6.3.2- 6.3.4 平面向量的正交分解及坐标表示，平面向量加、减运算的坐标表示，平面向量数乘运算的坐标表示【巩固训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§6.3.2- §6.3.4 平面向量的正交分解及坐标表示，平面向量加、减运算的坐标表示，平面向量数乘运算的坐标表示 1. 已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 2. （多选）下列正确的是（    ） A．若，则与能作为一组基底 B．，则与能作为一组基底 C．与可以作为一组基底 D．若不共线，则与可以作为一组基底 3. 已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 4. 已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 5. 已知向量，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 6. （多选）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7. 若，且，则点的坐标为__________. 8. 设向量与不共线. (1)若，且，求向量的坐标和模； (2)若，且三点共线，求实数的值. 9. 已知平行四边形的三个顶点，，，设向量，． (1)若实数x，y满足，求x，y的值； (2)若单位向量与向量的方向相反，求的坐标； (3)若与平行，求实数k的值． 10. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)若，，求； (3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. 11. 已知点、、. (1)若，与共线且方向相反，求的坐标； (2)若点满足，当点在第四象限时，求的取值范围. 12. 如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §6.3.2- §6.3.4 平面向量的正交分解及坐标表示，平面向量加、减运算的坐标表示，平面向量数乘运算的坐标表示 1. 已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】相反向量、平面向量有关概念的坐标表示 【分析】根据向量的坐标表示和相反向量的概念进行求解即可. 【详解】因为，所以， 所以它的相反向量. 故选：A. 2. （多选）下列正确的是（    ） A．若，则与能作为一组基底 B．，则与能作为一组基底 C．与可以作为一组基底 D．若不共线，则与可以作为一组基底 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】由坐标判断向量是否共线、基底的概念及辨析 【分析】本题可根据向量能否作为一组基底的判定条件，即两个向量不共线时可以作为一组基底，来逐一分析选项. 【详解】选项A：判断与是否共线. ，等式成立，所以与共线，不能作为一组基底，A选项错误. 选项B：判断与是否共线. ，所以与不共线，能作为一组基底，B选项正确. 选项C：判断与是否共线. 设，可得. 若与不共线，则不存在这样的实数使得成立； 若与共线，则与共线. 由于题目未明确与是否共线，所以无法确定与是否能作为一组基底，C选项错误. 选项D：判断与是否共线.设，即. 因为，不共线，所以不存在实数使得成立. 所以与不共线，可以作为一组基底，D选项正确. 故答案为：BD. 3. 已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、向量模的坐标表示 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，得到的坐标，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得， 所以，则，所以． 4. 已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由坐标解决三点共线问题 【分析】根据共线向量的坐标表示公式计算即得. 【详解】由，可得， 因三点共线，则与共线， 故有，解得. 故选：D. 5. 已知向量，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用坐标求向量的模、由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】由于向量的坐标，求得向量的坐标，利用坐标求向量的模长，计算化简可得，即可求解. 【详解】因为， 所以， 则 故当时，取得最小值. 故选：C. 6. （多选）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.68 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标判断向量是否共线 【分析】根据题意，利用平面向量的坐标运算法则，以及向量共线的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设向量，因为由向量， 可得，即，解得， 所以，所以A正确； 对于B，由A知，所以，所以B不正确； 对于C，由B知，可得，所以，所以C正确； 对于D，由A知，可得，所以，所以D正确. 7. 若，且，则点的坐标为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由向量线性运算结果求参数 【分析】设点，利用题设等式进行坐标运算，列出方程组，求解即得. 【详解】设点，则由可得， 故有，解得， 即点的坐标为. 故答案为：. 8. 设向量与不共线. (1)若，且，求向量的坐标和模； (2)若，且三点共线，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】坐标计算向量的模、由坐标解决三点共线问题、由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）根据向量的线性坐标运算求解，根据向量模的计算公式求解模； （2）根据向量共线定理求解. 【详解】（1），所以； （2）， 因为三点共线，所以，， 即， 又与不共线， 所以，解得， 即实数的值为. 9. 已知平行四边形的三个顶点，，，设向量，． (1)若实数x，y满足，求x，y的值； (2)若单位向量与向量的方向相反，求的坐标； (3)若与平行，求实数k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】坐标计算向量的模、由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示、平面向量基本定理的应用 【分析】（1根据题意可得，，则，利用相等向量求解； （2）根据，可得，再根据求解； （3）根据平面向量共线的坐标表示求解. 【详解】（1）平行四边形ABCD的三个顶点，，， 向量，， 由，即， 所以，得； （2）设， 根据，即， 所以，即， 所以； （3）由于，， 又与平行， 所以，得. 10. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)若，，求； (3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由坐标解决线段平行和长度问题、平面向量线性运算的坐标表示、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）由向量加法得到，由于三点共线，则存在实数，使得，然后建立方程求得； （2）由（1）写出，然后由得到向量坐标，由坐标求得模长； （3）由（2）得到，坐标，由得到坐标，设点坐标得到点坐标，即可得到坐标，由平行四边形得到，建立方程解出点坐标. 【详解】（1）， 当三点共线时，存在实数，使得， 即， 即，解得. （2）由（1）可知， ∴， ∴. （3），， ∴， 设，∴， ∴， 在平行四边形中，，即，解得， ∴. 11. 已知点、、. (1)若，与共线且方向相反，求的坐标； (2)若点满足，当点在第四象限时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】向量模的坐标表示、由坐标解决线段平行和长度问题、由向量线性运算结果求参数 【分析】（1）设，则，利用平面向量的模长公式可求出的值，即可得出向量的坐标； （2）根据平面向量的坐标运算可得出点的坐标，根据点在第四象限可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由已知可得，因为与共线且方向相反，设，则， 由平面向量的模长公式可得，解得， 故. （2）由已知可得，则， 设点，则，则，解得， 即点， 因为点在第四象限，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 12. 如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由坐标解决线段平行和长度问题、由坐标解决三点共线问题、由向量线性运算结果求参数 【分析】（1）以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解； （2）根据三点共线和三点共线，结合共线向量的坐标公式求出点的坐标，再求出即可. 【详解】（1）以点为坐标原点，分别以，方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 由可得：， 所以，解得， 因此； （2）设，因为三点共线，所以 则存在唯一实数，使得， 则，可得，， 即， 又三点共线，且，，则， 所以，解得， 则，所以， 所以， 所以线段的长. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $