周周练11 第十章 二元一次方程组综合训练含三元一次方程组的解法（数学新教材人教版七年级下册）

2025-2026学年七年级下学期数学周周练11 第十章 二元一次方程组综合训练含三元一次方程组的解法 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C A B C A A B 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11． 12．5 13．2 14．90 15．或 三、解答题：本题共6小题,第16题6分，第17、18题每题8分，第19题10分，第20题11分，第21题12分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． 【详解】（1）解：， 得：③， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， 所以方程组的解是．.............3分 （2）解： 由③得：④ 将④代入①得：⑤， 将④代入②得：⑥， 得：， 解得：， 把代入⑥得， 解得： 所以方程组的解是．.............6分 17． 【详解】（1）解：设甲商品的进价为元，乙商品的进价为元，根据题意得， 解得： 答：甲商品的进价为元，乙商品的进价为元.............4分 （2）∵甲商品每件利润为销售价减进价：元 乙商品每件利润为销售价减进价：元 销售甲件，利润为元 销售乙件，利润为元 总利润为元 答：该天销售甲、乙两种商品的总利润为元.............8分 18． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得.............4分 （2）解：根据题意，得 解得 所以， 解得．.............8分 19． 【详解】（1）解：①点的坐标为， 它的“美点”坐标为，即．.............2分 ②设点的坐标为， 由题意可知， 解得， 点的坐标为；.............4分 （2）解：点， 它的“美点” 坐标为，即， 当位于轴上， ， 解得， 当位于轴上， ， 解得：． 综上所述，的值为或．.............10分 20． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生；.............3分 （2）解：根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 共有3种租车方案， 方案1：租用24辆小客车，4辆大客车； 方案2：租用15辆小客车，8辆大客车； 方案3：租用6辆小客车，12辆大客车．.............8分 （3）解：方案一所需租金为（元）； 方案二所需租金为（元）； 方案三所需租金为（元）； ， 最省钱的租车方案是方案三，即租用6辆小客车，12辆大客车，最少租车费为3360元．.............11分 21． 【详解】（1）解：， ，得， ∴， ，得， ，得， ∴， 将代入，得， ∴原方程组的解是．.............4分 （2）解：， ，得， ∴， ，得， ，得， ∴， 将代入，得， ∴原方程组的解是．.............8分 （3）解：， ，得， ∵， ∴， ∴， ，得， ，得， 将代入，得， ∴原方程组的解是．.............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学周周练11 第十章 二元一次方程组综合训练含三元一次方程组的解法 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知三元一次方程组，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡为一群、七鸭为另一群，两群共重24千克，鸡重鸭轻，若从两群中各取一只互换，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 6．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（    ） A．4 B．2 C． D．±2 7．二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A． B． C．8 D．10 8．若关于的方程组与的解相同，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．0 9．若关于的方程组的解为，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 10．已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ____________． 12．若关于，的方程组的解满足，则的值为________． 13．若是关于x，y的二元一次方程，则_______． 14．如图，3张凳子叠放在一起的高度为，5张凳子叠放在一起的高度为．当有10张凳子叠放在一起时，其高度是________ ． 15．已知方程组，若方程组有非负整数解，则正整数的值是_________． 三、解答题：本题共6小题,第16题6分，第17、18题每题8分，第19题10分，第20题11分，第21题12分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解方程组 (1) (2) 17．某商场购进商品后，均加价后作为销售价．元旦当天商场开展优惠促销活动，甲商品打折出售，乙商品降价元出售．某顾客购买甲、乙两种商品各一件，共付款元．这两种商品的进价之和为元． (1)甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)元旦当天甲商品销售件，乙商品销售件，该天销售甲、乙两种商品的总利润为多少元？ 18．对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知． (1)求a，b的值． (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 19．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美点”为点Q． (1)①求点的“美点”坐标； ②若点P的“美点”Q的坐标为，求点P的坐标； (2)若点的“美点”位于坐标轴上，直接写出m的值． 20．研学是一种很好的体验式学习方式，为拓宽学生视野，增强对自然与社会的认识，直观了解课本知识，学校组织八年级660名学生到郊外参加研学活动．已知用3辆小客车和2辆大客车每次可运送学生150人，用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生85人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若1辆小客车需租金120元/次，1辆大客车需租金220元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 21．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单 ，得，所以， ，， ，得，从而得， 所以原方程组的解是． (1)请你运用上述方法，解方程组； (2)请你运用上述方法，解方程组； (3)请你直接写出方程组的解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学周周练11 第十章 二元一次方程组综合训练含三元一次方程组的解法 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个未知数；②每个未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(即分母不含未知数)．解题时需依据这三个条件对每个选项逐一判断． 【详解】解：中，未知数项的次数为，不满足“未知数的项的次数都是1”的要求，不是二元一次方程； 是一个多项式，不是等式，不满足方程的定义，不是二元一次方程； 的分析含未知数，方程不属于整式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程； 含有两个未知数、，每个未知数的项的次数都是1，且是整式等式，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； 故选：D． 2．以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知点的坐标判断其所在象限．掌握解二元一次方程组的方法和各象限内点的坐标特征是解题的关键． 先解方程组求出x和y的值，再根据坐标的符号判断所在象限. 【详解】解： ①+②，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， ∴方程组的解为 ∴ 点坐标为， ∵,， ∴ 该点在第三象限． 故选：C． 3．已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程解答即可求解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：． 4．已知三元一次方程组，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程组的简便求解，核心是运用整体思想，无需单独求解、、的具体值，通过将三个方程左右两边分别相加，可快速得到的值． 【详解】解：已知三元一次方程组， 将三个方程左右两边分别相加，得：， 即， 两边同时除以2，得：； 故选：C． 5．《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡为一群、七鸭为另一群，两群共重24千克，鸡重鸭轻，若从两群中各取一只互换，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总重量和互换后重量相等两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组． 【详解】解：∵设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，六鸡、七鸭共重24千克， ∴可得第一个方程，可排除B、C选项； 互换其中一只后，一侧为5只鸡加1只鸭，另一侧为6只鸭加1只鸡，二者重量相等， ∴可得第二个方程； 联立得方程组． 6．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（    ） A．4 B．2 C． D．±2 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及算术平方根，把x与y的值代入方程组，求出的值，即可求解算术平方根． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解 ∴， 由①②得， 则的算术平方根为， 故选：B． 7．二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，进而可得答案． 【详解】解：对方程组， ②－①×2，得， ∴， ∵关于x、y的方程组的解为整数， ∴，即， ∴满足条件的所有a的值的和为． 故选：C． 8．若关于的方程组与的解相同，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，体现了整体思想，直接两式相加求出a+b的值是解题的关键． 联立不含的两个方程求出的值，把的值代入另外两个方程，两式相加即可得到的值． 【详解】解：联立， 解得：， 代入另外两个方程得：， 两式相加得：， 所以：． 故选：A． 9．若关于的方程组的解为，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的意义． 整理方程组，从形式上和原方程组相同，然后根据方程组的解进行求解即可． 【详解】解：， 整理得， 对照得，， 解得， 故选：A． 10．已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程组中的两个方程变形后，消掉a即可得，再结合不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，进行分析，可得出结论． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 可得， 即， ∴ 则 ∵不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变， ∴， ∴， 故k的值为， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ____________． 【答案】 【分析】本题考查了用含一个未知数的代数式表示另一个未知数． 将x视为已知数，通过解方程求出y的表达式 【详解】解：解方程， 移项得， 两边同时除以2得． 故答案为：． 12．若关于，的方程组的解满足，则的值为________． 【答案】5 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 解法一：联立方程和解出，，再代入求出的值即可． 解法二：两个方程相加，再建立关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解法一：联立方程组， 解得， 将，代入， 得， 解得， 解法二： ，得 ， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：5． 13．若是关于x，y的二元一次方程，则_______． 【答案】2 【分析】根据关于，的方程是二元一次方程，得到，解答即可． 本题考查了二元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：由关于，的方程是二元一次方程， 故，， 解得，且， 故， 故答案为：2． 14．如图，3张凳子叠放在一起的高度为，5张凳子叠放在一起的高度为．当有10张凳子叠放在一起时，其高度是________ ． 【答案】90 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设张凳子的高度为，每叠放张凳子高度增加，根据“3张凳子叠放在一起的高度为，5张凳子叠放在一起的高度为”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可求出，的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设张凳子的高度为，每叠放张凳子高度增加， 依题意得 解得 ∴， ∴当有张凳子叠放在一起时，其高度是． 故答案为：． 15．已知方程组，若方程组有非负整数解，则正整数的值是_________． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解，关键是参数的解方程组得到和的表达式，根据非负整数解的条件，从而确定正整数的可能取值。 【详解】解： 解方程组得：， ∵方程组有非负整数解， ∴的值为：或或， ∴的值为或或， ∴正整数的值为：或． 故答案为：或． 三、解答题：本题共6小题,第16题6分，第17、18题每题8分，第19题10分，第20题11分，第21题12分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用代入消元法解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：③， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， 所以方程组的解是． （2）解： 由③得：④ 将④代入①得：⑤， 将④代入②得：⑥， 得：， 解得：， 把代入⑥得， 解得： 所以方程组的解是． 17．某商场购进商品后，均加价后作为销售价．元旦当天商场开展优惠促销活动，甲商品打折出售，乙商品降价元出售．某顾客购买甲、乙两种商品各一件，共付款元．这两种商品的进价之和为元． (1)甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)元旦当天甲商品销售件，乙商品销售件，该天销售甲、乙两种商品的总利润为多少元？ 【答案】(1)甲商品的进价为元，乙商品的进价为元 (2)该天销售甲、乙两种商品的总利润为元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用； （1）设甲商品的进价为元，乙商品的进价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据（1）的结论，分别计算甲、乙的利润，即可求解． 【详解】（1）解：设甲商品的进价为元，乙商品的进价为元，根据题意得， 解得： 答：甲商品的进价为元，乙商品的进价为元 （2）∵甲商品每件利润为销售价减进价：元 乙商品每件利润为销售价减进价：元 销售甲件，利润为元 销售乙件，利润为元 总利润为元 答：该天销售甲、乙两种商品的总利润为元 18．对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知． (1)求a，b的值． (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出方程是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于、的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于、的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得 （2）解：根据题意，得 解得 所以， 解得． 19．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美点”为点Q． (1)①求点的“美点”坐标； ②若点P的“美点”Q的坐标为，求点P的坐标； (2)若点的“美点”位于坐标轴上，直接写出m的值． 【答案】(1)①；② (2)m的值为或 【分析】本题主要考查坐标的求解、一元一次方程、二元一次方程组的应用等知识点，熟知“美点”的定义是解题的关键． （1）①根据“美点”的定义即可求解； ②设点的坐标为，根据“美点”的定义列出方程组解出，，即可求解； （2）先表示出点的“美点”，再分在轴、轴两种情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：①点的坐标为， 它的“美点”坐标为，即． ②设点的坐标为， 由题意可知， 解得， 点的坐标为； （2）解：点， 它的“美点” 坐标为，即， 当位于轴上， ， 解得， 当位于轴上， ， 解得：． 综上所述，的值为或． 20．研学是一种很好的体验式学习方式，为拓宽学生视野，增强对自然与社会的认识，直观了解课本知识，学校组织八年级660名学生到郊外参加研学活动．已知用3辆小客车和2辆大客车每次可运送学生150人，用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生85人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若1辆小客车需租金120元/次，1辆大客车需租金220元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生 (2)共有3种租车方案， 方案1：租用24辆小客车，4辆大客车； 方案2：租用15辆小客车，8辆大客车； 方案3：租用6辆小客车，12辆大客车 (3)最省钱的租车方案是方案三，即租用6辆小客车，12辆大客车，最少租车费为3360元 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系正确列式是关键． （1） 设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，结合题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意得：，由二元一次方程的解的方法求解即可； （3）根据（2）中的方法，结合题意分别算出各自的费用，再比较即可求解． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）解：根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 共有3种租车方案， 方案1：租用24辆小客车，4辆大客车； 方案2：租用15辆小客车，8辆大客车； 方案3：租用6辆小客车，12辆大客车． （3）解：方案一所需租金为（元）； 方案二所需租金为（元）； 方案三所需租金为（元）； ， 最省钱的租车方案是方案三，即租用6辆小客车，12辆大客车，最少租车费为3360元． 21．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单 ，得，所以， ，， ，得，从而得， 所以原方程组的解是． (1)请你运用上述方法，解方程组； (2)请你运用上述方法，解方程组； (3)请你直接写出方程组的解． 【答案】(1) 原方程组的解是； (2) 原方程组的解是； (3) 原方程组的解是． 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1），得，可得，，可得，可得，代入，可得，即可得原方程的解； （2），得，可得，，可得，可得，代入，可得，即可得原方程的解； （3），得，由，可得，从而可得，，可得，代入，可得，即可得原方程的解． 【详解】（1）解：， ，得， ∴， ，得， ，得， ∴， 将代入，得， ∴原方程组的解是． （2）解：， ，得， ∴， ，得， ，得， ∴， 将代入，得， ∴原方程组的解是． （3）解：， ，得， ∵， ∴， ∴， ，得， ，得， 将代入，得， ∴原方程组的解是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $