6.4.3.3 余弦定理、正弦定理的应用举例导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修二导学案 三角函数 第六章 平面向量 §6.4.3 余弦定理、正弦定理 §6.4.3.3 余弦定理、正弦定理的应用举例【导学】 【导学目标】 1.进一步熟悉余弦定理、正弦定理； 2.了解常用的测量相关术语； 3.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。 【导学重点】能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。 【导学难点】解决有关距离、高度、角度的实际问题。 【知识要点】 实际测量中的有关名称、术语 名 称 定 义 图 示 仰 角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯 角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60° 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 【典型例题】 题型一 概念辩析 【例1-1】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．(　　) (2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得．(　　) (3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向．(　　) 【例1-2】从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　) A．α＞β　　　　　　　　　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 【例1-3】若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　) A．东偏北45°10′方向上　　 B．东偏北45°50′方向上 C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南45°50′方向上 题型二 不能到达两点间的距离问题 【例2-1】（衔接教材P49L9）如图， A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离。 【例2-2】 如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB＝6 m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°，试求C，D之间的距离． 【例2-3】 一游客在A处望见在正北方向有一塔B，在北偏西45°方向的C处有一寺庙，此游客骑车向西行1km后到达D处，这时塔和寺庙分别在北偏东30°和北偏西15°，则塔B与寺庙B的距离为______. 【例2-4】如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得灯塔底部C在北偏东150方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测得灯塔底部C在北偏东600方向上，测得塔顶P的仰角为600 ，已知灯塔高为．则巡逻船的航行速度为______． 题型三 测量高度问题 【例3-1】（衔接教材P50L10）如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。 【例3-2】如图，要在山坡上A，B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A，B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为40 m，斜坡与水平面成30°角，求铁塔CD的高为多少m？ 【例3-3】如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚处测得山顶处的仰角为，又利用无人机在离地面高的处（即），观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，求山高BC． 【例3-4】山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为米，塔顶在地面上的射影为，在地面上再确定一点（，，三点共线），测得约为57米，在点处测得塔顶的仰角分别为30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为__________米． 题型四 测量角度问题 【例4-1】位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船南偏西30° ，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船，那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到 1°）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？ 【例4-2】地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为40 m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，达到点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离． 【例4-3】当太阳光线与水平面的倾斜角为时，一根长为的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角________． 【例4-4】游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于________． ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修二导学案 三角函数 第六章 平面向量 §6.4.3 余弦定理、正弦定理 §6.4.3.3 余弦定理、正弦定理的应用举例【导学】【解析】 【导学目标】 1.进一步熟悉余弦定理、正弦定理； 2.了解常用的测量相关术语； 3.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。 【导学重点】能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。 【导学难点】解决有关距离、高度、角度的实际问题。 【知识要点】 实际测量中的有关名称、术语 名 称 定 义 图 示 仰 角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯 角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60° 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 【典型例题】 题型一 概念辩析 【例1-1】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．(　　) (2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得．(　　) (3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向．(　　) 【答案】（1）×：（2）×：（3）×. 【例1-2】从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　) A．α＞β　　　　　　　　　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 【答案】B 【例1-3】若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　) A．东偏北45°10′方向上　　 B．东偏北45°50′方向上 C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南45°50′方向上 【答案】C 题型二 不能到达两点间的距离问题 【例2-1】（衔接教材P49L9）如图， A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离。 【答案】略 【例2-2】 如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB＝6 m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°，试求C，D之间的距离． 【答案】C，D之间的距离． 【例2-3】 一游客在A处望见在正北方向有一塔B，在北偏西45°方向的C处有一寺庙，此游客骑车向西行1km后到达D处，这时塔和寺庙分别在北偏东30°和北偏西15°，则塔B与寺庙B的距离为______. 【答案】 【例2-4】如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得灯塔底部C在北偏东150方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测得灯塔底部C在北偏东600方向上，测得塔顶P的仰角为600 ，已知灯塔高为．则巡逻船的航行速度为______． 【答案】 题型三 测量高度问题 【例3-1】（衔接教材P50L10）如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。 【答案】 【例3-2】如图，要在山坡上A，B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A，B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为40 m，斜坡与水平面成30°角，求铁塔CD的高为多少m？ 【答案】铁塔CD的高为？ 【例3-3】如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚处测得山顶处的仰角为，又利用无人机在离地面高的处（即），观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，求山高BC． 【答案】山高BC为450m. 【例3-4】山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为米，塔顶在地面上的射影为，在地面上再确定一点（，，三点共线），测得约为57米，在点处测得塔顶的仰角分别为30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为__________米． 【答案】 题型四 测量角度问题 【例4-1】位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船南偏西30° ，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船，那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到 1°）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？ 【答案】乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线的方向约是北偏东76°，需要航行的距离是24海里. 【例4-2】地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为40 m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，达到点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离． 【答案】此时目标参照物P在他北偏东600方向上，且目标参照物P与他的距离为40米． 【例4-3】当太阳光线与水平面的倾斜角为时，一根长为的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角________． 【答案】300. 【例4-4】游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于________． 【答案】 ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $