第四单元：比例（复习课件）数学人教版六年级下册

单元复习课件 小学数学·六年级下册·人教版 第四单元：比例 单元知识框架 01 知识点梳理 02 重难点题型精讲 03 变式巩固练习 04 单元知识框架 比例 比例的意义 比例的定义及核心条件 比和比例的联系和区别 比例的各部分名称 比例的基本性质 比例的基本性质 判断两个比能否组成比例的方法 解比例 正比例 相关联的量 正比例的定义及字母表达式 正比例的关键特征及图象 反比例 反比例的定义及字母表达式 反比例的关键特征及图象 比例尺 比例尺的意义 比例尺的分类 比例尺的实际应用 比例的应用 单元知识框架 知识点1： 比例的意义和基本性质 1 比例的意义和基本性质 1、比例的意义 （1）定义：表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）核心条件：两个比的比值相等，才能组成比例。 （3）比和比例的联系和区别 知识点梳理 2、比例的各部分名称 组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 3、比例的基本性质 比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 知识点梳理 4、判断两个比能否组成比例的方法 （1）求出比值，看它们的比值是否相等； （2）根据比例的基本性质求“积”，看两个外项的积是否等于两个内项的积。 5、解比例 （1）定义：求比例中的未知项，叫做解比例。 （2）解比例的依据：比例的基本性质。 （3）解比例的方法：利用比例的基本性质将比例转化为外项之积与内项之积相等的等式，再通过解方程求出未知项的值。 知识点梳理 【易错点】 （1）混淆“比”和“比例”：认为“两个数的比就是比例”，忽略比例是“两个相等比的等式”。 （2）找错内项和外项：在分数形式的比例中，误将分子和分子当作内项，实际交叉相乘的两项分别为外项和内项。 知识点梳理 【典型例题1】在比例10∶35＝6∶21中，如果将第二个比的前项加上30，第一个比的后项和第二个比的后项不变，那么第一个比的前项应加上（ ）才能使该比例成立。 A．60 B．50 C．40 D．30 根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，先求出第二个比的前项加上30，两个内项的积，（6＋30）×35＝1260 用第二个比的前项增加30后两个内项的积除以21，求出另一个外项应该是几，减去原来的这个外项即可。1260÷21－10＝50 考点1：比例的意义和基本性质 B 重难点题型精讲 【典型例题2】能与3∶8组成比例的是（ ）。 A．8∶3 B．0.2∶0.5 C．15∶40 D．6∶11 3∶8＝3÷8＝0.375 A．8∶3＝8÷3＝，0.375≠，所以8∶3不能与3∶8组成比例； B．0.2∶0.5＝0.2÷0.5＝0.4，0.4≠0.375，所以0.2∶0.5不能与3∶8组成比例； C．15∶40＝15÷40＝0.375，0.375＝0.375，所以15∶40能与3∶8组成比例； D．6∶11＝6÷11＝，≠0.375，所以6∶11不能与3∶8组成比例。 C 重难点题型精讲 【练习】在a∶b＝c∶d中，b扩大到原来的5倍，要使比例成立，下列正确的是（     ）。 A．c也扩大到原来的5倍 B．d扩大到原来的5倍 C．a缩小到原来的 D．a和c同时缩小到原来的 由a∶b＝c∶d可知，ad＝bc； A．b扩大到原来的5倍，c也扩大到原来的5倍，则两个内项的积是ad，两个外项的积5b×5c＝25bc，ad≠25bc，比例不成立，原题说法错误； B．b扩大到原来的5倍，d扩大到原来的5倍，则两个外项的积是a×5d＝5ad，两个内项的积是5b×c＝5bc，5ad＝5bc，比例成立，原题说法正确； 变式巩固练习 【练习】在a∶b＝c∶d中，b扩大到原来的5倍，要使比例成立，下列正确的是（     ）。 A．c也扩大到原来的5倍 B．d扩大到原来的5倍 C．a缩小到原来的 D．a和c同时缩小到原来的 C．b扩大到原来的5倍，a缩小到原来的，则两个外项的积是ad，两个内项的积是5bc，ad≠5bc，比例不成立，原题说法错误； D．b扩大到原来的5倍，a和c同时缩小到原来的，则两个外项的积是ad，两个内项的积是5b×c＝bc，ad≠bc，比例不成立，原题说法错误。 B 变式巩固练习 【典型例题】若x∶4＝0.5∶2，则x的值是（ ）。 A．1 B．0.5 C．0.25 根据比例的基本性质：内项积＝外项积，积原式变为：2x＝4×0.5，再根据等式的性质2解方程求出x的值即可。 x∶4＝0.5∶2 解：2x＝4×0.5 2x＝2 2x÷2＝2÷2 x＝1 考点2：解比例 A 重难点题型精讲 【练习】解比例。 2.8∶x＝0.2∶1.4         x∶30＝61∶65          解：0.2x=2.8×1.4 0.2x=3.92 x=3.92÷0.2 x=19.6 解： 65x=30×61 65x=1830 x=1830÷65 x 解：35x=4.2×6 35x=25.2 x=25.2÷35 x=0.72 变式巩固练习 【典型例题1】下面几组相关联的量中，成正比例关系的是（ ）。 A．圆的面积和它的半径 B．被减数一定，减数和差 C．订阅《小学生数学报》的份数和总钱数 D．三角形的面积一定，它的底和高 A．圆的面积公式：，即与成正比，所以圆的面积和它的半径不成正比例关系； B．减数＋差＝被减数（一定），减数与差的和为定值，属于加法关系，所以不成正比例； 考点3：正比例的意义和应用 重难点题型精讲 知识点2： 正比例 2 正比例 1、相关联的量：两种量中，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量叫做相关联的量。 2、正比例 （1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 知识点梳理 （2）字母表达式：如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为。 （3）关键特征：比值一定，变化方向相同（一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小）。 （4）正比例的图象：如果把成正比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，形成一条射线；反之，该射线上的每一个点对应的就是正比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 知识点梳理 【典型例题1】下面几组相关联的量中，成正比例关系的是（ ）。 A．圆的面积和它的半径 B．被减数一定，减数和差 C．订阅《小学生数学报》的份数和总钱数 D．三角形的面积一定，它的底和高 A．圆的面积公式：，即 与成正比，所以圆的面积和它的半径不成正比例关系； B．减数＋差＝被减数（一定），减数与差的和为定值，属于加法关系，所以不成正比例； 考点3：正比例的意义和应用 重难点题型精讲 【典型例题1】下面几组相关联的量中，成正比例关系的是（ ）。 A．圆的面积和它的半径 B．被减数一定，减数和差 C．订阅《小学生数学报》的份数和总钱数 D．三角形的面积一定，它的底和高 C． （一定），所以订阅《小学生数学报》的份数和总钱数成正比例关系； 考点3：正比例的意义和应用 重难点题型精讲 【典型例题1】下面几组相关联的量中，成正比例关系的是（ ）。 A．圆的面积和它的半径 B．被减数一定，减数和差 C．订阅《小学生数学报》的份数和总钱数 D．三角形的面积一定，它的底和高 D．三角形面积公式：，当一定时，底×高＝，属于反比例关系，所以不成正比例关系。 考点3：正比例的意义和应用 C 重难点题型精讲 【典型例题2】小红的身高是1.2米，她直直的站立在操场上，测得她的影子长是2米。如果在同一时间、同一地点，测得一根直立在操场上的竹竿的影子长是3米，这根竹竿的高是多少米？（用比例解） 【分析】在同一时间、同一地点，物体的高度和它的影子的长度的比值是一定的，即物体高度与影子长度成正比例关系。设这根竹竿的高是x米，可以根据这个正比例关系来列比例：1.2∶2＝x∶3，解出比例，即可求出竹竿的高度。 重难点题型精讲 【典型例题2】小红的身高是1.2米，她直直的站立在操场上，测得她的影子长是2米。如果在同一时间、同一地点，测得一根直立在操场上的竹竿的影子长是3米，这根竹竿的高是多少米？（用比例解） 【详解】解：设这根竹竿的高是x米。 1.2∶2＝x∶3 2x＝1.2×3 2x＝3.6 2x÷2＝3.6÷2 x＝1.8 答：这根竹竿的高是1.8米。 重难点题型精讲 【练习】一艘轮船从甲港开往乙港，前2小时行驶了60千米。照这样的速度，从甲港到乙港还需要13小时，甲乙两港相距多远？（用比例解答） 【分析】根据题意可知，轮船行驶的速度一定，行驶的路程与时间成正比例，设13小时行驶x千米，列比例：60∶2＝x∶13，解比例，求出13小时行驶的路程，再加上2小时行驶的路程，即可求出甲乙两港的距离。 变式巩固练习 【练习】一艘轮船从甲港开往乙港，前2小时行驶了60千米。照这样的速度，从甲港到乙港还需要13小时，甲乙两港相距多远？（用比例解答） 【详解】解：设13小时行驶x千米。 60∶2＝x∶13 2x＝60×13 2x＝780 x＝780÷2 x＝390 390＋60＝450（千米） 答：甲乙两港相距450千米。 变式巩固练习 【典型例题】下图反映了某种花布购买的米数和应付钱数的关系。 （1）由图可见，购买的米数和应付的钱数成（ ）比例关系。 （2）从图中可知，32元可买（ ）米布；买5米布应付（ ）元。 （1）应付钱数÷购买布数＝花布单价，比如由图可知：当购买米数是2米时，总价8元，单价为8÷2＝4（元/米）；当购买米数是4米时，总价是16元，单价为16÷4＝4（元/米），单价始终保持不变，所以购买的米数和应付的钱数成正比例关系。 正 考点4：正比例的图象问题 重难点题型精讲 【典型例题】下图反映了某种花布购买的米数和应付钱数的关系。 （1）由图可见，购买的米数和应付的钱数成（ ）比例关系。 （2）从图中可知，32元可买（ ）米布；买5米布应付（ ）元。 （2）从图像的纵坐标找到32元对应的位置，然后向横坐标作垂线，发现对应的横坐标数值8，所以32元可买8米布； 在横坐标找到5米对应的位置，再向纵坐标做垂线，发现对应的纵坐标数值是20，所以买5米布应付20元。 正 考点4：正比例的图象问题 8 20 重难点题型精讲 【练习】如图是一汽车从甲地开往乙地的行驶情况，由图可知，汽车行驶的路程与所用时间成（ ）比例，汽车行驶的速度是（ ）千米/时。如果需要提前1小时到达乙地，速度应提高（ ）千米/时。 由图可知，汽车行驶的路程与所用时间图像是一条直线，可以确定这两种量成正比例关系； 50÷1＝50（千米/时） 250÷（5－1）－50 ＝62.5－50 ＝12.5（千米/时） 正 50 12.5 变式巩固练习 知识点3： 反比例 3 反比例 1、定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2、字母表达式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy＝k。 3、关键特征：乘积一定，变化方向相反（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）。 知识点梳理 4、反比例的图象：反比例关系也可以用图象来表示，如果把成反比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，会形成一条光滑的曲线；反之，该曲线上的每一个点对应的就是反比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 知识点梳理 【易错点】 （1）忽略“相关联的量”前提：两种量无关联（如人的身高和体重），却判断成比例。 （2）混淆“比值一定”和“乘积一定”：如认为“长方形的周长一定，长和宽成反比例”，实际周长一定时，长+宽的和一定，比值和乘积都不固定，不成比例。 （3）漏判“定值”：如“正方形的边长和面积”，比值（面积÷边长=边长）不是定值，不成正比例。 知识点梳理 【典型例题1】如图，把质量相同的钩码，挂在杠杆的支撑点的两边，杠杆保持平衡，若把杠杆左、右两边的钩码各减少一个，则杠杆左端会（ ）。（填：上升、下降或不动） 初始时，杠杆左边有5个钩码，距离中点有3格；右边有3个钩码，距离中点有5格。因为杠杆平衡，所以5×3＝3×5。即钩码与格数成反比例关系。当左、右两边各减少1个钩码后，左边变为5－1＝4个钩码，距离中点仍为3格，此时左边的数值为4×3＝12；右边变为3－1＝2个钩码，距离中点仍为5格，右边的数值为2×5＝10。因为12＞10，即左边的“力×力臂”乘积更大，所以杠杆左端会下降。 下降 考点5：反比例的意义和应用 重难点题型精讲 【典型例题2】王老师一家春节开车回老家过年，平均每小时行100千米，3.4小时到达。回来时原路返回，平均每小时约行85千米，回程需要几小时？ 【分析】根据题意，去时和回程的路程相同，速度和时间成反比例关系。设回程需要x小时，可列比例式：85x＝100×3.4。 【详解】解：设回程需要x小时。 85x＝100×3.4 85x＝340 x＝340÷85 x＝4 答：回程需要4小时。 重难点题型精讲 【练习】x和y是两种相关联的量，如果，x和y成（ ）比例；如果4x－3y＝0，x和y成（ ）比例。 如果，那么xy＝，x和y的积一定，那么x与y成反比例。 如果4x－3y＝0，所以4x＝3y，x∶y＝，两个量比值一定，所以x和y成正比例。 反 正 变式巩固练习 知识点4： 比例尺 4 比例尺 1、比例尺的意义 （1）定义：一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 （2）公式表达：用公式表示为图上距离：实际距离＝比例尺，或 图上距离/实际距离＝比例尺 2、比例尺的分类 （1）按照表现形式分，比例尺有数值比例尺和线段比例尺两种，两种比例尺可以互相转化。 知识点梳理 把线段比例尺改写成数值比例尺时，一定要统一单位。 ①数值比例尺：用数字比表示； ②线段比例尺：在图上画一条线段，并注明线段上的长度代表的实际距离。 （2）按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。 ①缩小比例尺：比例尺的前项为1（用于绘制地图、建筑平面图）； ②放大比例尺：比例尺的后项为1（用于绘制精密零件图纸）。 知识点梳理 3、比例尺的实际应用 （1）已知图上距离和实际距离，求比例尺：先统一单位，然后根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”列式，并化简为比的前项或后项是“1”的形式。 （2）已知图上距离和比例尺，求实际距离：可以根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，用解比例的方法求出，也可以把比例尺看作一个比值，用“图上距离÷比例尺＝实际距离”直接计算。 （3）已知实际距离和比例尺求图上距离：可以用解比例的方法计算，也可以根据“图上距离＝实际距离×比例尺”直接计算。 知识点梳理 4、应用比例尺画图 （1）先确定比例尺； （2）根据比例尺求出图上距离； （3）根据图上距离画出相应的平面图； （4）标明平面图的名称和比例尺。 【易错点】 （1）比例尺是一个比，没有单位。 （2）计算时单位必须统一。 （3）线段比例尺需先转化为数值比例尺，再进行计算。 知识点梳理 【典型例题】 是（ ）比例尺，它表示地图上（ ）的距离相当于地面上实际距离（ ），改写成数值比例尺是（ ）。 比例尺分线段比例尺和数值比例尺两类； 图上距离：实际距离＝比例尺，5km＝500000cm。 线段 考点6：比例尺的分类和改写 1cm 5km 1∶500000 重难点题型精讲 【练习】把线段比例尺 改写成数值比例尺是（ ）。 A．1∶20 B．1∶2000000 C．1∶60 D．1∶6000000 根据线段比例尺可知，1厘米表示20千米。 1厘米∶20千米 ＝1厘米∶2000000厘米 ＝1∶2000000 B 变式巩固练习 【典型例题1】港珠澳大桥是世界上最长的一座跨海大桥。在一幅比例尺是1∶250000的图纸上，量得桥全长是22厘米。一辆汽车以每小时80千米的速度通过此桥，需要多长时间？ 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，计算并把单位转化为千米即可求出大桥的实际距离，再根据路程÷速度＝时间。 【详解】22÷＝5500000（厘米）＝55（千米） 55÷80＝（时） 答：需要小时。 考点7：比例尺的实际应用 重难点题型精讲 【典型例题2】把一块长400m，宽200m的长方形蔬菜大棚画在一张16开（18.4cm×26cm）的长方形纸上，选择比例尺（ ）合适。 A．1∶800 B．1∶30000 C．1∶2000 400m＝40000cm    200m＝20000cm A．40000×＝50（cm），20000×＝25（cm），超过了纸张（18.4cm×26cm）的大小，这个比例尺不合适。 B．40000×＝（cm），20000×＝（cm），画出来太小，这个比例尺不合适。 重难点题型精讲 【典型例题2】把一块长400m，宽200m的长方形蔬菜大棚画在一张16开（18.4cm×26cm）的长方形纸上，选择比例尺（ ）合适。 A．1∶800 B．1∶30000 C．1∶2000 C．40000×＝20（cm），20000×＝10（cm），画出来大小合适，则这个比例尺合适。 C 重难点题型精讲 【练习】在比例尺1∶30000的图纸上量得甲、乙两地相距18厘米，那么在另一张比例尺是1∶40000的图纸上，这两地间的图上距离应是多少厘米？ 【分析】在比例尺1∶30000的图纸上量得甲、乙两地相距18厘米，图上1厘米表示实际距离30000厘米，即300米，甲、乙两地的实际距离即为18个300米，也就是300×18＝5400米；在另一张比例尺是1∶40000的图纸上，图上1厘米表示实际距离40000厘米，即400米，最后看实际距离5400米里有几个400米，就对应图上距离几厘米。 变式巩固练习 【练习】在比例尺1∶30000的图纸上量得甲、乙两地相距18厘米，那么在另一张比例尺是1∶40000的图纸上，这两地间的图上距离应是多少厘米？ 【详解】30000厘米＝300米 40000厘米＝400米 300×18÷400 ＝5400÷400 ＝13.5（厘米） 答：这两地间的图上距离应是13.5厘米。 变式巩固练习 【典型例题】请请你根据题目要求设计主题公园。 三国水浒景区的正东方400m处是明清宫苑景区，西偏北40°方向150m处是旧上海景区。图中所要用到的比例尺是 ，请在图中右下角指定位置用数值比例尺形式表示出来。再在图中画出各景区的位置。 考点8：应用比例尺画图 重难点题型精讲 【练习】赵亮家在公园正东方向，距离公园400米；赵丽家在公园北偏东30°方向距离是300米；赵琴家在赵丽家正西方向200米处。在下图中画出他们三家和公园的位置平面图（比例尺是1∶10000）。 变式巩固练习 知识点5： 比例的应用 5 比例的应用 1、图形的放大与缩小 （1）图形按一定的比放大或缩小后，只是图形的大小发生了变化，图形原有的形状没变化。 （2）把图形按比放大或缩小，就是把图形的每一条边都按比放大或缩小。 知识点梳理 2、用正、反比例知识解决问题的解题步骤： （1）根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例或反比例关系。 （2）找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例方程。 （3）解比例。 （4）检验并写出答语。 知识点梳理 【典型例题1】某地推出了无人汽车运送物资服务。已知“无人车”一趟可运送0.6吨物资，一辆“无人小巴”一趟可运送1.4吨物资。现有一批物资，如果用“无人车”运送，需要运63趟；如果改用“无人小巴”运送，需要运几趟？ 【分析】设如果改用“无人小巴”运送，需要运x趟，根据每趟运送吨数×运送趟数＝总吨数（一定），列出反比例算式解答即可。 考点9：用比例解决问题 重难点题型精讲 【典型例题1】某地推出了无人汽车运送物资服务。已知“无人车”一趟可运送0.6吨物资，一辆“无人小巴”一趟可运送1.4吨物资。现有一批物资，如果用“无人车”运送，需要运63趟；如果改用“无人小巴”运送，需要运几趟？ 【详解】解：设如果改用“无人小巴”运送，需要运x趟。 1.4x＝0.6×63 1.4x＝37.8 1.4x÷1.4＝37.8÷1.4 x＝27 答：如果改用“无人小巴”运送，需要运27趟。 考点9：用比例解决问题 重难点题型精讲 【典型例题2】如果把一个三角形按3∶1放大，那么下面说法正确的是（ ）。 A．放大后的图形的内角与原图形的内角比是3∶1 B．放大后的图形的边长与原图形的边长比是3∶1 C．放大后的图形的面积与原图形的面积比是3∶1 D．放大后的图形的周长与原图形的周长比是9∶1 A.三角形的内角和始终是180°，放大图形不会改变内角的大小，所以内角比是1：1，该选项错误； B.按3：1放大，就是指各边的长度变为原来的3倍，因此放大后的边长与原图形边长比是3：1，该选项正确； 重难点题型精讲 【典型例题2】如果把一个三角形按3∶1放大，那么下面说法正确的是（ ）。 A．放大后的图形的内角与原图形的内角比是3∶1 B．放大后的图形的边长与原图形的边长比是3∶1 C．放大后的图形的面积与原图形的面积比是3∶1 D．放大后的图形的周长与原图形的周长比是9∶1 C.三角形面积比是边长比的平方，即=9∶1，不是3：1，该选项错误； D.周长是各边长度之和，放大后的周长与原周长比等于边长比，即3：1，不是9：1，该选项错误。 B 重难点题型精讲 【练习】前进村用收割机收稻谷，前3天收割了267公顷，照这样计算，一周（7天）可以收割多少公顷？（用比例解） 【分析】每天收割的公顷数是固定的，收割公顷数和天数成正比例关系，即收割公顷数÷天数＝每天收割公顷数（一定）。设7天收割x公顷，据此列出比例式：。根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，将比例式转化为方程3x＝267×7，再计算求出x的值。 变式巩固练习 【练习】前进村用收割机收稻谷，前3天收割了267公顷，照这样计算，一周（7天）可以收割多少公顷？（用比例解） 【详解】解：设7天收割x公顷。 = 3x＝267×7 3x＝1869 3x÷3＝1869÷3 x＝623 答：一周（7天）可以收割623公顷。 变式巩固练习 启发思维 快乐学习 $