精品解析：北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷

2025—2026学年阶段性练习 高三数学 2026.3 一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合， 所以. 2. 若复数，则在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】复数，则， 所以在复平面上对应的点位于第三象限. 3. 双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：令，化简可得．故选D． 考点：双曲线的渐近线． 4. 已知，则下列结论中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错. 对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确 对于C， 已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确. 对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确. 5. 已知数列的前项和为，则（ ） A. 35 B. 11 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，即， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. 6. 已知向量，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. -2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】向量， 则， 当时，取最小值. 7. 为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ） A. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C. 纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，A错误； 对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，B正确； 对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，C错误； 对于D，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，D错误. 8. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当时，， 令，当时，可得， 由正弦函数的性质，可得在为单调递增函数， 所以当时，函数在区间上单调递增，即充分性成立； 反之：当时，可得， 又由正弦函数的单调递增区间为， 要使得函数在区间上单调递增，则满足， 即，且，解得，所以必要性不成立， 综上可得：“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 9. 任取一个正整数，若它是奇数，就将该数乘3再加1；若它是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数6时，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：，若，则的所有可能取值的总个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】由，，解得； 由，解得； 由，解得或； 由，解得或； 由，解得或或； 由，解得或或或； 由，或或或或或， 所以则m所有可能的取值集合为，共6个元素. 10. 已知直线与相交于点，直线与圆交于两点，且，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】先确定点的轨迹，再确定线段中点的轨迹，将问题转化为两圆上两点的距离问题求解. 【详解】直线：，所以直线过定点； 直线：，所以直线过定点. 又，所以. 所以点的轨迹是以线段为直径的圆. 因为的中点为，， 所以点的轨迹方程为：. 因为直线与圆交于两点，且， 所以圆心到直线的距离为1，设的中点为，则. 如图： ，且, 所以，即的最大值为. 二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若抛物线：的焦点在直线上，则p等于______. 【答案】4 【解析】 【分析】将抛物线的焦点坐标代入直线方程可求得实数的值. 【详解】根据题意，拋物线的方程为，其拋物线的焦点在轴的正半轴上，其焦点坐标为， 又由抛物线的焦点在直线上，则有，解可得． 故答案为：. 12. 的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________. 【答案】 ①. ②. 24 【解析】 【详解】的二项展开式的第1 项是， 常数项为. 13. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】玉琮体积可以分为两部分计算:上下圆筒部分和中部正方体挖去圆柱部分，最后减去空心部分的体积. 【详解】因为圆筒内径长为，所以内圆半径. 外径长为，所以外圆半径 上下两段圆筒总高为，加上中部正方体挖去外圆柱后剩余部分: 上下外圆柱体积+中部正方体体积 = 空心是贯通整个玉琮的内圆柱，总高为， 所以玉琮的体积为. 14. 设，若对任意实数，都有，则满足条件的一组实数的值依次为__________. 【答案】2，3，（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用诱导公式，结合的取值范围和等式恒成立可得的一组值. 【详解】因为， 且当时，等式对任意实数都成立， 所以，，满足条件需求. 故满足条件的一组实数的值依次为：2，3，（答案不唯一）. 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①当时，为偶函数； ②当时，对任意，都有； ③当时，在上单调递减； ④存在实数，使得有2个零点. 其中正确结论的序号为__________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用偶函数定义判断①；利用导数确定单调性判断②③；确定零点个数判断④. 【详解】函数的定义域为， 对于①，当时，，，为偶函数，①正确； 对于②，当时，，求导得， 函数在上单调递减，恒有，②正确； 对于③，当时，， 当时，；当 时，， 函数在上单调递减，在上单调递减，因此在上单调递减，③正确； 对于④，函数的零点即为方程的根， 亦即函数的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系内画出函数的图象及直线，如图： 直线过定点，令与函数相切的切点为， 由，求导得，则，解得， 则当时，函数的图象与直线有1个交点； 当时，直线还过点，函数的图象与直线有1个交点； 当时，直线还过点，函数的图象与直线有1个交点， 因此当时，函数的图象与直线有1个交点； 当时，函数的图象与直线没有交点； 当时，由对称性得函数的图象与直线有1个交点， 所以不存在实数，使得有2个零点，④错误. 三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，则根据线面平行的判定定理证明； （2）因为两两垂直，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形. 所以，因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 由题知平面，所以， 又因为， 所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系. 所以， 则. 根据题意平面的一个法向量是，设平面的法向量为， 则即， 令，则.于是， 设二面角的平面角为， 则，由图可知为锐角，所以. 17. 随着机器人的智能化､精细化发展，市场对其零部件的质量要求不断提高.现有甲､乙两台车床分别加工某种机器人的同一型号的零件.为评估这两台车床加工零件的质量，随机抽取甲､乙两台车床加工的零件各100个，记录零件质量检测结果，并整理得到数据如下表： 等级 优等品 非优等品 甲车床加工的零件数 75 25 乙车床加工的零件数 80 20 假设不同零件的质量等级相互独立，用频率估计概率. （1）分别估计甲､乙两台车床加工的零件是优等品的概率； （2）从甲车床加工的零件中随机抽取1个，乙车床加工的零件中随机抽取2个.设为这3个零件中优等品的个数，估计的数学期望； （3）在某一时段内，甲､乙两台车床加工的零件数之比为，现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优等品的概率估计值为，判断与的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率估计概率求解； （2）求出的可能取值，分别求出的每个可能取值的概率，利用离散型随机变量的期望公式求出期望； （3）甲、乙两台车床加工的零件数之比为，求出和得到与的大小. 【小问1详解】 甲车床：抽取100个零件，优等品有75个，则， 乙车床：抽取100个零件，优等品有80个，则. 【小问2详解】 为这3个零件中优等品的个数， 则的可能取值为， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取2个非优等品， ， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取1个优等品1个非优等品， 或从甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品且乙车床加工的零件中随机抽取2个非优等品， ， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取2个优等品， 或甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品乙车床加工的零件中随机抽取1个优等品1个非优等品， ， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取2个优等品， ， . 【小问3详解】 ， 甲、乙两台车床加工的零件数之比为， 现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优等品的概率估计值为， 则， ，，. 18. 在中，. （1）求； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）条件①：不存在这样的三角形；条件②：存在这样的三角形，的面积；条件③：存在这样的三角形，的面积. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）条件①，由的值得到的范围，结合的值得到这样的三角形不存在；条件②，由的值得到的范围，利用同角关系式求出，利用结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，利用三角形的面积公式求出；条件③，由利用正弦定理进行边化角，结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，利用同角关系式求出，由结合两角和的正弦公式求出，利用三角形的面积公式求出. 【小问1详解】 ，， ，，. 【小问2详解】 条件①，，， ，，不符合题意，不存在这样的三角形； 条件②，，， ，， ， ，，，， ； 条件③， ，其中为的外接圆的半径， ， ，，， ，，，，， ， ， . 19. 已知椭圆，过点，焦距为. （1）求椭圆的方程和离心率； （2）设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（，异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由. 【答案】（1）， （2）光线经过轴反射后经过点 【解析】 【分析】（1）由已知条件列出关于方程组求出即可求解. （2）先表示过点的直线的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理得、，计算求解即可. 【小问1详解】 由题可得， 椭圆的方程为， 所以椭圆的离心率. 【小问2详解】 如图 为椭圆的右焦点，， 设，， 设过点的直线的方程为， 将直线方程与椭圆方程联立得， 展开并整理得， 则即， 且，， ， 光线经过轴反射后经过点. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； （3）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求解即可. （2）根据4是极小值点求出，结合导数与单调性、极值的关系求出极大值，进一步证明即可. （3）在定义域内单调递增即在定义域内恒成立，结合分离常数法及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，，则，， 所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，. 因为4是的极小值点，所以，即，解得. 当时，，， 令，则，解得或. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，， 故此时的极大值小于零. 【小问3详解】 因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 在上恒成立，也即在上恒成立. 又，当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的取值范围为. 21. 已知集合.对于，定义与的差为，；定义与之间的距离为. （1）若，写出所有的，使得； （2）已知，若，并且，求的最大值； （3）证明：三个数中至少有一个是偶数. 【答案】（1） （2） （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据距离的定义，找出满足的即可； （2）先根据，分析元素所满足的条件，再求的最大值； （3）首先讨论三个差的和的奇偶性，再利用反证法，结论得证. 【小问1详解】 ，说明与只有个位置元素不同，全为，因此恰有1个位置为0，其余为， 则所有满足条件的为： ； 【小问2详解】 已知，， ，， 即和中恰好各有个分量为（其余为） 设的的位置集合为，的0的位置集合为,则， 则，而的最小值为， 因此的最大值为 【小问3详解】 证明： 对任意位置，讨论三个差的和的奇偶性： 若全相同：三个差都为，和为偶数； 若两个相同一个不同：不妨设，则三个差为，和为，仍是偶数； 所有位置求和得：是偶数； 若三个数全为奇数，总和为奇数，与上述结论矛盾，因此三个数中至少有一个是偶数，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年阶段性练习 高三数学 2026.3 一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 4. 已知，则下列结论中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知数列的前项和为，则（ ） A. 35 B. 11 C. D. 6. 已知向量，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. -2 D. 7. 为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ） A. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C. 纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 8. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 任取一个正整数，若它是奇数，就将该数乘3再加1；若它是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数6时，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：，若，则的所有可能取值的总个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 已知直线与相交于点，直线与圆交于两点，且，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若抛物线：的焦点在直线上，则p等于______. 12. 的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________. 13. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________. 14. 设，若对任意实数，都有，则满足条件的一组实数的值依次为__________. 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①当时，为偶函数； ②当时，对任意，都有； ③当时，在上单调递减； ④存在实数，使得有2个零点. 其中正确结论的序号为__________. 三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 随着机器人的智能化､精细化发展，市场对其零部件的质量要求不断提高.现有甲､乙两台车床分别加工某种机器人的同一型号的零件.为评估这两台车床加工零件的质量，随机抽取甲､乙两台车床加工的零件各100个，记录零件质量检测结果，并整理得到数据如下表： 等级 优等品 非优等品 甲车床加工的零件数 75 25 乙车床加工的零件数 80 20 假设不同零件的质量等级相互独立，用频率估计概率. （1）分别估计甲､乙两台车床加工的零件是优等品的概率； （2）从甲车床加工的零件中随机抽取1个，乙车床加工的零件中随机抽取2个.设为这3个零件中优等品的个数，估计的数学期望； （3）在某一时段内，甲､乙两台车床加工的零件数之比为，现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优等品的概率估计值为，判断与的大小.（结论不要求证明） 18. 在中，. （1）求； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知椭圆，过点，焦距为. （1）求椭圆的方程和离心率； （2）设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（，异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； （3）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 21. 已知集合.对于，定义与的差为，；定义与之间的距离为. （1）若，写出所有的，使得； （2）已知，若，并且，求的最大值； （3）证明：三个数中至少有一个是偶数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $