＝440列出方程80×（30－x）－60x＝440，进一步解出方程即可。 详解：解：设学校买篮球x个，则买足球（30－x）个。 80×（30－x）－60x＝440 2400－80x－60x＝440 2400－440＝80x＋60x 140x＝1960 140x÷140＝1960÷140 x＝14 体育商店一个足球80元，一个篮球60元。学校要买足球和篮球共30个，足球的总价比篮球贵440元，学校买篮球14个。 故答案为：B 12．C 分析：方程是指含有未知数的等式。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。据此解答即可。 详解：A．3.2＋1.8＝5，是等式，但不含未知数，所以不是方程； B．x－6，含有未知数，但不是等式，所以不是方程； C．x＝1，含有未知数，且是等式，所以是方程； D．2a＋3b，含有未知数，但不是等式，所以不是方程。 故答案为：C 13．A 分析：如果接收到的密文为12、9，据此可知3m＝12，2n－1＝9，据此分别求出m和n即可得解。 详解：3m＝12 解：3m÷3＝12÷3 m＝4 2n－1＝9 解：2n－1＋1＝9＋1 2n＝10 2n÷2＝10÷2 n＝5 如果接收到的密文为12、9，那么解密得到的明文应为4、5。 故答案为：A 14．C 分析：分析数量关系：已知小红今年a岁，爸爸的年龄比小红的4倍少6岁，那么爸爸的年龄可以表示为4a－6岁。又已知爸爸今年42岁，所以可以得到等式4a－6＝42。 详解：A．4a－6＝42，该方程直接体现了爸爸年龄的表达式4a－6和实际年龄42岁的等量关系，所以正确； B．4a－42＝6，由等式4a－6＝42两边同时减去42再加上6，可得4a－42＝6，它与原数量关系是等价的，所以该方程正确； C．4a＝42－6，由等式4a－6＝42两边同时加上6，得4a＝42＋6，它与原数量关系不等价，所以该方程错误； D．4a＝42＋6，由等式4a－6＝42两边同时加上6，可得4a＝42＋6，它与原数量关系是等价的，所以该方程正确。 故答案为：C 15．11人 分析：参加锡剧表演学习的学生有25人，比参加惠山泥人制作学习人数的3倍少8人，即：参加惠山泥人制作学习的学生人数×3－8＝参加锡剧表演学习的学生人数，设参加惠山泥人制作学习的学生人数为x人，根据等量关系可列出方程3x－8＝25，解方程，即可求出参加惠山泥人制作学习的学生有多少人。 详解：解：设参加惠山泥人制作学习的学生有x人。 3x－8＝25 3x＝25＋8 3x＝33 x＝33÷3 x＝11 答：参加惠山泥人制作学习的学生有11人。 16．26千米/小时 分析：假设卡车的速度是x千米/小时，由题意知卡车在4小时时与甲车相遇，此时卡车行驶的路程和甲车行驶的路程等于卡车一开始距离A地的距离；卡车在5小时时与乙车相遇，此时卡车行驶的路程和乙车行驶的路程等于卡车一开始距离A地的距离；根据这个等量关系列方程求出卡车的速度以及卡车一开始距离A地的距离，再根据：卡车在8小时时与丙车相遇，此时卡车行驶的路程和丙车行驶的路程等于卡车一开始距离A地的距离，计算出丙车的速度即可。 详解：解：设卡车速度x千米/小时。 卡车一开始距离A地： ＝80×4 ＝320（千米） 丙车的速度： ＝40－14 ＝26（千米/时） 答：丙车的速度是26千米每小时。 点睛：相向而行同时出发，相遇时，则两车的速度和×时间＝两车一开始相距的距离。 17．椅子：120元，桌子：360元 分析：由题意知：每把椅子的价钱比每张桌子便宜240元，设每把椅子x元，则每张桌子元。再根据单价×数量＝总价，分别表示出6张办公桌和12把椅子的总价，再根据办公桌的总价＋椅子的总价＝3600元，列出方程并求解即可。 详解：解：设每把椅子x元，每张桌子元。 ＝120＋240＝360 答：每把椅子120元，每张桌子360元。 18．175厘米 分析：根据题意，可以设宽为x厘米，长是宽的5倍，则长可以表示为5x厘米，由长方形周长＝（长＋宽）×2，可列方程：长＋宽＝周长÷2据此分别求出该长方形的长和宽。 详解：解：设宽为x厘米，则长为5x厘米。 （x＋5x）×2＝420 （x＋5x）×2÷2＝420÷2 6x＝210 6x÷6＝210÷6 x＝35 35×5＝175（厘米） 答：这个长方形的长是175厘米。 19．玫瑰8.8元；月季26.4元 分析：设每盆玫瑰x元，则每盆月季3x元，根据玫瑰单价×数量＋月季单价×数量＝总钱数，列出方程求出x的值是每盆玫瑰的钱数，每盆玫瑰的钱数×3＝每盆月季的钱数。 详解：解：设每盆玫瑰x元。 3x＋2×3x＝79.2 3x＋6x＝79.2 9x＝79.2 9x÷9＝79.2÷9 x＝8.8 8.8×3＝26.4（元） 答：每盆玫瑰和每盆月季各8.8元、26.4元。 20．55千米 分析：设货车每小时行x千米；根据路程＝速度×时间，客车每小时行70千米，4小时行驶70×4千米；货车每小时行驶x千米，4小时行驶4x千米，客车行驶的路程＋货车行驶的路程＋60千米＝甲、乙两地的距离，列方程：70×4＋4x＋60＝560，解方程，即可解答。 详解：解：设货车每小时行驶x千米。 70×4＋4x＋60＝560 280＋4x＋60＝560 4x＋340＝560 4x＋340－340＝560－340 4x＝220 4x÷4＝220÷4 x＝55 答：货车每小时行驶55千米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $