八年级数学下学期第一次月考自测卷【内蒙古专用，测试范围：新教材人教版八下第19～20章】

( 11 ) 2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考自测卷 ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )答题卡 ( 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、填空题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。 9 . _______________ 1 0 . ___________ 1 1 . _________________ 1 2 . __________________ 三 、解答题：本题共 6 小题，共 64 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 。 13.（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （ 10 分） 15 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16 ．（ 10 分） 17 ．（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考自测卷 （考试时间：100分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册第19~20章。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（本题3分）下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列各组数是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（本题3分）下列各式中，化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）下列命题中错误的是（   ） A．一定是个二次根式 B．若为有理数，则是它的算术平方根（   ） C．化简的结果是 D．若二次根式有意义，则x的取值范围为 6．（本题3分）如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则长为（    ） A． B．3 C．4 D．5 7．（本题3分）如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （    ） A．海里/时 B．20海里/时 C．海里/时 D．海里/时 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9．（本题3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 10．（本题3分）有一个密码系统，其原理如图所示，当输入x的值为时，输出的结果是 ． 11．（本题3分）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ．    12．（本题3分）如图，，过作，得；再过作且，得，又过作且，得；…依此法继续作下去，得 ．    三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13．（本题10分）计算： (1)； (2)． 14．（本题10分）已知，求的值． 15．（本题10分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，一小时后，小东距哥哥多远？ 16．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的正方形方格的格点上．    (1)写出点，，的坐标：____，____，____． (2)求出的面积． (3)在y轴上确定点P，使得到、的距离之和最小，并求出最小值．（画出示意图，并标明点的位置） 17．（本题12分）如图分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿、箱长、拉杆的长度都相等，即，点、在线段上，点在上，支杆．若时，，相距，试判定与的位置关系，并说明理由．     18．（本题12分）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．请回答下列问题： (1)请叙述勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 　　； (2)请你利用会徽中的“弦图”证明勾股定理． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考自测卷 （考试时间：100分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册第19~20章。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（本题3分）下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列各组数是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（本题3分）下列各式中，化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）下列命题中错误的是（   ） A．一定是个二次根式 B．若为有理数，则是它的算术平方根（   ） C．化简的结果是 D．若二次根式有意义，则x的取值范围为 6．（本题3分）如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则长为（    ） A． B．3 C．4 D．5 7．（本题3分）如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （    ） A．海里/时 B．20海里/时 C．海里/时 D．海里/时 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9．（本题3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 10．（本题3分）有一个密码系统，其原理如图所示，当输入x的值为时，输出的结果是 ． 11．（本题3分）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ．    12．（本题3分）如图，，过作，得；再过作且，得，又过作且，得；…依此法继续作下去，得 ．    三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13．（本题10分）计算： (1)； (2)． 14．（本题10分）已知，求的值． 15．（本题10分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，一小时后，小东距哥哥多远？ 16．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的正方形方格的格点上．    (1)写出点，，的坐标：____，____，____． (2)求出的面积． (3)在y轴上确定点P，使得到、的距离之和最小，并求出最小值．（画出示意图，并标明点的位置） 17．（本题12分）如图分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿、箱长、拉杆的长度都相等，即，点、在线段上，点在上，支杆．若时，，相距，试判定与的位置关系，并说明理由．     18．（本题12分）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．请回答下列问题： (1)请叙述勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 　　； (2)请你利用会徽中的“弦图”证明勾股定理． 2 / 4 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考自测卷 答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 =。==。一-一。===-▣-▣=。▣=一=。。一=-=▣▣==一。一- 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、 选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 日 目要求的。 1.A1[B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.A1[B1[C][D1 6.[A1[B1[C1[D] 3.[A][B][C][D] 7.[AI[B1[C1[D] 4.A]IB][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 10 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 14.(10分) 15.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(10分) 4 : A: 3 ; : --1 B 3 2-1 2 3 4 .-1 C …2 3 : 17.(12分) PA 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(12分) ICM 2002 弦图 Beijing 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考自测卷 （考试时间：100分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册第19~20章。 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A． ：被开方数为负数，在实数范围内无意义，不是二次根式，不符合题意． B． 不是二次根式，不符合题意； C． ：当时被开方数非负，但时无意义，不一定是二次根式，不符合题意； D． ：无论取何值，，故，被开方数恒正，一定是二次根式，符合题意． 故选：D． 2．（本题3分）下列各组数是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】根据勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，据此解答即可． 【详解】解：A．∵，，不都是正整数， ∴这组数不是勾股数， 故此选项不符合题意； B．∵，且，，是正整数， ∴这组数是勾股数， 故此选项符合题意； C．∵， ∴这组数不能构成直角三角形， ∴这组数不是勾股数， 故此选项不符合题意； D．∵，，不是正整数， ∴这组数不是勾股数， 故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股数的定义，熟记勾股数的定义是解题的关键． 3．（本题3分）下列各式中，化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和同类二次根式，熟记同类二次根式的定义是解题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，然后逐项判定即可． 【详解】解：A．与不能合并，故本选项不符合题意；     B．与不能合并，故本选项不符合题意；         C．与不能合并，故本选项不符合题意；         D．与能合并，故本选项符合题意．     故选：D． 4．（本题3分）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的除法、二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】此题考查了二次根式的性质以及二次根式的乘除和加减运算．根据二次根式的性质以及二次根式的乘除和加减运算，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、、被开方数为负数，没有意义，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 故选：D． 5．（本题3分）下列命题中错误的是（   ） A．一定是个二次根式 B．若为有理数，则是它的算术平方根（   ） C．化简的结果是 D．若二次根式有意义，则x的取值范围为 【答案】A 【知识点】判断命题真假、利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件、求一个数的算术平方根 【分析】根据二次根式的概念，算术平方根的意义，利用二次根式的性质化简，二次根式有意义的条件，逐一分析各选项的正误． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数非负，但选项未限定a的范围，当a为负数时，无意义，所以不一定是二次根式，故A错误，符合题意； 由算术平方根定义，非负有理数a的算术平方根为，故B正确，但不符合题意； ==，故C正确，但不符合题意； 分母要求，即，故D正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简，算术平方根的意义，二次根式的概念，解题关键是掌握上述知识，并能熟练运用求解． 6．（本题3分）如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则长为（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线，勾股定理的应用，掌握相关知识点是解题的关键． 利用说明垂直平分和，运用勾股定理便可解决问题． 【详解】解：根据题意可知，以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P， ∴垂直平分，即， ∴， 又∵在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，其中， ∴， 在中，， 故选C． 7．（本题3分）如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，熟记实数和数轴的关系是解题的关键． 根据正方形的面积求出的长，再根据勾股定理求得，再结合数轴确定点E表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为1， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，（点E在点A的左侧）， ∴， ∵点A表示的数是1， ∴点E所表示的数为． 故选：D． 8．（本题3分）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东 方向航行，乙轮船向南偏西 方向航行． 已知它们离开港口 2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为 （    ） A．海里/时 B．20海里/时 C．海里/时 D．海里/时 【答案】D 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，设它们离开港口2时后，甲轮船行驶到点B，乙轮船行驶到点A，由题意可得，的长，再利用勾股定理求出的长，根据速度路程时间可得答案．熟练掌握方向角的定义、勾股定理是解答本题的关键． 【详解】解：设它们离开港口2时后，甲轮船行驶到点B，乙轮船行驶到点A， 由题意得，，(海里)，(海里)， 由勾股定理得，OA(海里)， ∴乙轮船的平均速度为2(海里/时)． 故选：D． 二、填空题（共12分） 9．（本题3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵ 代数式 有意义， ∴，解得：． 故答案为：． 10．（本题3分）有一个密码系统，其原理如图所示，当输入x的值为时，输出的结果是 ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，计算即可求得答案． 【详解】原式． 故答案为：． 11．（本题3分）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ．    【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查根据数轴判断式子符号及根式的性质，根据数轴判断与和0的关系，再根据二次根式的性质化简即可得到答案； 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（本题3分）如图，，过作，得；再过作且，得，又过作且，得；…依此法继续作下去，得 ．    【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形 【分析】首先根据勾股定理求出，再由的长度找到规律进而求出的长． 【详解】解：由勾股定理得： ，，，，…； 依此类推可得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，数式规律；熟练掌握勾股定理，由已知数据找到规律是解题的关键． 三、解答题（共64分） 13．（本题10分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的加减，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据乘方的意义、有理数的除法、二次根式的性质、绝对值的意义化简，再算加减； （2）先把括号内通分，并把除法转化为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（本题10分）已知，求的值． 【答案】 【知识点】分式化简求值、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了异分母分式减法运算，平方差公式，因式分解的应用，熟练掌握知识点是解题的关键.先计算，再将化为代入计算即可． 【详解】解：依题意，得 ， ∴． 15．（本题10分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，一小时后，小东距哥哥多远？ 【答案】10km 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】据题意求出小东与哥哥各自行走的距离，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意得，AC=6×1=6km，BC=8×1=8km，∠ACB=90°， 则AB= =10km． 答：一小时后，小东距哥哥10km． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、灵活运用勾股定理是解题的关键． 16．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的正方形方格的格点上．    (1)写出点，，的坐标：____，____，____． (2)求出的面积． (3)在y轴上确定点P，使得到、的距离之和最小，并求出最小值．（画出示意图，并标明点的位置） 【答案】(1)，， (2)9 (3)点P见解析，最小值为． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、勾股定理与网格问题、画轴对称图形 【分析】（1）利用点的坐标的表示方法求解； （2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算的面积； （3）直接利用对称点求最短路线的方法得出答案． 【详解】（1）解：由图形得，，，， 故答案为：，，； （2）解：的面积； （3）解：如图，点P即为所求．    根据两点间线段最短可知，最小值． 【点睛】本题考查了画轴对称图形、点坐标，两点间线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键． 17．（本题12分）如图分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿、箱长、拉杆的长度都相等，即，点、在线段上，点在上，支杆．若时，，相距，试判定与的位置关系，并说明理由．     【答案】，详见解析 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理；根据题意求得的长，勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可求解． 【详解】解：， 理由：连接，如图， ∵，， ∴ ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 18．（本题12分）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．请回答下列问题： (1)请叙述勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 　　； (2)请你利用会徽中的“弦图”证明勾股定理． 【答案】(1)a2+b2＝c2； (2)见解析 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、勾股定理的证明方法 【分析】（1）用符合语音叙述勾股定理即可； （2）根据四个全等直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积列出等量关系即可证明． 【详解】（1）解：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2， 故答案为：a2+b2＝c2； （2）证明：∵大正方形的面积为c2，小正方形的面积为（b-a）2=b2-2ab+a2，4个直角三角形的面积为4×ab=2ab， ∴2ab+ b2-2ab+a2=c2，即a2+b2＝c2． 【点睛】本题考查勾股定理的证明、完全平方公式，利用“分割法”求解几何图形的面积是解答的关键． 2 / 12 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考自测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D D A C D D 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9． 10． 11． 12． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13．（本题10分） 【详解】（1）解：原式 ；（5分） （2）解：原式 ．（5分） 14．（本题10分） 【详解】解：依题意，得 ，（5分） ∴．（5分） 15．（本题10分） 【详解】解：由题意得，AC=6×1=6km，BC=8×1=8km，∠ACB=90°， 则AB= =10km． 答：一小时后，小东距哥哥10km． 16．（本题10分） 【详解】（1）解：由图形得，，，， 故答案为：，，；（3分） （2）解：的面积；（3分） （3）解：如图，点P即为所求．    根据两点间线段最短可知，最小值．（4分） 17．（本题12分） 【详解】解：， 理由：连接，如图， ∵，， ∴（5分） ∵，， ∴，， ∴， ∴，（5分） ∴．（2分） 18．（本题12分） 【详解】（1）解：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2， 故答案为：a2+b2＝c2；（6分） （2）证明：∵大正方形的面积为c2，小正方形的面积为（b-a）2=b2-2ab+a2，4个直角三角形的面积为4×ab=2ab， ∴2ab+ b2-2ab+a2=c2，即a2+b2＝c2．（6分） 2 / 3 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $