6.3.2-6.3.4 平面向量的正交分解及坐标表示，平面向量加、减运算的坐标表示，平面向量数乘运算的坐标表示 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§6.3.2- §6.3.4 平面向量的正交分解及坐标表示，平面向量加、减运算的坐标表示，平面向量数乘运算的坐标表示 目录 题型1：平面向量线性运算的坐标表示 3 题型2：线段的定比分点问题 7 题型3：利用坐标求向量的模 9 题型4：向量共线的坐标表示及其应用 14  由向量共线求参数 14  利用向量共线求向量或点的坐标 16 题型5：由坐标解决三点共线问题 17 题型6：用向量坐标解决几何问题 20 1. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解。此时，这两个互相垂直的向量组成的基底为正交基底。 2. 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作。 3. 平面向量与有序数对的对应关系 向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点 4. 平面向量的坐标运算 (1) 向量的加法、减法、数乘 设，，则，，， (2) 向量坐标的求法 设，，则=，. 提醒 若，，则 5. 平面向量共线的坐标表示 设，，则。 提醒 (1)当且仅当时，与等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. (2)若与不共线，且，则. 题型1：平面向量线性运算的坐标表示 方法提炼 平面向量坐标运算的技巧 (1) 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标； (2) 解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）来进行求解. 【例1.1.】 已知点，向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由条件求向量的坐标，再结合关系求结论. 【详解】因为点， 所以，又 . 故选：C. 【例1.2.】 如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、用坐标表示平面向量 【分析】根据向量的坐标运算结合已知条件列式计算求解. 【详解】用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，则，且，， 若， 则，则. 故选：D. 【例1.3.】 已知点，且为上靠近的三等分点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、用坐标表示平面向量 【分析】转化为，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】由题意得，则， , 所以的坐标为． 故选:B. 【例1.4.】 已知点，，，且，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】先求，结合平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为点，，，则，， 可得，所以点P的坐标为． 【例1.5.】 （多选）设点，，若点P在直线上，且，则点P的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据条件可得或，再根据平面向量的坐标表示即可. 【详解】因为点，，所以， 设，所以， 因为，且因为点P在直线上， 所以或， 故或, 即或，计算得或， 故P点坐标为或. 故选：AB. 【例1.6.】 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则__________. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】由向量线性运算结果求参数 【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，，，， 由，可得， ， 故答案为：2 【例1.7.】 如图，四边形是正方形，延长至，使得，若点为的中点，且，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算列式求解. 【详解】设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，如图， 则，，， 于是，由点为的中点，得， 因此，解得，所以. 题型2：线段的定比分点问题 方法提炼 线段的定比分点坐标公式 如图，线段的端点的坐标分别是，点是直线上的一点.当时，则点的坐标满足，特别地，时，即为的中点时满足 【例2.1.】 已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、线段的定比分点 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点， 设点，则，解得，所以点的坐标为. 故选：C. 【例2.2.】 已知点，点，且，则点的坐标为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】线段的定比分点 【分析】设点，根据平面向量的坐标运算及，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】设点，因为点，点，且， 所以，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 【例2.3.】 在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线段的定比分点、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求出向量的坐标，进而求出结果. 【详解】 由题意可得， 因为边的中线为，所以， 因为P为上靠近A的三等分点，所以， 所以点P的坐标为. 故选：B. 【例2.4.】 已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、线段的定比分点 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 题型3：利用坐标求向量的模 【例3.1.】 已知，则__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用坐标求向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】写出坐标，由坐标得到. 【详解】，∴. 故答案为： 【例3.2.】 已知向量，，若，则________. 【答案】2或4 【难度】0.94 【知识点】利用坐标求向量的模 【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，可得答案. 【详解】由题意，得，则，解得或4. 故答案为：或. 【例3.3.】 已知向量，，，则实数m的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用坐标求向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】先求得的坐标，再由求解. 【详解】因为向量，， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故选：D. 【例3.4.】 已知向量，，在网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）    A．8 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】由图得到坐标，根据向量的加法法则和向量模的计算公式求解. 【详解】如图，建立直角坐标系，则， 所以， 所以， 故选：C.    【例3.5.】 已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】零向量与单位向量、用坐标表示平面向量、利用坐标求向量的模 【分析】先根据坐标求出，再求出，最后利用单位向量的公式求解． 【详解】， ， , 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 【例3.6.】 已知向量满足，则_____________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用坐标求向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量坐标的线性运算和向量的模的公式计算即得. 【详解】由， 两式相加，可得,即, 两式相减，可得,即. 故. 故答案为：. 【例3.7.】 已知向量，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用坐标求向量的模、平面向量线性运算的坐标表示、求二次函数的值域或最值 【分析】由向量线性运算的坐标表示及模长公式，再结合二次函数求最值即可； 【详解】由， 可得：， 所以，当取得最小值； 故选：C 【例3.8.】 如图，在正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、交于点G，连接，若，则______． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】首先利用坐标法判断，再根据三点共线求点的坐标，最后代入两点间距离公式. 【详解】如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 设，，，，， ，，，所以， ，所以，所以， 则，即， 设，，，，， 点三点共线，则，① ，，，， 点三点共线，则，② 联立①②，解得：，， 即，， 则 题型4：向量共线的坐标表示及其应用 · 由向量共线求参数 方法提炼 已知两向量共线，求某些参数的取值，可利用“若，，则的充要条件是“”解题. 【例4.1.】 已知，，，，若与共线，则（   ） A．1 B．2 C．或2 D．或1 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数、用坐标表示平面向量 【分析】首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，，，， 所以，， 又与共线，故，解得或． 故选：D 【例4.2.】 已知向量，，，若与平行，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【详解】因为，， 则 又因为与平行， 所以， 化简：，即， 解得：. 【例4.3.】 已知向量，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】先求出与的坐标，再利用向量平行的坐标公式构造方程求解． 【详解】， ， ， ，解得，故C正确． 故选：C． 【例4.4.】 已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、由坐标判断向量是否共线、已知向量共线（平行）求参数 【分析】分析可知向量、不共线，根据题意可知，所以存在实数使，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，结合可解得的值. 【详解】因为，，且， 所以向量、不共线，且向量，方向相反， 所以存在实数使， 即， 所以，整理得，解得或， 又，所以. 故选：B. · 利用向量共线求向量或点的坐标 方法提炼 利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路 (1) 求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为，然后结合其他条件列出关于的方程（组），求出的值后代入即可得到所求的向量； (2) 求点的坐标时，可设要求点的坐标为，根据向量共线的条件列方程（组），求出 的值. 【例4.5.】 已知两点，，与平行且方向相反的向量可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】平行向量（共线向量）、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算得，再根据向量共线的坐标关系逐项判断即可得结论. 【详解】因为，，所以， 对于A，因为，所以与不平行，故A错误； 对于B，因为，所以与不平行，故B错误； 对于C，因为，所以与不平行，故C错误； 对于D，因为，所以与平行且方向相反，故D正确． 故选：D． 【例4.6.】 下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】零向量与单位向量、由坐标判断向量是否共线 【分析】由单位向量的意义和共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】对于A，因为向量的模为，故A错误； 对于B，因为，且向量的模为，故B正确； 对于C，因为向量的模为，故C错误； 对于D，因为，所以向量与向量不共线，故D错误. 故选：B. 题型5：由坐标解决三点共线问题 【例5.1.】 已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、由坐标判断向量是否共线、由坐标解决三点共线问题 【分析】先利用向量坐标运算得到相应的向量，再计算向量共线所满足的关系式，看是否为0，得到结论. 【详解】A选项，由于，故不共线， 所以A、B、C三点不共线，A错误； B选项，， 由于，故共线，A、B、D三点共线，B正确； C选项，， 由于，故不共线，A、C、D三点不共线，C错误； D选项，，故不共线，B、C、D三点不共线，D错误. 故选：B 【例5.2.】 已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由坐标解决三点共线问题 【分析】根据题意，结合向量的共线的坐标表示，列出方程组，即可求解. 【详解】因为向量是不共线的向量，且， 对于A中，设，即， 可得，此时方程组无解，所以三点不共线，所以A不正确； 对于B中，设，且，可得， 可得，解得 ，所以三点共线，所以B正确； 对于C中，设，且，可得， 可得，此时方程组无解 ，所以三点不共线，所以C不正确； 对于D中，设，可得， 可得，此时方程组无解 ，所以三点不共线，所以D不正确. 故选：B. 【例5.3.】 已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标解决三点共线问题 【分析】若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线，计算两个向量的坐标，根据向量共线的坐标表示可得实数t不能取的值. 【详解】由题可知，，. 若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线， 所以，即，所以. 故选：C. 【例5.4.】 已知向量.若三点共线，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】利用三点共线的概念进行求解. 【详解】若，，三点共线，则向量与共线， 因为，， 由共线条件可得：， 化简可得：，求解得：. 故选：A. 【例5.5.】 已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由平面向量的线性表示与共线定理求解即可. 【详解】由，，， 所以， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得， 则， 因为向量，不共线， 所以，解得：， 故选：D 题型6：用向量坐标解决几何问题 【例6.1.】 已知向量分别表示位移“向北偏东方向”“向东偏南方向”，则向量表示位移（　　） A．向正北方向 B．向正南方向 C．向西北方向 D．向东南方向 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】向量坐标的线性运算解决几何问题、用坐标表示平面向量 【分析】建立平面直角坐标系，得进行求解即可． 【详解】建立平面直角坐标系： 则，得， 则向量表示位移：向正北方向． 故选：A 【例6.2.】 已知平面内平行四边形的三个顶点，求第四个顶点的坐标． 【答案】，或，或 【难度】0.65 【知识点】平面向量有关概念的坐标表示、用坐标表示平面向量、相等向量 【分析】可分别以为对角线构建平行四边形，根据一组对边对应的向量相等求解第四个顶点的坐标. 【详解】因为，所以. 设第四个顶点的坐标为． 可分别以为对角线构建平行四边形， 如图1，若构成的平行四边形是以为对角线的平行四边形，则有. 所以，解得. 所以点的坐标为. 图1    如图2，若构成的平行四边形是以为对角线的平行四边形，则有. 所以，解得. 所以点的坐标为. 图2    如图3，若构成的平行四边形是以为对角线的平行四边形，则有. 所以，解得. 所以点的坐标为. 图3    所以，第四个顶点的坐标为，或，或. 【例6.3.】 已知点，，及． (1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ (2)四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当时，点P在x轴上；当时，点P在y轴上；当时，点P在第二象限. (2)不能，利用向量相等的几何意义即可判断 【难度】0.8 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示、向量坐标的线性运算解决几何问题、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）先由向量运算得到点坐标，再根据坐标轴和象限的坐标特征列方程或不等式求解； （2）利用平行四边形对边向量相等的性质列方程组，通过方程组是否有解判断能否构成平行四边形. 【详解】（1）因为点，，，所以＝． 若点P在x轴上，则，解得； 若点P在y轴上，则，解得； 若点P在第二象限，则，解得． 综上，当时，点P在x轴上；当时，点P在y轴上；当时，点P在第二象限. （2），． 若四边形OABP为平行四边形，需，于是，此方程组无解． 故四边形OABP不能成为平行四边形． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §6.3.2- §6.3.4 平面向量的正交分解及坐标表示，平面向量加、减运算的坐标表示，平面向量数乘运算的坐标表示 目录 题型1：平面向量线性运算的坐标表示 3 题型2：线段的定比分点问题 4 题型3：利用坐标求向量的模 5 题型4：向量共线的坐标表示及其应用 6  由向量共线求参数 6  利用向量共线求向量或点的坐标 6 题型5：由坐标解决三点共线问题 7 题型6：用向量坐标解决几何问题 8 1. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解。此时，这两个互相垂直的向量组成的基底为正交基底。 2. 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作。 3. 平面向量与有序数对的对应关系 向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点 4. 平面向量的坐标运算 (1) 向量的加法、减法、数乘 设，，则，，， (2) 向量坐标的求法 设，，则=，. 提醒 若，，则 5. 平面向量共线的坐标表示 设，，则。 提醒 (1)当且仅当时，与等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. (2)若与不共线，且，则. 题型1：平面向量线性运算的坐标表示 方法提炼 平面向量坐标运算的技巧 (1) 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标； (2) 解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）来进行求解. 【例1.1.】 已知点，向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．0 【例1.3.】 已知点，且为上靠近的三等分点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知点，，，且，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例1.5.】 （多选）设点，，若点P在直线上，且，则点P的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 【例1.6.】 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则__________. 【例1.7.】 如图，四边形是正方形，延长至，使得，若点为的中点，且，求的值． 题型2：线段的定比分点问题 方法提炼 线段的定比分点坐标公式 如图，线段的端点的坐标分别是，点是直线上的一点.当时，则点的坐标满足，特别地，时，即为的中点时满足 【例2.1.】 已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知点，点，且，则点的坐标为______． 【例2.3.】 在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 题型3：利用坐标求向量的模 【例3.1.】 已知，则__________． 【例3.2.】 已知向量，，若，则________. 【例3.3.】 已知向量，，，则实数m的值为（ ） A． B． C． D．1 【例3.4.】 已知向量，，在网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）    A．8 B． C． D． 【例3.5.】 已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【例3.6.】 已知向量满足，则_____________. 【例3.7.】 已知向量，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【例3.8.】 如图，在正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、交于点G，连接，若，则______． 题型4：向量共线的坐标表示及其应用 · 由向量共线求参数 方法提炼 已知两向量共线，求某些参数的取值，可利用“若，，则的充要条件是“”解题. 【例4.1.】 已知，，，，若与共线，则（   ） A．1 B．2 C．或2 D．或1 【例4.2.】 已知向量，，，若与平行，则（   ） A． B． C． D．1 【例4.3.】 已知向量，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【例4.4.】 已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 · 利用向量共线求向量或点的坐标 方法提炼 利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路 (1) 求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为，然后结合其他条件列出关于的方程（组），求出的值后代入即可得到所求的向量； (2) 求点的坐标时，可设要求点的坐标为，根据向量共线的条件列方程（组），求出 的值. 【例4.5.】 已知两点，，与平行且方向相反的向量可能是（   ） A． B． C． D． 【例4.6.】 下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 题型5：由坐标解决三点共线问题 【例5.1.】 已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【例5.2.】 已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【例5.3.】 已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 【例5.4.】 已知向量.若三点共线，则（    ） A． B． C．3 D．4 【例5.5.】 已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型6：用向量坐标解决几何问题 【例6.1.】 已知向量分别表示位移“向北偏东方向”“向东偏南方向”，则向量表示位移（　　） A．向正北方向 B．向正南方向 C．向西北方向 D．向东南方向 【例6.2.】 已知平面内平行四边形的三个顶点，求第四个顶点的坐标． 【例6.3.】 已知点，，及． (1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ (2)四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $