1.3 直角三角形 讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

初二讲义第三讲：直角三角形 【复习巩固】 一、直角三角形 1.直角三角形 ①性质：直角三角形两锐角互余； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（九上学） ②判定：两个内角互余的三角形是直角三角形； 三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（大题不能用） 2.勾股定理及逆定理 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2． 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 二、互逆命题、互逆定理、反证法 1.在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 注：原命题成立其逆命题不一定成立。 2.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 注：一个定理的逆命题不一定成立。只有逆命题是真命题，它才有逆定理. 2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果， 从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法. 【精准突破】 一、直角三角形 例1：（两锐角互余：同角的余角相等）如图，在中，，，．D为斜边上一动点，连接，过点D作交边于点E，若为等腰三角形，则的周长为（    ） A． B．6 C． D．5 例2：（勾股定理）如图，等边三角形中，于点D，点E、F分别是上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的值为 ____________________． 例3：（含30°角的直角三角形）（1）如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（    ） A．62 B．54 C．64 D．74 （2）如图，在中，，，点D在边上，，，则的长是__________．      （3）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（    ） A．或 B． C． D．和 例4：（HL）如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（   ）． A．2 B． C．3 D． 例6：（判定）在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【实战演练】 1．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，、、都垂直于，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积是______．    3．（1）如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则的长是（    ）    A．2 B． C．6 D．8   （2）如图，是等边三角形的角平分线，，垂足为E，边的垂直平分线交于点P，交于点F．若，则的长为___________． （3）如图，是等边的高， ，在上截取，以为边作等边，分别与、相交于点、，则的值为________． （4）如图，在中，为平分线，于，于，，，则＝_______． （5）在中，，为上一点，，，，则的长是___________ 4．如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ______． 二、反证法、逆命题与逆定理 例1：命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为___________． 例2：用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，应先假设（　　） A．直角三角形中两个锐角都大于45° B．直角三角形中两个锐角都不大于45° C．直角三角形中有一个锐角大于45° D．直角三角形中有一个锐角不大于45° 【实战演练】 1．命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题为（    ） A．两个三角形的对应边相等 B．两组对应边相等的两个三角形全等 C．对应边相等的两个三角形全等 D．对应边相等的两个三角形不全等 2．下列各命题的逆命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．对顶角相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．若，则 初二讲义第三讲：直角三角形 【复习巩固】 一、直角三角形 1.直角三角形 ①性质：直角三角形两锐角互余； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（九上学） ②判定：两个内角互余的三角形是直角三角形； 三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（大题不能用） 2.勾股定理及逆定理 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2． 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 二、互逆命题、互逆定理、反证法 1.在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 注：原命题成立其逆命题不一定成立。 2.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 注：一个定理的逆命题不一定成立。只有逆命题是真命题，它才有逆定理. 3. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果， 从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法. 【精准突破】 1、 直角三角形 例1：（两锐角互余：同角的余角相等）如图，在中，，，．D为斜边上一动点，连接，过点D作交边于点E，若为等腰三角形，则的周长为（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】D 【详解】解：解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 又∵为等腰三角形， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选D． 例2：（勾股定理）如图，等边三角形中，于点D，点E、F分别是上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的值为 ____________________． 【答案】或 【详解】解：∵等边三角形中，于点D， ∴， ， 根据折叠的性质，得， 设，则， 当时， ∴ ∴ ∴， 解得； 当时， ∴ ∴， 解得； 综上所述，当是直角三角形时，的值为或． 例3：（含30°角的直角三角形）（1）如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（    ） A．62 B．54 C．64 D．74 【答案】A 【详解】解：如图所示，过作于，过作于， ， 则中，()， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 通过闸机的物体的最大宽度为()， 故选：A． （2）如图，在中，，，点D在边上，，，则的长是__________．    【答案】4 【详解】解：作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：4．    （3）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（    ） A．或 B． C． D．和 【答案】A 【详解】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图：   ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 这个等腰三角形的底角是； 当等腰三角形为钝角三角形时，如图：   ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 这个等腰三角形的底角是； 综上所述：这个等腰三角形的底角是或， 故选：A． 例4：（HL）如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（   ）． A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 例6：（判定）在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：分析各选项如下： 选项A、∵展开得即符合勾股定理逆定理，故是直角三角形； 选项B、∵ ∴． 又∵三角形内角和为， ∴，故是直角三角形； 选项C、设, 则,不能构成三角形，故该选项符合题意； 选项D、设则． ∵， ∴，解得，则，故是直角三角形． 故选：C． 【实战演练】 1．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：①： 由内角和得，解得，故为直角三角形． ②： 总份数为，最大角，故为直角三角形． ③： 变形得，则，故为直角三角形． ④： 设，则．由，解得，故为直角三角形． 综上，四个条件均成立， 故选：D． 2．如图，、、都垂直于，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积是______．    【答案】50 【详解】解：∵且，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴ ∴，， 同理证得， ∴，， ∴，， 故， 故答案为：50． 3．（1）如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则的长是（    ）    A．2 B． C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：作于，如图， ， ， 在中， ， ， ， ． 故选：B．    （2）如图，是等边三角形的角平分线，，垂足为E，边的垂直平分线交于点P，交于点F．若，则的长为___________．    【答案】3 【详解】解：连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴，， 又垂直平分， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． （3）如图，是等边的高， ，在上截取，以为边作等边，分别与、相交于点、，则的值为________． 【答案】 【详解】解：是等边三角形， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ，中， ， 故答案为：． （4）如图，在中，为平分线，于，于，，，则＝_______． 【答案】2 【详解】解：，， ， ，而， ， 为平分线， ， 于，于， ， ， ， ． 故答案为：2． （5）在中，，为上一点，，，，则的长是___________ 【答案】3 【详解】解：设，则， ，， ， 解得， ． 故答案为：3． 4．如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ______． 【答案】或 【详解】解：如图，当时，则， 由折益的性质可得， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， 由折叠的性质可得，,， ∴， ∴三点共线， 由勾股定理得：， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴，解得：， ∴， 综上可得：当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 2、 反证法、逆命题与逆定理 例1：命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为___________． 【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形 【详解】解：原命题的题设：三角形是直角三角形，结论：两个锐角互余， 交换题设和结论后，逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 例2：用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，应先假设（　　） A．直角三角形中两个锐角都大于45° B．直角三角形中两个锐角都不大于45° C．直角三角形中有一个锐角大于45° D．直角三角形中有一个锐角不大于45° 【答案】A 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设两个锐角都大于45°． 故选：A． 【实战演练】 1．命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题为（    ） A．两个三角形的对应边相等 B．两组对应边相等的两个三角形全等 C．对应边相等的两个三角形全等 D．对应边相等的两个三角形不全等 【答案】C 【详解】解：原命题可表述为“若两个三角形全等，则对应边相等”， 逆命题为“若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等”． 故选：C． 2．下列各命题的逆命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．对顶角相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．若，则 【答案】C 【详解】解：A．若，则的逆命题是若，则，是假命题； B．对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； C．两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题； D．若，则的逆命题是若，则，是假命题． 故选C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $