第十七章单元测试卷2025-2026学年沪科版八年级数学下册核心考点精讲与全攻略（安徽专用）

第十七章单元测试 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含未知数的项的次数为，系数不为的整式方程，即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、最高次数是，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2．已知方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出是解此题的关键．根据一元二次方程的定义得出，再求出即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， ． 故选：B 3．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：C． 4．如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方数是非负数，进行求解即可解答． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握完全平方数是非负数，是解题的关键． 5．一元二次方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根；据此进行求解即可． 【详解】解：由题意得 ， 方程有两个不相等的实数根； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的意义是解题的关键． 6．为有效落实“双减”政策，某校积极探索新课程计划，经过两次调整后，学生课外时间增加了．设每次调整后学生课外时间的平均增长率为x，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均增长率为x，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设平均增长率为x， 根据题意得：， 故选：B． 7．已知是实数，且满足，，则的值是（    ） A．0或 B．5或15 C．或5 D．0或15 【答案】D 【分析】先把变形得，则把替换成用a表示的式子，解一元二次方程即可． 【详解】解：变形得：①， 变形得：②， 把②代入①得：③， 解方程③得：或5， 则或10， 则的值为15或0． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 8．用配方法解方程x2＋4x﹣1＝0时，配方结果正确的是（    ） A．（x＋4）2＝5 B．（x＋2）2＝5 C．（x＋4）2＝3 D．（x＋2）2＝3 【答案】B 【分析】把常数项-1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方求解即可． 【详解】解：把方程x2+4x-1=0的常数项移到等号的右边，得到x2+4x=1 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4=1+4 配方得（x+2）2=5． 故选：B． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 9．关于方程的根的说法正确的是（    ） A．两实数根的和为4 B．两实数根的积为5 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况等知识，根据题意判断出一元二次方程根的情况即可得到答案，熟练掌握一元二次方程判别式与根的情况是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 一元二次方程没有实数根，则ABC选项说法错误，不符合题意； 故选：D． 10．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度共生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据七月份的表示出八月和九月的产量即可列出方程． 【详解】解：七月份生产零件50万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为， 八月份的产量为万个，九月份的产量为万个， ， 故选：D． 二、填空题 11．若关于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的一个解为x1＝1，则另一个解x2＝___． 【答案】5 【分析】由方程的一个根为x1＝1，结合两根之和等于﹣，即可求出另一个解x2＝5． 【详解】解：a＝1，b＝﹣6． ∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的一个解为x1＝1， ∴另一个解x2＝﹣﹣x1＝﹣﹣1＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键． 12．设，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系求出与的值，然后把整理成含与的式子，最后整体代入求值即可． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 13．已知，且，，则__________． 【答案】109 【分析】根据已知条件得出是方程的解，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，，最后根据进行计算即可得到答案． 【详解】解：，且，， 是方程的解， ，， ， 故答案为：109． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，通过对完全平方公式的变形进行求值，一元二次方程的两个根为、，则，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 14．已知x1，x2为方程x2＋4x＋2＝0的两实根，则x13＋14x2＋55＝______． 【答案】7 【分析】把式子中的三次方先整理成两个因式的乘积的性质，把根的平方用方程中变化的项来代替，合并整理出含有两个根的和的形式，根据根与系数的关系得到结果． 【详解】解：∵x1，x2为方程x2+4x+2＝0的两实根， ∴x12+4x1+2＝0，x1+x2＝﹣4，x1•x2＝2， ∴x12＝﹣4x1﹣2， 而x13＝x12•x1， ∴x13+14x2+55 ＝x12•x1+14x2+55 ＝（﹣4x1﹣2）•x1+14x2+55 ＝﹣4x12﹣2x1+14x2+55 ＝﹣4（﹣4x1﹣2）﹣2x1+14x2+55 ＝14（x1+x2）+8+55 ＝14×（﹣4）+63 ＝7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，能够把所有的式子进行灵活变形是解题的关键． 三、解答题 15．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． 16．解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用公式法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 【详解】解：， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 17．如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务． (1)图案4中，空心圆有______个；图案中实心圆有______个时，空心圆有______个； (2)此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由． 【答案】(1)20；， (2)存在，第6个图案中实心圆比空心圆多8个，见解析 【分析】（1）分别计算各图案中空心圆和实心圆的数量，得到规律：图案中实心圆有个，空心圆有个，再求图案4中空心圆的个数即可； （2）根据题意列方程解答． 【详解】（1）解：图案1空心圆有个，实心圆有1个， 图案2空心圆有个，实心圆有个， 图案3空心圆有个，实心圆有个， ∴图案中实心圆有个，空心圆有个， ∴图案4中，空心圆有个， 故答案为：20；， （2）存在，理由如下： 根据题意，得：， 整理，得， 解得（舍去）或， 故第6个图案中实心圆比空心圆多8个． 【点睛】此题考查了图形类规律探究，一元二次方程的应用，正确理解图形的变化规律得到计算规律，以及掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 18．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 19．某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱元，若按每箱元出售，则每天可销售箱．现准备提价销售，经市场调研后发现：每箱每提价元，每天的销量就会减少箱．设该水果售价为每箱元． (1)用含的代数式表示提价后平均每天的销售量为______箱；（化为最简形式） (2)既要考虑经销商的利润，保证经销商每天可获得元利润，又要让利于消费者，则这批水果应按每箱多少元销售？ 【答案】(1) (2)应按每箱元销售 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，找出等量关系列一元二次方程是解题的关键； （1）利用平均每天的销售量提高的价格，即可用含的代数式表示出提价后平均每天的销售量； （2）根据每天的销售利润每箱的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，即可确定的值． 【详解】（1）解：由题意得：（箱）， 故答案为：； （2）解：依题意得，， 解得，， ∵要让利于消费者， ∴． 答：若超市销售该水果每天想要获得元的利润，则应按每箱元销售． 20．某地特产专卖店销售一种成本为元的特产，该特产每周的销售量（件）随着售价（元）的变化而变化，并且售价每降低元，该特产每周可多售出件．已知该特产的售价为元时每周可售出件，则售价降低多少元时可获得元的周利润？ 【答案】售价降低元时可获得元的周利润 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设售价为元，利用利润公式得到，解方程得到满足条件的的值，然后计算即可．根据“销售总利润=单件利润销售量”的模型列方程是解题的关键． 【详解】解：设售价为元，售价降低元，该特产每周可多售出件． 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴售价降价为：（元）． 答：售价降低元时可获得元的周利润． 21．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0． （1）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为2，求m的值及另一个根． 【答案】（1）见解析；（2）x＝﹣1 【分析】（1）求判别式即可证明； （2）将x＝2代入一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0，即可求m，由此确定一元二次方程为x2﹣x﹣2＝0，再求方程的解即可． 【详解】解：（1）， ∴无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）∵方程的一个根为2， 将x＝2代入一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0， 得4﹣2m﹣2＝0， 解得m＝1， ∴一元二次方程为x2﹣x﹣2＝0， 解得x＝﹣1或x＝2， ∴方程的另一个解是x＝﹣1． 【点睛】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，掌握判别式的值与方程的解法是解答此题的关键． 22．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】（1）见解析；（2）或 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，结合偶次方的非负性可得出，进而可证出：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）证明：． ， ，即， 无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：，是方程的两个实数根， ，． ， ，即， ， 解得：，， 的值为0或． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的方程． 23．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”___________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根___________，___________；根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为___________，证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根． 【答案】(1) (2)，，原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数，证明见详解 (3)， 【分析】本题考查了新定义下一元二次方程根与系数的关系及求根公式的运用． （1）根据“友好方程”的定义写出对应的友好方程即可； （2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“友好方程”的根得出规律，再用求根公式去验证即可； （3）先根据“友好方程”的根的特点得出，即的两根为，，将待求方程变形为，把看作整体即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，一元二次方程的“友好方程”为， 故答案为：． （2）解：一元二次方程的“友好方程”为， 解得，， 根据以上结论，的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数， 证明如下：∵一元二次方程的两根为，， “友好方程”的两根为，， ∴， ， ∴，， 即原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数． 故答案为：，，原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数． （3）解：∵方程的两根是， ∴该方程的“友好方程”，即的两根为，， 则，即中或， ∴该方程的解为，． 学科网（北京）股份有限公司 $第十七章单元测试 一、单选题 1.下列方程是一元二次方程的是() A.x2-2x=0B.x2-3y=0 C.x+1=0 D.x3+2x+3=0 2.己知方程(m-2)x2+3x-1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是() A.m=2 B.m≠2 C.m=0 D.m≠0 3.若关于x的一元二次方程x2+√āx+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值是() A B. C.4 D.-4 4.如果关于x的方程(x-4)2=m+2可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是() A.m>2 B.m≥2 C.m>-2 D.m≥-2 5.一元二次方程3x2+x-5=0的根的情况是() A.无实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 6.为有效落实“双减”政策，某校积极探索新课程计划，经过两次调整后，学生课外时间增 加了60%·设每次调整后学生课外时间的平均增长率为x,则符合题意的方程是() A.1+x=(1+60%)2 B.(1+x)2=1+60% C.1+2x=1+60% D.(1+2x)=1+60% 7.已知a、b、c是实数，且满足a+b+c=15,ab+ac=50,则(a-c)-(b-a)的值是() A.0或-15 B.5或15 C.-5或5 D.0或15 8.用配方法解方程x2十4x~1=0时，配方结果正确的是（) A.(x+4)2=5B.(x十2)2=5 C.(x+4)2=3 D.(x+2)2=3 9.关于方程x2-4x+5=0的根的说法正确的是() A.两实数根的和为4 B.两实数根的积为5 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 10.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度共生产零件196万个，如果每月的增长率 x相同，则下列方程正确的是() A.501+x2)=196 B.50(1+x)2=196 C.50+50(1+x)+50(1+2x)=196 D.50+501+x)+501+x)=196 二、填空题 11.若关于x的一元二次方程2-6x+n=0的一个解为x=1,则另一个解x2= 12.设x,为2是方程x2-2x-3=0的两个实数根，则(x-1x2-1的值为一 13.已知m≠n,且m2+3m-50=0,n2+3n-50=0,则m2+n2= 14.已知x1,x龙2为方程x2+4x+2=0的两实根，则x3+14x2+55= 三、解答题 15.解方程：x2-6x=-8, 16.解方程：（x-1(x-3=5. 17.如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的 规律，完成下列任务. 0 0 000 0 00000 00 O 图案1 图案2 图案3 (1)图案4中，空心圆有 个；图案中实心圆有 个时，空心圆有个； (2此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由. 18.疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称.开学以来，我校很多老师在繁重的课 务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”.据多日检测结果调查发现一个熟 能生巧的现象，当每位大白检测人数是20人时，每位同学人均检测时间是30秒，而检测人 数每提高10人，人均就少耗时1秒（若每位大白的检测人数不超过150人，设人均少耗时x秒）. (1)补全下列表格： 检测人数（人） 20 30 60 人均检测时间（秒） 30 28 30-x (2)某位大白一节课(40min)刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 检测人数（人） 20 30 40 60 20+10x 人均检测时间（秒 30 29 28 26 30-x 19.某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱50元，若按每箱60元出售，则每天可 销售80箱.现准备提价销售，经市场调研后发现：每箱每提价1元，每天的销量就会减少2 箱.设该水果售价为每箱xx>60)元. (1)用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为箱；（化为最简形式） (2)既要考虑经销商的利润，保证经销商每天可获得1200元利润，又要让利于消费者，则这 批水果应按每箱多少元销售？ 20.某地特产专卖店销售一种成本为20元的特产，该特产每周的销售量y(件)随着售价 x(元)的变化而变化，并且售价每降低5元，该特产每周可多售出30件，已知该特产的售 价为70元时每周可售出200件，则售价降低多少元时可获得9600元的周利润？ 21.已知关于x的一元二次方程x2-m-2=0, （1)求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为2，求m的值及另一个根 22.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2-2=0. (1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程的两个实数根x,x2满足（化-x)》2=9,求k的值， 23.定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与cx2+bx+a=0(ac≠0，a≠c称为 一对“友好方程”.如2x2-7x+3=0的“友好方程”是3x2-7x+2=0. (1)写出一元二次方程x2+2x-8=0的“友好方程”： (2)已知一元二次方程x2+2x-8=0的两根为x=2,x2=-4,它的“友好方程”的两根x= ，x4= ;根据以上结论，猜想ax2+br+c=0的两根x,x,与其“友好 方程”cx2+bx+a=0的两根x,x4之间存在的一种特殊关系为】 证明你的结论； (3)已知关于x的方程2020x2+bx-1=0的两根是x=-1,x2= 1 请利用(2)中的结论， 2020 写出关于x的方程(x-1)-bx+b=2020的两根.