8.1.1 向量数量积的概念 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8.1.1 向量数量积的概念 教材分析 本节课是人教B版必修3第八章《向量数量积与三角恒等变换》的第一课时《向量数量积的概念》，数量积是继向量的线性运算（加法、减法、向量的数乘）后的又一种新的运算，它的内容很丰富，包括定义、几何意义、性质与运算律，而且在物理和几何中具有广泛的应用。它与向量的线性运算有着本质的区别，运算结果是一个数量，数量积为解决有关几何问题提供了方便，可以利用平面向量的数量积求解向量的模和向量的夹角，解决线段的垂直问题。向量的数量积分为两个重要部分，一个是数量积的概念和运算律，另一个是数量积的坐标运算。本节课作为本章的第一课时，向量的数量积是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。 教学目标与核心素养 考点 教学目标 核心素养 平面向量数量积的概念、性质和物理意义 理解平面数量积的概念、性质及物理意义，会计算平面向量的数量积 数学抽象、逻辑推理、数学建模 数量积的几何意义 通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义 直观想象、数学运算 数量积的简单应用 掌握数量积的简单应用，会利用数量积判断两个平面向量的垂直关系 逻辑推理、数学运算 教学重难点 【教学重点】 平面向量数量积的概念、性质和物理意义、几何意义、应用 【教学难点】 平面向量数量积的几何意义理解 教学过程 创设情境 引入背景 观看2018年克里米亚快速拉力比赛报道，俄罗斯选手尼格马图林创造新的世界纪录。 将实际问题抽象出物理模型 思考1：卡车在力的作用下产生位移（如图）,那么如何通过力和位移表达出该力对物体所做的功呢？ 答：力对物体所做的功= 思考2：功的大小由那些因素决定呢？ 答：功不仅与力和位移的大小有关，而且还与它们的方向有关，具体地，它和力与位移的夹角有关。 思考3：从求功的运算中，你能抽象出什么样的数学运算？ 答：我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量“数量积”的概念。 两个向量的模长与这两个向量夹角的余弦值的乘积就是我们今天要学习的新的运算——数量积。 其中，是两个向量的夹角。我们如何找到两个向量的夹角呢？ （一）两个向量的夹角 给定两个非零向量与，在平面内任选一点，作，，则称内的为向量与的夹角，记作. 思考1：向量的夹角与两条直线的夹角有何区别？ 提示：向量的夹角α的范围为0°≤α≤180°，两条直线的夹角β的范围是0°≤β≤90°. 思考2：=是否成立？ 提示：成立． 通过练习总结向量夹角的特殊情况： =0；此时向量与共线且方向相同. =；此时向量与共线且方向相反. =；此时称向量与垂直，记作 小结：向量的夹角决定了两个向量的位置关系.明确范围内的角的分类标准. 明确了两个向量的夹角的定义，接下来，我们给出向量数量积的准确定义. （二）向量数量积的定义 一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积（也称为内积），记作. 即. 说明：（1）由定义可知，两个非零向量的数量积是一个数量. （2）符号“ · ”是数量积运算的专用符号，运算符号不可省略，不可用×号替代. （3）定义的适用条件是两个非零向量.规定：零向量与任何向量的数量积为0.即： 例1 ：已知｜｜＝5，｜｜＝4，与的夹角=，求· 解：由向量的数量积公式得：（先复习特殊角度的余弦值） ·=||||cos=5×4×cos=5×4×（-）=-10 练习1：在△ABC中，||＝8，||＝7，则求:. 思考：如果，都是非零向量，那么的符号由谁决定，什么时候为正，什么时候为负？ 结论： 深入探究： （三）数量积的性质 应用概念 探究性质 做一做： 4.已知｜｜＝3，｜｜＝2，=，求 总结性质：(1)|；（处理不等式、求范围问题） (2) ，即;（处理长度问题） (3) ;（处理垂直问题） (4) ;（处理夹角问题、判断三角形形状） （4） 向量的投影 （1）向量在直线上的投影 非零向量，过，分别作直线的垂线，垂足分别为,，则称向量为向量在直线上的投影向量或投影. 明确投影是向量；掌握投影的做法； （2）向量在向量上的投影 给定平面上的非零向量，设所在的直线为， 则在直线上的投影称为向量在向量上的投影. （3）投影的数量 1. θ为直角时， 1. | a | cosθ=0 1. θ为钝 角时， 1. | a | cosθ＜0 1. 1. θ为锐角时， 1. | a | cosθ＞0 1. 1. 一般地，如果，为非零向量，则称为向量在向量上投影的数量. 数量可以是正数，可以是零，也可以是负数，符号由向量夹角的大小决定. （五）向量的数量积的几何意义 由可知，向量数量积的几何意义为：两个非零向量，的数量积，等于在向量上投影的数量与的模的乘积. 特别地，当为单位向量时，，即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量上的投影的数量. 由向量数量积的几何意义，还可以得到： 向量在向量上的投影数量为. 例2:如图所示，求出以下向量的数量积. （1） ；（2）；（3）. 解：（1）方法一：由图可知，，， 所以 方法二：， （2）因为，所以 （3）方法一：由图可知，，，不是特殊角，但 方法二：， 小结：求两个非零向量数量积的问题，可以借助两个向量数量积的定义求解（方法一）； 也可以用两个非零向量数量积的几何意义求解（方法二）. 小结与回顾 1.两个向量的夹角 2.向量数量积的定义 3.向量数量积的性质 4.向量的投影 5.向量数量积的几何意义 布置作业 1. （必做）课本P75A组1-5 《向量数量积的概念》教学设计 喀左蒙高中：郭海燕 学科网（北京）股份有限公司 $$