6.3.2 二项式系数的性质课前导学-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.2 二项式系数的性质 ——高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册课前导学 知识填空 1.二项式系数的对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__________. 2.增减性与最大值：因为，即，所以，当，即__________时，随的增加而__________；由对称性知，当__________时，随的增加而__________.当是偶数时，中间的一项__________取得最大值；当是奇数时，中间的两项__________和__________相等，且同时取得最大值. 3.各二项式系数的和：的展开式的各二项式系数的和等于__________. 思维拓展 1.求二项展开式系数最大的项有哪些方法？ 2.二项式系数之和与二项展开式各项系数之和的求法？ 基础练习 1.的展开式中，系数最小的项是( ) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 2.已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有偶数项的二项式系数之和为( ) A. B. C. D. 3.的展开式中，系数最大的项是( ) A.第项 B.第n项 C.第项 D.第n项与第项 4.若，则( ) A.40 B.41 C.-40 D.-41 5.在的展开式中，系数最大的是( ) A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 【答案及解析】 一、知识填空 1.相等 2. 增大 减小 3. 二、思维拓展 1.（1）求二项式系数最大的项：若n是偶数，则中间一项：第项的二项式系数最大，即最大值是；若n是奇数，则中间两项：第项与第项的二项式系数相等且最大，即最大. （2）求展开式中系数最大的项：如求的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为，且第项系数最大，应用解出r，即得系数最大的项. 2.（1）二项式系数之和与指数n有关，其和为，其中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，都等于. （2）求二项展开式各项系数之和，往往采用赋值法，对变量赋值1计算可得. 三、基础练习 1.答案：C 解析：依题意，的展开通项公式为，其系数为，当r为奇数时，才能取得最小值，又由二项式系数的性质可知，是的最大项，所以当时，取得最小值，即第6项的系数最小.故选：C. 2.答案：C 解析：由题意可得，，所以，则的二项式系数之和为.所以所有偶数项的二项式系数之和，故选：C. 3.答案：C 解析：在的展开式中，第项的系数与第项的二项式系数相同，再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有项，可得第项的系数最大，故选C. 4.答案：B 解析：方法一：依题意，令，可得，令，得，以上两式相加可得，所以，故选B. 方法二：二项式的通项为，分别令，可分别得，，，所以，故选B. 5.答案：C 解析：的展开式的通项为，其中，，要求系数最大的项，则r必须为偶数，分别令，2，4，6，可得其对应项的系数为1，，，，因为，所以当时满足条件，故系数最大的是第5项.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $$