专题06二元一次方程组及其应用突破复习讲义 2026年中考一轮复习(全国通用)

专题06二元一次方程(组)及其应用突破复习讲义 【模块一 二元一次方程(组)的相关概念】.............................4 【题型01 二元一次方程的定义】.....................................4 【题型02 二元一次方程的解】.......................................6 【题型03 二元一次方程组的定义】...................................8 【模块二 解二元一次方程组】......................................10 【题型04 代入+加减消元法】.......................................10 【题型05 二元一次方程组的特殊解法 】.............................13 【题型06 解二元一次方程组的应用】................................15 【模块三 高频必考应用(每年都考)】................................18 【题型07 二元一次方程组应用:和差倍分问题】.......................18 【题型08 二元一次方程组应用:行程问题】...........................20 【题型09 二元一次方程组应用:工程问题】...........................22 【题型10 二元一次方程组应用:销售盈亏问题】.......................24 【模块四 常考稳定应用题(经常考.题型固定】........................26 【题型11 二元一次方程组应用:分配问题】...........................26 【题型12 二元一次方程组应用:几何问题】...........................28 【模块五 中频应用题】............................................31 【题型13 二元一次方程组应用:方案选择问题】........................31 【题型14 二元一次方程组应用:年龄问题】............................35 【题型15 二元一次方程组应用:数字问题】............................37 【题型16 二元一次方程组应用:古代问题】............................40 【模块六 三元一次方程组】.........................................42 【题型17 三元一次方程组的定义及解】...............................42 【题型18 三元一次方程组的应用】...................................44 · 分值比重：二元一次方程 (组) 及其应用在中考数学中为高频核心考点，分值占6~10 分，题型覆盖选择、填空、解答（基础 + 中档），属基础得分与中档稳定得分板块。 · 考查重点：二元一次方程（组）的定义、解的概念、代入消元法、加减消元法、解二元一次方程组、二元一次方程组的实际应用；基础运算与实际应用并重，强调建模与规范书写。 · 命题难度：基础为主、中档为辅，题型稳定偏易，侧重基本变形、消元思想、运算能力与基本方法应用，难度偏低、稳定性强。 · 命题趋势：基础题型固定，以方程解法、化简求值、简单实际应用为主，贴近生活情境与学科素材，注重规则运用与步骤书写，强化数学建模与综合能力，每年题型稳定、考查连贯。 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念 二元一次方程：含 2 个未知数，未知数次数都是 1 的整式方程。 二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起。 方程组的解：同时满足两个方程的一组未知数的值。 知识点02:二元一次方程组解法（必考） 代入消元法：用一个未知数表示另一个，代入另一个方程。 加减消元法：通过加减消去一个未知数，化为一元一次方程。 原则：消元 → 解一元一次方程 → 回代 → 得解 知识点03:二元一次方程组的实际应用 1. 核心解题步骤（通用，必记） (1)审：审题，明确题目中的已知量、未知量，找出题目中的等量关系（关键，至少两个等量关系）； (2)设：设未知数，通常设两个未知数（直接设元，若直接设元复杂，可间接设元）； (3)列：根据等量关系，列出二元一次方程组； (4)解：解方程组，求出未知数的值； (5)验：检验所求的值是否符合题意（如人数、数量不能为负数、分数，需结合实际场景判断）； (6)答：写出答案，规范表述（中考解答题，步骤不完整会扣分）。 2.中考高频应用题型（分类梳理，适配考点） （1）和差倍比问题 核心等量关系：① 大数 = 小数 × 倍数 ± 差；② 两数和（差）= 已知量。 （2）行程问题 核心等量关系： 1 路程 = 速度 × 时间 2 相遇问题：两者路程和 = 总路程； 3 追及问题：两者路程差 = 初始距离。 注意：区分相向而行（相遇）、同向而行（追及）、相向而行（相遇），避免等量关系混淆。 （3）工程问题 核心等量关系： 1 工作总量 = 工作效率 × 工作时间； 2 多人合作：总效率 = 各人工效之和； 3 通常将工作总量看作单位“1”。 （4）利润与折扣问题 核心等量关系： 1 利润 = 售价 - 进价； 2 利润率 = ； 3 售价 = 标价 × 折扣（折扣为小数，如8折=0.8）。 （5）浓度问题（低频，需掌握基础） 核心等量关系： 1 溶质质量 = 溶液质量 × 浓度； 2 混合前后，溶质总质量不变。 （6）配套问题 核心等量关系：根据产品配套比例，确定两种部件的数量关系（如1个桌面配4条桌腿，则桌面数量×4 = 桌腿数量）。 （7）年龄问题 核心要点：① 两人年龄差始终不变（解题关键）；② 过n年/前n年，两人年龄同时加/减n岁。 3. 应用易错点 (1)审题不清，找错等量关系（如混淆“多”“少”“倍”的含义，行程问题中混淆相遇与追及）； (2)设未知数时，未写单位，或单位不统一（如速度单位km/h与时间单位min未统一）； (3)检验环节缺失，所求值不符合实际意义（如人数为负数、物品数量为分数）； (4)解答步骤不完整，未写“答”，或“答”的表述不规范。 【模块一 二元一次方程(组)的相关概念】 【题型1.二元一次方程组的定义】 【典例】“方程”二字最早见于我国（九章算术）这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是___________． 【答案】 【分析】本题考查根据图意列二元一次方程，认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案．解题的关键是读懂图的意思． 【详解】 解：由题意得，则表示的方程是， 故答案为：． 【跟踪专练1】化学方程式依据化学反应过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左右两边同一元素原子的个数要相同．如就表示两份与一份点燃生成两份的（水），已知，由此列出关于的二元一次方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，结合题干的化学式，观察得出原子的个数在方程左右两边不需要用表示，唯有的原子个数是用表示，且同一元素原子个数在方程左右两边是相等的，故列方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， 故选：D 【跟踪专练2】若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是_____（写出一个即可）． 【答案】x﹣y（答案不唯一） 【分析】根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用x，y代换即可. 【详解】∵关于x，y的二元一次方程组的解为， 而1﹣1＝0， ∴多项式A可以是答案不唯一，如x﹣y． 故答案为：x﹣y（答案不唯一）. 【点睛】此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与每个方程的关系是解题的关键. 【跟踪专练3】为了丰富学生的课余生活，某校开展了丰富多彩的体育活动．某班家长委员会为学生购买跳绳30元/根和45元/根的两种跳绳，购买跳绳共花费450元钱，两种跳绳都买的话，共有（　　）种购买方案． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】设购买30元/根的跳绳x根，45元/根的跳绳y根，根据共花费450元钱列二元一次方程解答即可． 【详解】解：设购买30元/根的跳绳x根，45元/根的跳绳y根，依题意有： ，即， ∵x，y均为正整数， ∴或或或， 共有4种购买方案． 故选：C． 【点睛】此题考查了二元一次方程的应用， 二元一次方程的解，正确理解题意是解题的关键． 【题型2.二元一次方程的解】 【典例】把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为__________________（写出一种情况即可）． 【答案】（或或，写出一种即可 ） 【分析】设截成长的钢管根，长的钢管根，根据钢管总长为列出方程，再结合、为正整数求解，进而得到总根数．本题主要考查了二元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题列方程并求正整数解是解题的关键． 【详解】解：设截成长的钢管根，长的钢管根． ∵ 钢管总长， ∴ ，即 ． 又∵ 、为正整数， 当时，，总根数为； 当时，，总根数为； 当时，，总根数为 ． 故答案为：（或或，写出一种即可 ）． 【跟踪专练1】如果是方程的解，是正整数，则的最大值是（      ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题关键把方程的解代入原方程，得到关于和的二元一次方程，再求解． 把方程的解代入，则可得到一个关于和的二元一次方程，解答即可． 【详解】解：是方程的解， ， ∴ ，是正整数， 或或， 的最大值是． 故选：C． 【跟踪专练2】某人只带2元和5元两种货币若干张，他要买一件43元的商品，而商店不给找钱，要他恰好付43元，他的付款方式共有_______种． 【答案】4 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程解决实际问题，解题的关键是利用特殊值分类进行讨论． 假设2元的有张，5元的有张，根据花费钱数，列出二元一次方程，然后利用特殊值进行讨论即可． 【详解】解：假设2元的有张，5元的有张，根据题意得， ， 整理得， 根据题意得，都是正整数， ∴是2的正整数倍， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴付款方式共有4种， 故答案为：4． 【跟踪专练3】方程组的解为，则被■盖住的数分别是（   ） A．1， B．3，1 C．2，3 D． ，4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是理解二元一次方程组的解的意义，代入法求解． 把代入先求出y，再代入求出■即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴代入, 得， 解得， 把代入， 得， ∴被■盖住的数分别是1，． 故选：A． 【题型3.二元一次方程组的定义】 【典例】观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是______（写出所有正确的序号）． 【答案】①②④ 【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：① ，符合二元一次方程组定义； ② ，符合二元一次方程组定义； ③ ，未知数x的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义； ④ ，符合二元一次方程组定义； 所以符合二元一次方程组定义的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟记定义是解本题的关键． 【跟踪专练1】下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将选项中的的值分别代入方程的左边，进而即可求解． 【详解】解：A、当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；     B、当时，，则是二元一次方程的解    ，不合题意； C、 当时，，则是二元一次方程的解，不合题意； D、当时，，则不是二元一次方程的解，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【跟踪专练2】若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用关于的二元一次方程组的解是，进行类比可得，然后解方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解是， ∴关于的二元一次方程组中， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 则． 故选：D． 【模块二 解二元一次方程组】 【题型4.代入+加减消元法】 【典例】若和都是最简二次根式，则_____，_____． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 【跟踪专练1】解方程组错误的解法是（    ） A．先将①变形为，再代入② B．先将②变形为，再代入① C．将②-①，消去 D．将①②，消去 【答案】A 【分析】本题考查解二元一次方程组的方法，掌握代入消元法和加减消元法的正确运用，通过变形方程进行消元求解是解题的关键． 根据解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法的思路，对每个选项进行分析，判断其解法是否正确． 【详解】解：A、由，应变形为，而不是，所以该解法错误，符合题意； B、由，变形为，代入，是正确的代入消元法，不符合题意； C、用，可得，即，消去了，是正确的加减消元法，不符合题意； D、得，再减，可得，即，消去了，是正确的加减消元法，不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】已知最简根式与是同类二次根式，最简根式与也是同类二次根式，则的值是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，熟知把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义，被开方数相等，列出方程组求解出和的值，再代入计算． 【详解】解：由题意与是同类二次根式， 故； 与是同类二次根式，故． 得方程组： 化简得： 解得：，， 代入． 故答案为：． 【跟踪专练3】甲、乙两人进行一分钟跳绳练习，结束后，甲说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好等于220个”；乙说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好也等于220个”．设甲的跳绳个数为x个，乙的跳绳个数为y个，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的相关应用，根据题意列出方程组，整理和解方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意，可列方程组为． 得， 化简得， 解得， 故选：D． 【题型5.二元一次方程组的特殊解法】 【典例】已知二元一次方程组，则的值为__________． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值． 通过将方程组的两个方程相加，可以直接求出． 【详解】解： 将①和②相加，得： 化简得：． 故答案为：5． 【跟踪专练1】已知，是关于x，y的二元一次方程组，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是用整体法，把两式相加直接得出结论． 把方程组的两个方程相加得到，进而即可求得． 【详解】解：， 由， 可得， 解得，， ， 故选：A． 【跟踪专练2】.若方程组    的解是     则方程组   的解是_____ 【答案】 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，把求解的方程组进行合理变形，并把和看做一个整体换元得到一个关于和的新方程组是解答本题的关键.把的两边都除以4变形为，然后把和看做一个整体，用换元法求解. 【详解】解：∵， ∴，即 ∵的解为， ∴， ∴. 故答案为： 【跟踪专练3】若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C．． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，解题关键是根据整体思想及方程组的解法进行求解． 根据方程组的特点可得方程组的解是，再利用加减消元法即可求出a，b． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴方程组的解是， 解， 得， 故选：C． 【题型6.解二元一次方程组的应用】 【典例】甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组看错系数问题，涉及解方程（组）、代数式求值等知识，根据题意，得到正确的方程求解即可得到答案．掌握二元一次方程组看错系数问题的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：甲将①中的看成了它的相反数解得，则②是正确的， ∴，且， 解得； 乙抄错②中的解得，则①是正确的， 即， ∴； 联立，解得， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据幂的乘方运算法则，将，分别变形为，，从而得出二元一次方程组：，解二元一次方程组，得出m、n的值，最后代入代数式，求出结果即可． 【详解】解：，， ，， ∴， 解得：， ． 故选：C． 【跟踪专练2】关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先解方程组，二元一次方程组的解为正整数求出的值，再求和即可，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， 解得， ∵，为正整数， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，、的方程组和有相同的解，列出方程组求出、的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 因为两方程有相同的解， 所以将代入， 得， 解得， 所以． 故选：B． 【模块三 高频必考应用题(每年都考)】 【题型7.二元一次方程组应用:和差倍分问题】 【典例】街道为环卫工人发放口罩，如果每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个，则一共有________名环卫工人． 【答案】8 【分析】设一共有x名环卫工人，要发放的口罩共有y个，根据“如果每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设一共有x名环卫工人，要发放的口罩共有y个， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【跟踪专练1】某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则；②男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 【详解】解：根据某年级学生共有246人，则； 男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 可列方程组为． 故选：B． 【跟踪专练2】某班同学计划购买足球和跳绳，已知购买2个足球和3根跳绳共需70元，购买1个足球和2根跳绳共需40元．求足球和跳绳的单价． 【答案】足球的单价为20元，跳绳的单价为10元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，准确列出方程是解题的关键． 设足球的单价为元，跳绳的单价为元，则，再解方程组即可． 【详解】设足球的单价为元，跳绳的单价为元． 根据题意，得方程组， 由第二方程得． 代入第一方程，得， 即，所以，解得． 将代入，得, 因此，足球的单价为20元，跳绳的单价为10元． 【跟踪专练3】某校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学期结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查（每名学生都填了调查表，且只选了一个项目）．据统计，主要有趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作四个项目．其中选信息技术的人数比选手工制作的少8；选趣味数学的人不仅比选手工制作的人多，且为整数倍；选趣味数学与选手工制作的人数之和是选演讲与口才与选信息技术的人数之和的5倍；选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选手工制作的人数之和多24．参加调查问卷的学生有多少名？ 【答案】参加调查问卷的学生有48名 【分析】通过设未知数，根据数量关系列出方程组，求解出各项目的人数，进而得出参加调查问卷的学生总数． 【详解】解：设选信息技术的有人，选演讲与口才的有人，则选手工制作的有人，选趣味数学的有人． 根据题意，得 整理①，得．③ 整理②，得．④ ③④，得， 整理，得． ③④，得，即． ∵都是正整数， ∴或或或或或当或或或或时，都不是整数，不符合题意； 当时，． ∴选信息技术的有人，选演讲与口才的有人，选手工制作的有人，选趣味数学的有人．由于每名学生都填了调查表，且只选了一个项目，则（人）． 故答案为：参加调查问卷的学生有名． 【点睛】本题考查通过设定未知数建立方程组，解题关键是根据题目中的数量关系准确设出未知数，列出方程组，再结合正整数的条件进行求解． 【题型8.二元一次方程组应用:行程问题】 【典例】甲、乙两人在笔直的公路上相距6km，两人同向而行，甲3h可追上乙；相向而行，1h相遇．乙的平均速度为_______km/h． 【答案】2 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设甲的平均速度是 km/h,乙的平均速度是 km/h，根据“若同向而行，甲h可追上乙；若相向而行，h相遇”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲的平均速度是 km/h，乙的平均速度是 km/h， 依题意得：，解得：． 答：甲的平均速度是km/h，乙的平均速度是km/h. 故答案为：. 【跟踪专练1】某船顺流航行用了，逆流航行，用了，则水流速度为 ，船在静水中的速度为 A．2，10 B．2，15 C．10，2 D．15，2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，正确列方程组是解题的关键；设水流速度为，船在静水中的速度为，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设水流速度为，船在静水中的速度为． 由题意，得， 解得， 水流速度为，船在静水中的速度为， 故选：． 【跟踪专练2】聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 【答案】聪聪上坡用了，下坡用了 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设聪聪上坡用了，下坡用了，根据他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．列出方程组求解即可． 【详解】解：， 设聪聪上坡用了，下坡用了． 根据题意，得 解得 答：聪聪上坡用了，下坡用了． 【跟踪专练3】从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 【答案】平路的长为，山路的长为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设平路的长为，山路的长为，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设平路的长为，山路的长为． 由题意，得， 解得， 答：平路的长为，山路的长为． 【题型9.二元一次方程组应用:工程问题】 【典例】为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组__________． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据河道总长为180米和、两个工程队共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解． 【详解】解：设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米， 依题意可得：． 故答案为：． 【跟踪专练1】“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程式解题的关键．设这几天中x天晴天，有y天雨天，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设这几天中x天晴天，有y天雨天， 根据题意得， 解得 ∴这几天中有8天雨天． 故选：C． 【跟踪专练2】为美化沿河风光带，某地将一段长为360米的河道整治任务交由甲乙两个工程队先后接力完成，共用20天．已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天比甲工程队少整治4米，求甲乙两工程队分别整治了多长的河道． 【答案】甲工程队整治了200米长的河道，乙工程队整治了160米长的河道． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设好未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设甲工程队整治了x米长的河道，乙工程队整治了y米长的河道，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲工程队整治了x米长的河道，乙工程队整治了y米长的河道， 由题意得：， 解得：， 答：甲工程队整治了200米长的河道，乙工程队整治了160米长的河道． 【跟踪专练3】甲、乙两人共同加工一批零件，原计划两人一起加工，11天可以完成．结果两人一起加工了7天后，乙另有任务，剩下的零件由甲单独完成．如果甲仍按原来的工作效率，那么还需7天才能完成．为了能按原计划完成任务，甲把工作效率提高了80%，这样不仅按计划完成了任务，还多加工了4个零件．请问原计划一共加工多少个零件？ 【答案】385个 【分析】设甲原来每天做个，乙原来每天做个，根据甲工作效率提高之前和之后完成任务的两个等量关系列方程组即可． 【详解】解:设甲原来每天做个，乙原来每天做个，则原来任务数是个，根据题意，得 ： 解这个方程组得： (个) 答：原计划一共加工385个零件． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解应用题，解题的关键是从题中找出两个等量关系，再设未知数列方程组即可解题． 【题型10.二元一次方程组应用:销售利润问题】 【典例】大刚和小亮到同一家超市购买水果，大刚买苹果和梨，共花了26元；小亮买苹果和梨，共花了11元．设苹果的售价为，梨的售价，则可列二元一次方程组为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，读懂情意，找出数量关系是解答关键． 设苹果的售价为，梨的售价，根据 【详解】解：设苹果的售价为，梨的售价，根据大刚买苹果和梨，共花了26元；小亮买苹果和梨，共花了11元列出方程求解． 则． 故答案为：． 【跟踪专练1】学校文艺部组织部分成员看演出，共买了8张甲票、4张乙票，总共用了112元．已知每张甲票比乙票贵2元，则每张甲票、每张乙票的价格分别是（   ） A．10元和8元 B．8元和10元 C．12元和10元 D．10元和12元 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系，列出方程组是解决此题的关键． 设每张甲票、每张乙票的价格分别为元，元，根据等量关系列方程组解得即可． 【详解】解：设每张甲票、每张乙票的价格分别为元，元， 由题意，得： 解得：． ∴每张甲票、每张乙票的价格分别为10元，8元． 故选：A ． 【跟踪专练2】年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？ 【答案】每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题，题目中的两个等量关系是：购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，可设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元． 根据题意，得 解得 所以，每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元． 【跟踪专练3】随着2025年12月17日第二十七届冰雪大世界的开园，哈市中央大街某商店购进了甲、乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品3件，共需130元；若购进甲种纪念品4件、乙种纪念品5件， 共需230元； (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价各是每多少元？ (2)如果该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 【答案】(1)甲、乙两种纪念品每件的进价分别为20元和30元 (2)最多购进乙种纪念品70件 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为、元，列二元一次方程组计算即可； （2）设购进乙种纪念品m件，列一元一次不等式计算即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为、元， 由题意可得：， 解得：， 答： 甲、乙两种纪念品每件的进价分别为20元和30元； （2）解：设购进乙种纪念品m件， 由题意可得：， 解得：， 答： 最多购进乙种纪念品70件． 【模块四 常考稳定应用题(经常考.题型固定】 【题型11.二元一次方程组应用:分配问题】 【典例】一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决． 【详解】解：设大盒装x瓶，小盒装y瓶，根据题意可列方程组为：， 故选：C． 【跟踪专练1】在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，根据题意可知，灯身的个数灯座的个数；制作灯身的特殊材料板张数制作灯座的特殊材料板张数，列方程组求解即可． 【详解】解：用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套， 根据题意：即． 故答案为：． 【跟踪专练2】为培养同学们爱国主义精神，某学校七年级美术社团的同学们要完成为参加清明节缅怀革命先烈的扫墓活动的本年级同学制作小白花，若每人做5朵，则可比计划多9朵；若每人做4朵，则将比计划少做15朵，求本次计划共制作多少朵小白花？七年级美术社团有多少名同学？ 【答案】七年级美术社团有24名同学，本次计划制作111朵小白花 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据两种不同制作情况找到等量关系，列出方程组． 设社团同学数量和计划制作小白花数量为未知数，依据“每人做5朵比计划多9朵，每人做4朵比计划少15朵”这两个条件列出二元一次方程组，再求解方程组得到答案． 【详解】解：设七年级美术社团有x名同学，本次计划制作y朵小白花， 依题意得， 解得，经检验，符合题意． 答：七年级美术社团有24名同学，本次计划制作111朵小白花． 【跟踪专练3】某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【答案】加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1200张、长方形纸板3000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【题型12.二元一次方程组应用:几何问题】 【典例】如图，某园林设计师准备将一块周长为114米的长方形空地，设计成完全相同的9块小长方形种植花卉，则小长方形的面积为______平方米． 【答案】90 【分析】设小长方形的长为x米，宽为y米，根据长方形的对边相等及长方形空地的周长，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再利用长方形的面积公式，即可求出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为x米，宽为y米， 根据题意得： ， 解得：， ∴（平方米）． 答：小长方形的面积为90平方米． 【跟踪专练1】如图，在大长方形中，放入九个相同的小长方形，则图中每个小长方形的面积（单位：）为（    ） A．9 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组在几何图形中的应用．设小长方形的长为，宽为，观察图形，根据小长方形长宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，据此计算即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，则图中每个小长方形的面积为， 依题意得：， 解得：， ∴， 即图中每个小长方形的面积为， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设，，根据图形列出方程组即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，， 由图可得，， 解得， ∴，． 【跟踪专练3】如图，线段，， ，点、分别是线段和线段的中点，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离，线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，根据题目中的已知条件设置适当的未知数构造方程组是解题的关键． 设，，，则，根据得到，再根据得，由此解出，，继而得到，，然后根据线段中点定义及线段的和差可得答案． 【详解】解：设，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 联立， 解得：， ∴，，， ∴， ∵点、分别是线段和线段的中点， ∴，， ∴， 即线段的长为． 【模块五 中频应用题】 【题型13.二元一次方程组应用:方案选择问题】 【典例】.有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则1辆大货车比1辆小货车一次多运货__________吨． 【答案】1.5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨， 由题意得，， ，得， ∴， 即辆大货车比辆小货车一次多运货吨， 故答案为：． 【跟踪专练1】勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（   ） A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】题目主要考查二元一次方程的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键． 设购买笔的数量为x，本子的数量为y，根据题意列出方程，其中x和y均为正整数，然后求解即可． 【详解】解：设购买笔的数量为x，本子的数量为y， ∵ 总价30元，笔单价3元，本子单价2元， ∴ ，x、y为正整数， ∴为整数， ∴ 为偶数，故x为偶数， ∵购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品， ∴ x的取值范围为且x为偶数， 当时，； 时，； 时，； 时，； ∴共有4种购买方案， 故选：B． 【跟踪专练2】我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； (2)共有3种购买方案：方案1：购买10本笔记本，27支钢笔；方案2：购买20本笔记本，18支钢笔；方案3：购买30本笔记本，9支钢笔 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元，根据“买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；买5本笔记本和1支钢笔，需要110元”，可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m本笔记本，n支钢笔，利用总价单价数量，可列出关于m、n的二元一次方程，结合m、n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； （2）解：设购买m本笔记本，n支钢笔， 根据题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买10本笔记本，27支钢笔； 方案2：购买20本笔记本，18支钢笔； 方案3：购买30本笔记本，9支钢笔． 【跟踪专练3】某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【答案】(1)班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个 (2)方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． (1)设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个，根据“总价单价数量”，再结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买钥匙扣个、玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于的二元一次方程，结合“均为正整数，且，”，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个， 由题意得： 解得：， 答：班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个； （2）解：设购买钥匙扣个、玩偶个， 由题意得：， ， 是正整数，且，， 或 或 ， 共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个； 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个； 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 【题型14.二元一次方程组应用:年龄问题】. 【典例】甲是乙现在的年龄时，乙8岁，乙是甲现在的年龄时，甲26岁，那么（    ） A．甲20岁，乙14岁 B．甲22岁，乙16岁 C．乙比甲大18岁 D．乙比甲大34岁 【答案】A 【分析】设甲现在的年龄为x岁，乙现在的年龄为y岁，根据题意列出二元一次方程组即可求解. 【详解】设甲现在的年龄为x岁，乙现在的年龄为y岁. 依题意得，解. 故选A 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键根据题意找到等量关系列方程求解. 【跟踪专练1】一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是________． 【答案】10岁和6岁 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据对话中的信息，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得， 解得； 所以妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 故答案为：10岁和6岁． 【跟踪专练2】在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在______岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 【跟踪专练3】小亮与爸爸、爷爷三人年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差．他们三人的年龄分别是多少？ 【答案】小亮的年龄为14岁，爸爸的年龄为40岁，爷爷的年龄为66岁． 【分析】设小亮的年龄为x岁，爸爸的年龄为y岁，则爷爷的年龄为（120-x-y）岁，根据“爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小亮的年龄为x岁，爸爸的年龄为y岁，则爷爷的年龄为（120–x–y）岁， 根据题意得，， 解得， ∴120–x–y=66． 答：小亮的年龄为14岁，爸爸的年龄为40岁，爷爷的年龄为66岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【题型15.二元一次方程组应用:数字问题】 【典例】幻方又称九宫图，在幻方拓展课程中，小明在如下所示的方格内填入了一些数及字母，若图中每行、每列以及对角线上的三个数字之和都相等，则________，________． y 2 5 7 8 x 6 【答案】 1 9 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据题意可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：，． 故答案为：， 【跟踪专练1】佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为9 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0 则佳佳时看到的两位数是（   ） A．18 B．27 C．36 D．54 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位与个位数字之和为9且行驶的速度不变，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设佳佳时看到的两位数中十位数字为，个位数字为， 根据题意，得 解得， 所以佳佳时看到的两位数是27． 故选：B． 【跟踪专练2】一个三位数是它各数位上数字之和的27倍．已知百位上的数字与个位上的数字之和比十位上的数字大1．若把百位上的数字与个位上的数字交换位置，则所得的新数比原数大99．求这个三位数． 【答案】这个三位数为243 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设百位上的数字为x，个位上的数字为y．则十位上的数字为题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，再行进计算即可得出结果． 【详解】解：设百位上的数字为x，个位上的数字为y．则十位上的数字为， 依题意，得：, 解得, 所以． 答：这个三位数为243． 【跟踪专练3】在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性和“七”有关． 定义：对于四位自然数，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数为“七巧数”． 例如：3254是“七巧数”，因为，所以3254是“七巧数”；1456不是“七巧数”，因为但，所以1456不是“七巧数”． (1)最大的“七巧数”是 ，最小的“七巧数”是 ； (2)若将一个“七巧数”的个位数字和千位数字交换位置，十位数字和百位数字交换位置得到一个新的“七巧数”，并记，求证：无论取何值，为定值，并求出这个值； (3)若是一个“七巧数”，且的百位数字加上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，请求出满足条件的所有“七巧数”． 【答案】(1) (2)证明见详解， (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、整式加减运算、新定义下的阅读理解，解决问题的关键是找到等量关系． （1）根据“七巧数”的定义直接求解即可得到答案； （2）设的个位数字为，十位数字为，则百位数字为，千位数字，依此可求和，进一步可求； （3）设的千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为，根据的百位数字加上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，依此可得，再根据整数的定义进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设“七巧数”， 由定义可知，， 当时，有最大的“七巧数”，为7700；由于首位不能为，则当时，有最小的“七巧数”，为1076， 故答案为：； （2）证明：设的个位数字为，十位数字为，则百位数字为，千位数字， 由题意得，，， ， 无论取何值，为定值，为； （3）解：设的千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为， 由题意得，， 即， 则， ，且为整数， 或或或或或或， ，且为整数， ∴当时，则，，即； 当时，则，，即； 当时，则，，即； 当或或或时，则，不符合要求，舍去； 综上所述，满足条件的所有“七巧数”有三个，为：． 【题型16.二元一次方程组应用:古代问题】 【典例】我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为___________． 【答案】 【分析】根据“现花钱买了只鸡”，列出方程组即可． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用．明确题意，准确列出方程组是解题的关键． 【跟踪专练1】古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有个，共有条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有个，耧有个，则可列出方程组（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设耠子有个，耧有个，根据耠子和耧共有个，共有条腿，列方程组即可． 【详解】解：设耠子有个，耧有个， 根据题意得， 故选：C． 【跟踪专练2】我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？”这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺，问：井深几尺？（列方程解决问题） 【答案】井深8尺 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，仔细阅读题目从中找出等量关系建立方程是解题的关键． 设绳长是x尺，井深是y尺，再根据题意把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺列方程组即可． 【详解】解：设绳长是x尺，井深是y尺， 由题意得：， 解得：， 答：井深是8尺． 【跟踪专练3】古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解） 【答案】人数为21人，羊价为150钱 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．本题可通过设未知数，根据两种出钱方式下羊价恒定这一等量关系列出二元一次方程组，进而求解出合伙人数和羊价． 【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱． 根据题意，得， 将代入中，得 ， 解得 把代入中，得 ． 答：人数为21人，羊价为150钱． 【模块六 三元一次方程组】 【题型17.三元一次方程组的定义及解】 【典例】已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得且，进而可求解，熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【详解】解：依题意得：且， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知三元一次方程组，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程组的简便求解，核心是运用整体思想，无需单独求解、、的具体值，通过将三个方程左右两边分别相加，可快速得到的值． 【详解】解：已知三元一次方程组， 将三个方程左右两边分别相加，得：， 即， 两边同时除以2，得：； 故选：C． 【跟踪专练2】已知，，不同时为，且，那么的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，分式的求值，通过解方程组，将和用表示，代入所求表达式化简． 【详解】解：， 由②得，再代入①得，即， 解得， ， ，，不同时为，且 时会导致，，与条件矛盾，故， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】若点满足方程组，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题考查解三元一次方程组，点的坐标，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．利用加减消元法解方程组，然后根据各象限内的点的坐标特征即可求得答案． 【详解】解：， 由①②得：④， 由③④得：，解得， 将代入①得：，解得， 则点的坐标为，位于第二象限， 故选：B． 【题型18.三元一次方程组的应用】 【典例】某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的，结果共得20分，则该校队胜______场、平______场、负______场． 【答案】 6 2 3 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用．设胜场数为x，平场数为y，负场数为z，根据总场数、总得分和负场与胜场的关系列出方程组，即可求解． 【详解】解：设胜x场、平y场、负z场，根据题意得： ， 解得：， 答：胜6场、平2场、负3场． 故答案为：6，2，3 【跟踪专练1】小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组的解，根据方程解的概念将方程的解代入未抄错的方程中得出关于c的方程和得出关于a、b的方程组是解此题的关键．根据方程组的解的定义得到关于a、b、c的方程组，再进一步运用加减消元法求解，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意把代入原方程组，得， 把代入，得， 可组成方程组， 解得， 则． 故选：D． 【跟踪专练2】.小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，则桌子的高度为_____． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组解应用题，掌握相关知识是解决问题的关键．设桌子的高度为厘米，站立的小猫高度为厘米，趴下的小猫高度为厘米，根据第一图示：桌子高度站立小猫高度趴下小猫高度；第二图示：桌子高度趴下小猫高度站立小猫高度列出方程组进行解答便可． 【详解】解：设桌子的高度为厘米，站立的小猫高度为厘米，趴下的小猫高度为厘米，根据题意得， ， ①②得，， ， 桌子的高度为厘米． 故答案为：． 【跟踪专练3】福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【答案】D 【分析】本题考查三元一次方程的实际应用，设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，根据题意列出方程，简化得．分和两种情况求解，分别得到8种和6种方案，共计14种，即可． 【详解】解：设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，由题意， ， ∴， ∵C种奖品不超过两个且钱全部用完（三种奖品均购买）， ∴均为正整数， 当时，， ∴，， 共8种方案； 当时，则， ∴，， 共6种方案； 总方案数：种． 故选D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06二元一次方程(组)及其应用突破复习讲义 【模块一 二元一次方程(组)的相关概念】.............................4 【题型01 二元一次方程的定义】.....................................4 【题型02 二元一次方程的解】.......................................4 【题型03 二元一次方程组的定义】...................................4 【模块二 解二元一次方程组】......................................5 【题型04 代入+加减消元法】.......................................5 【题型05 二元一次方程组的特殊解法 】.............................6 【题型06 解二元一次方程组的应用】................................6 【模块三 高频必考应用题(每年都考)】................................7 【题型07 二元一次方程组应用:和差倍分问题】.......................7 【题型08 二元一次方程组应用:行程问题】...........................7 【题型09 二元一次方程组应用:工程问题】...........................8 【题型10 二元一次方程组应用:销售盈亏问题】.......................8 【模块四 常考稳定应用题(经常考.题型固定】........................9 【题型11 二元一次方程组应用:分配问题】...........................9 【题型12 二元一次方程组应用:几何问题】...........................9 【模块五 中频应用题】............................................10 【题型13 二元一次方程组应用:方案选择问题】........................10 【题型14 二元一次方程组应用:年龄问题】............................11 【题型15 二元一次方程组应用:数字问题】............................12 【题型16 二元一次方程组应用:古代问题】............................13 【模块六 三元一次方程组】.........................................13 【题型17 三元一次方程组的定义及解】...............................13 【题型18 三元一次方程组的应用】...................................14 · 分值比重：二元一次方程 (组) 及其应用在中考数学中为高频核心考点，分值占6~10 分，题型覆盖选择、填空、解答（基础 + 中档），属基础得分与中档稳定得分板块。 · 考查重点：二元一次方程（组）的定义、解的概念、代入消元法、加减消元法、解二元一次方程组、二元一次方程组的实际应用；基础运算与实际应用并重，强调建模与规范书写。 · 命题难度：基础为主、中档为辅，题型稳定偏易，侧重基本变形、消元思想、运算能力与基本方法应用，难度偏低、稳定性强。 · 命题趋势：基础题型固定，以方程解法、化简求值、简单实际应用为主，贴近生活情境与学科素材，注重规则运用与步骤书写，强化数学建模与综合能力，每年题型稳定、考查连贯。 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念 二元一次方程：含 2 个未知数，未知数次数都是 1 的整式方程。 二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起。 方程组的解：同时满足两个方程的一组未知数的值。 知识点02:二元一次方程组解法（必考） 代入消元法：用一个未知数表示另一个，代入另一个方程。 加减消元法：通过加减消去一个未知数，化为一元一次方程。 原则：消元 → 解一元一次方程 → 回代 → 得解 知识点03:二元一次方程组的实际应用 1. 核心解题步骤（通用，必记） (1)审：审题，明确题目中的已知量、未知量，找出题目中的等量关系（关键，至少两个等量关系）； (2)设：设未知数，通常设两个未知数（直接设元，若直接设元复杂，可间接设元）； (3)列：根据等量关系，列出二元一次方程组； (4)解：解方程组，求出未知数的值； (5)验：检验所求的值是否符合题意（如人数、数量不能为负数、分数，需结合实际场景判断）； (6)答：写出答案，规范表述（中考解答题，步骤不完整会扣分）。 2.中考高频应用题型（分类梳理，适配考点） 核心等量关系：① 大数 = 小数 × 倍数 ± 差；② 两数和（差）= 已知量。 核心等量关系： 1 路程 = 速度 × 时间 2 相遇问题：两者路程和 = 总路程； 3 追及问题：两者路程差 = 初始距离。 注意：区分相向而行（相遇）、同向而行（追及）、相向而行（相遇），避免等量关系混淆。 核心等量关系： 1 工作总量 = 工作效率 × 工作时间； 2 多人合作：总效率 = 各人工效之和； 3 通常将工作总量看作单位“1”。 核心等量关系： 1 利润 = 售价 - 进价； 2 利润率 = ； 3 售价 = 标价 × 折扣（折扣为小数，如8折=0.8）。 核心等量关系： 1 溶质质量 = 溶液质量 × 浓度； 2 混合前后，溶质总质量不变。 核心等量关系：根据产品配套比例，确定两种部件的数量关系（如1个桌面配4条桌腿，则桌面数量×4 = 桌腿数量）。 核心要点：① 两人年龄差始终不变（解题关键）；② 过n年/前n年，两人年龄同时加/减n岁。 3. 应用易错点 (1)审题不清，找错等量关系（如混淆“多”“少”“倍”的含义，行程问题中混淆相遇与追及）； (2)设未知数时，未写单位，或单位不统一（如速度单位km/h与时间单位min未统一）； (3)检验环节缺失，所求值不符合实际意义（如人数为负数、物品数量为分数）； (4)解答步骤不完整，未写“答”，或“答”的表述不规范。 【模块一 二元一次方程(组)相关概念】 【题型1.二元一次方程组的定义】 【典例】“方程”二字最早见于我国（九章算术）这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是___________． 【跟踪专练1】化学方程式依据化学反应过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左右两边同一元素原子的个数要相同．如就表示两份与一份点燃生成两份的（水），已知，由此列出关于的二元一次方程为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是_____（写出一个即可）． 【跟踪专练3】为了丰富学生的课余生活，某校开展了丰富多彩的体育活动．某班家长委员会为学生购买跳绳30元/根和45元/根的两种跳绳，购买跳绳共花费450元钱，两种跳绳都买的话，共有（　　）种购买方案． A．6 B．5 C．4 D．3 【题型2.二元一次方程的解】 【典例】把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为__________________（写出一种情况即可）． 【跟踪专练1】如果是方程的解，是正整数，则的最大值是（      ） A．4 B．6 C．8 D．10 【跟踪专练2】某人只带2元和5元两种货币若干张，他要买一件43元的商品，而商店不给找钱，要他恰好付43元，他的付款方式共有_______种． 【跟踪专练3】方程组的解为，则被■盖住的数分别是（   ） A．1， B．3，1 C．2，3 D． ，4 【题型3.二元一次方程组的定义】 【典例】观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是______（写出所有正确的序号）． 【跟踪专练1】下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 【跟踪专练3】若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【模块二 解二元一次方程组】 【题型4.代入+加减消元法】 【典例】若和都是最简二次根式，则_____，_____． 【跟踪专练1】解方程组错误的解法是（    ） A．先将①变形为，再代入② B．先将②变形为，再代入① C．将②-①，消去 D．将①②，消去 【跟踪专练2】已知最简根式与是同类二次根式，最简根式与也是同类二次根式，则的值是___________． 【跟踪专练3】甲、乙两人进行一分钟跳绳练习，结束后，甲说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好等于220个”；乙说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好也等于220个”．设甲的跳绳个数为x个，乙的跳绳个数为y个，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型5.二元一次方程组的特殊解法】 【典例】已知二元一次方程组，则的值为__________． 【跟踪专练1】已知，是关于x，y的二元一次方程组，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】.若方程组    的解是     则方程组   的解是_____ 【跟踪专练3】若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C．． D． 【题型6.解二元一次方程组的应用】 【典例】甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则________． 【跟踪专练1】若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是______． 【跟踪专练3】已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【模块三 高频必考应用题(每年都考)】 【题型7.二元一次方程组应用:和差倍分问题】 【典例】街道为环卫工人发放口罩，如果每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个，则一共有________名环卫工人． 【跟踪专练1】某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某班同学计划购买足球和跳绳，已知购买2个足球和3根跳绳共需70元，购买1个足球和2根跳绳共需40元．求足球和跳绳的单价． 【跟踪专练3】某校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学期结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查（每名学生都填了调查表，且只选了一个项目）．据统计，主要有趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作四个项目．其中选信息技术的人数比选手工制作的少8；选趣味数学的人不仅比选手工制作的人多，且为整数倍；选趣味数学与选手工制作的人数之和是选演讲与口才与选信息技术的人数之和的5倍；选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选手工制作的人数之和多24．参加调查问卷的学生有多少名？ 【题型8.二元一次方程组应用:行程问题】 【典例】甲、乙两人在笔直的公路上相距6km，两人同向而行，甲3h可追上乙；相向而行，1h相遇．乙的平均速度为_______km/h． 【跟踪专练1】某船顺流航行用了，逆流航行，用了，则水流速度为 ，船在静水中的速度为 A．2，10 B．2，15 C．10，2 D．15，2 【跟踪专练2】聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 【跟踪专练3】从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 【题型9.二元一次方程组应用:工程问题】 【典例】为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组__________． 【跟踪专练1】“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【跟踪专练2】为美化沿河风光带，某地将一段长为360米的河道整治任务交由甲乙两个工程队先后接力完成，共用20天．已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天比甲工程队少整治4米，求甲乙两工程队分别整治了多长的河道． 【跟踪专练3】甲、乙两人共同加工一批零件，原计划两人一起加工，11天可以完成．结果两人一起加工了7天后，乙另有任务，剩下的零件由甲单独完成．如果甲仍按原来的工作效率，那么还需7天才能完成．为了能按原计划完成任务，甲把工作效率提高了80%，这样不仅按计划完成了任务，还多加工了4个零件．请问原计划一共加工多少个零件？ 【题型10.二元一次方程组应用:销售利润问题】 【典例】大刚和小亮到同一家超市购买水果，大刚买苹果和梨，共花了26元；小亮买苹果和梨，共花了11元．设苹果的售价为，梨的售价，则可列二元一次方程组为_______． 【跟踪专练1】学校文艺部组织部分成员看演出，共买了8张甲票、4张乙票，总共用了112元．已知每张甲票比乙票贵2元，则每张甲票、每张乙票的价格分别是（   ） A．10元和8元 B．8元和10元 C．12元和10元 D．10元和12元 【跟踪专练2】年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？ 【跟踪专练3】随着2025年12月17日第二十七届冰雪大世界的开园，哈市中央大街某商店购进了甲、乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品3件，共需130元；若购进甲种纪念品4件、乙种纪念品5件， 共需230元； (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价各是每多少元？ (2)如果该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 【模块三 常考稳定应用题(经常考.题型固定)】 【题型11.二元一次方程组应用:分配问题】 【典例】一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为___________． 【跟踪专练2】为培养同学们爱国主义精神，某学校七年级美术社团的同学们要完成为参加清明节缅怀革命先烈的扫墓活动的本年级同学制作小白花，若每人做5朵，则可比计划多9朵；若每人做4朵，则将比计划少做15朵，求本次计划共制作多少朵小白花？七年级美术社团有多少名同学？ 【跟踪专练3】某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【题型12.二元一次方程组应用:几何问题】 【典例】如图，某园林设计师准备将一块周长为114米的长方形空地，设计成完全相同的9块小长方形种植花卉，则小长方形的面积为______平方米． 【跟踪专练1】如图，在大长方形中，放入九个相同的小长方形，则图中每个小长方形的面积（单位：）为（    ） A．9 B．12 C．24 D．48 【跟踪专练2】如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 【跟踪专练3】如图，线段，， ，点、分别是线段和线段的中点，求线段的长． 【模块五 中频应用题】 【题型13.二元一次方程组应用:方案选择问题】 【典例】.有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则1辆大货车比1辆小货车一次多运货__________吨． 【跟踪专练1】勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（   ） A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种 【跟踪专练2】我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 【跟踪专练3】某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【题型14.二元一次方程组应用:年龄问题】. 【典例】甲是乙现在的年龄时，乙8岁，乙是甲现在的年龄时，甲26岁，那么（    ） A．甲20岁，乙14岁 B．甲22岁，乙16岁 C．乙比甲大18岁 D．乙比甲大34岁 【跟踪专练1】一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是________． 【跟踪专练2】在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在______岁时，将为奶奶贺白寿． 【跟踪专练3】小亮与爸爸、爷爷三人年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差．他们三人的年龄分别是多少？ 【题型15.二元一次方程组应用:数字问题】 【典例】幻方又称九宫图，在幻方拓展课程中，小明在如下所示的方格内填入了一些数及字母，若图中每行、每列以及对角线上的三个数字之和都相等，则________，________． y 2 5 7 8 x 6 【跟踪专练1】佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为9 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0 则佳佳时看到的两位数是（   ） A．18 B．27 C．36 D．54 【跟踪专练2】一个三位数是它各数位上数字之和的27倍．已知百位上的数字与个位上的数字之和比十位上的数字大1．若把百位上的数字与个位上的数字交换位置，则所得的新数比原数大99．求这个三位数． 【跟踪专练3】在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性和“七”有关． 定义：对于四位自然数，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数为“七巧数”． 例如：3254是“七巧数”，因为，所以3254是“七巧数”；1456不是“七巧数”，因为但，所以1456不是“七巧数”． (1)最大的“七巧数”是 ，最小的“七巧数”是 ； (2)若将一个“七巧数”的个位数字和千位数字交换位置，十位数字和百位数字交换位置得到一个新的“七巧数”，并记，求证：无论取何值，为定值，并求出这个值； (3)若是一个“七巧数”，且的百位数字加上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，请求出满足条件的所有“七巧数”． 【题型16.二元一次方程组应用:古代问题】 【典例】我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为___________． 【跟踪专练1】古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有个，共有条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有个，耧有个，则可列出方程组（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？”这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺，问：井深几尺？（列方程解决问题） 【跟踪专练3】古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解） 【模块六 三元一次方程组】 【题型17.三元一次方程组的定义及解】 【典例】已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则______． 【跟踪专练1】已知三元一次方程组，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【跟踪专练2】已知，，不同时为，且，那么的值为________． 【跟踪专练3】若点满足方程组，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【题型18.三元一次方程组的应用】 【典例】某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的，结果共得20分，则该校队胜______场、平______场、负______场． 【跟踪专练1】小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【跟踪专练2】.小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，则桌子的高度为_____． 【跟踪专练3】福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $