8.1.1 课时2 平面向量数量积的几何意义课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

8.1.1 课时2 平面向量数量积的几何意义 1.什么是向量的数量积？它有怎样的物理意义？ 一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos<a,b>为向量a与b的数量积（也称为内积），记作a·b，即a·b=|a||b|cos<a,b>. 物理意义：物体沿力方向所做的功. 2 探究：平面向量的投影与向量数量积的几何意义. 求力对物体所做的功时，通常选择对力进行位移方向上的分解.转化成数学问题，就是将向量投影在另一个向量上. 设非零向量 ,过A,B分别作直线l的垂线，垂足分别为A',B',则称向量 为向量a在直线l上的投影向量或投影. 问题1：给定平面上的一个非零向量b,如何做出向量a在向量b上的投影 设b所在的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影. 问题2：作出下列不同情况时a在b上的投影 ，向量 的方向、长度与 有什么关联？ 的模长如何表示？ 当 时， 的方向与b的方向相同，而且 当 时， 为零向量，即 当 时， 的方向与b的方向相反，而且 的模长有关，且它的符号可能为正，为负，为零. 与 如果a,b都是非零向量，则称 为向量a在向量b上的投影的数量. 思考：向量a在b方向上的投影的数量与向量b在a方向上的投影的数量一定相同吗？ 不一定，向量a在b方向上的投影的数量为 ，向量b在a方向上的投影的数量为 ，只有当 时，投影的数量才相等. 思考：结合投影的数量，说明数量积 具有怎样的几何意义？ 数量积的几何意义: 思考：如果把b改为单位向量e，还都能得到什么结论？ 两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积. 即任意向量的数量积与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量上的投影的数量. 当e为单位向量时，因为 ，所以 利用向量数量积的几何意义求出以下向量的数量积. （1）b·a； （2）c·a ； （3）d·a . 解：（1）由图可以看出，向量b在向量a上的投影的数量为1，且a为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知b·a=1. （2）由图可知， ，因此c·a=0. （3）由图可知，向量d在向量a上的投影的数量为-1，且a为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知d·a=-1. 1.已知|a|＝6，|b|＝3，〈a，b〉＝150°，则向量b在a上的投影的数量为( ) A.2 B.-2 C. D.- D 2.(多选题)已知a，b，c是三个非零向量，下列选项正确的是(　 　) A．|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b B．a，b反向⇔a·b＝－|a||b| C．a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b| D．|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c| ABC 3.在△ABC中， 求： ① ；② 在 方向上的投影的数量. 解：∵ ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°， ① ② 回答下列问题，回顾本课所学知识. 1.什么是投影向量？ 2.投影和投影的数量是否都是向量？ 3.向量数量积的几何意义是什么？ $