6.3.2 课时2 二项式定理的综合应用 同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.2 课时2 二项式定理的综合应用 【基础巩固】 1．若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的展开式中只有第项的二项式系数最大，所以展开式一共有项，即．故选：B. 2．已知的展开式中的常数项为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由的展开式中第三项为，第五项为， 则的展开式中的常数项为， 即，得或（舍去），所以． 故选：B． 3．已知的展开式中所有项的系数之和为，则展开式中的系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，在中，令，可得，解得， 则二项式的展开式的通项为，其中， 令，则展开式中的系数为. 故选：C. 4．在的展开式中，含项的系数是（ ） A．1139 B．1140 C．1329 D．1330 【答案】C 【解析】因为的展开通项为， 所以的展开式中含项的系数分别为 、、，其系数和为， 则，其中，，，依次类推， 得出. 故选：C. 5．（多选）已知展开式中共有项．则下列结论正确的是（ ） A． B．奇数项的二项式系数和为 C．二项式系数最大项为第项 D．有理项共有项 【答案】ABD 【解析】对于A，由的展开式共有项，得，则，A正确； 对于B，所有项的二项式系数和为，奇数项的二项式系数和为，B正确； 对于C，由二项式系数的性质知，最大二项式系数为，因此第项和第项的二项式系数最大，C错误；对于D，的展开式的通项公式为，由为整数，得的值可以为，则二项展开式中有理项共有项，D正确. 故选：ABD. 6．已知的展开式中各项系数之和为，则该展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】依题意，，解得，故二项式的展开式的通项为：，当时，可得该展开式中的系数为. 故答案为：. 7．已知，则_____；_____. 【答案】； 【解析】由题意令， 令，则， 所以，在此式中令得， 所以. 故答案为：；. 8．已知的展开式中第三项的系数是第二项系数的倍． (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求的展开式中含项的系数（结果用数值表示）． 【答案】见解析 【解析】(1)的展开式的通项为， 因为第三项的系数是第二项系数的倍， ，解得，因为，所以； (2)由知展开式共有项，二项式系数最大的项为第项和第项， 由(1)知第项为，第项为， 所以二项式系数最大的项为和； (3)由(1)知展开式中的系数为 ， 所以展开式中含项的系数为. 【能力拓展】 9．设，且，若能被整除，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为能被整除，所以，所以当时，. 故选：B 10．设是一个正整数，且.若的展开式中，第项和第项的系数之积为120，且是使得该项取得系数最大的项的序号，则和分别是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的通项公式为：； 其中，第 项的系数是 ，第 项的系数，由题意得； 在二项式展开式中，系数 的最大值出现在： 如果 是偶数，最大值在 处；如果 是奇数，最大值在 和 处. 题目中 是使得系数最大的项的序号，因此： 如果 是偶数，，即 ； 如果 是奇数， 或 ，即 或 . 对于 A： 是偶数，最大系数在 （即 ）， 但 才是最大的（因为 ，），所以 应为 4（对应 ）， 因此 不是最大系数的序号，故A错误； 对于B： 是偶数，最大系数在 （即 ），满足 是最大系数的序号， 计算 ，故B正确； 对于 C： 是奇数，最大系数在 或 （即 ，）， 所以 才是最大系数的序号（对应 ），故C错误； 对于D： 是奇数，最大系数在 （即 ），满足 是最大系数的序号， 计算 ，故D错误. 故选：B 11．若，则______． 【答案】 【解析】由 ①， 则，， 又 ②，①②得， 即，因此. 故答案为： 【素养提升】 12．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图为杨辉三角的部分内容，图为杨辉三角的改写形式 (1)求图中第行的各数之和； (2)从图第行开始，取每一行的第个数一直取到第行的第个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】见解析 【解析】(1)第行的各数之和为； (2)杨辉三角中第行到第行，各行第个数之和为 ； (3)存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.2 课时2 二项式定理的综合应用 【基础巩固】 1．若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则（ ） A． B． C． D． 2．已知的展开式中的常数项为，则（ ） A． B． C． D． 3．已知的展开式中所有项的系数之和为，则展开式中的系数为（ ） A． B． C． D． 4．在的展开式中，含项的系数是（ ） A．1139 B．1140 C．1329 D．1330 5．（多选）已知展开式中共有项．则下列结论正确的是（ ） A． B．奇数项的二项式系数和为 C．二项式系数最大项为第项 D．有理项共有项 6．已知的展开式中各项系数之和为，则该展开式中的系数为______． 7．已知，则_____；_____. 8．已知的展开式中第三项的系数是第二项系数的倍． (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求的展开式中含项的系数（结果用数值表示）． 【能力拓展】 9．设，且，若能被整除，则（ ） A． B． C． D． 10．设是一个正整数，且.若的展开式中，第项和第项的系数之积为120，且是使得该项取得系数最大的项的序号，则和分别是（ ） A． B． C． D． 11．若，则______． 【素养提升】 12．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图为杨辉三角的部分内容，图为杨辉三角的改写形式 (1)求图中第行的各数之和； (2)从图第行开始，取每一行的第个数一直取到第行的第个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $