20 第四章 第二节 三角形的有关概念及性质-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省中考数学讲练本PPT课件（五四制）

1 2 第二节　三角形的有关概念及性质 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1　三角形的概念 三角形的分类 (1)按角分： (2)按边分： 5 知识点2　三角形的边、角关系 1.三角形的边的关系 (1)三角形任意两边之和 第三边，即a+b>c。  (2)三角形任意两边之差 第三边，即a-b<c。  例如：已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm，则第三边的长可以是 。  大于 小于 6 cm(答案不唯一) 6 2. 三角形的角的关系 (1)三角形三个内角的和等于________，即∠A+∠B+∠ACB=180°； 直角三角形的两个锐角互余。   (2)三角形的外角和等于________。  (3)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任意一个和它不相邻的内角，如∠1=∠A+∠B，∠1>∠A，∠1>∠B。 180° 360° 7 例如：若将一副三角板按图中方式叠放，则∠AOB等于________°。  105 8 3. 三角形的边角关系：同一个三角形中，等角对等边，大边对大角，小边对小角。 ∵a>b>c，∴∠A>∠B>∠C。 9 知识点3　三角形中的重要线段 四线 图形及性质 结论 角平 分线 ∠1=∠2 1. 角平分线上的点到角两边的距离相等，可过角平分线上的点向角的两边作垂线来计算； 2. 三角形三条角平分线交于一点，为内心，内心到三角形三边的距离相等 中线 BD=CD 1. 中线将三角形分割成等底同高的两个三角形，即S△ABD=S△ACD； 2. 三角形三条中线交于一点，为重心 10 四线 图形及性质 结论 中位线 DE∥BC，DE=BC 三角形中见到中点，则常寻找另一边的中点并连接(常作辅助线之一) 高线 AD⊥BC，∠ADB= ∠ADC=90° 1. 求角度时常应用高线得到互余的角； 2.三角形三条高所在的直线交于一点，为垂心 11 【归纳总结】 三角形重要线段的区别 　　三角形的中线、高线、角平分线、中位线都是线段，注意区分三角形的角平分线与角的平分线的区别，前者是线段，后者是射线。 12 命题点1　三角形的三边关系　 1. 【典例】 【新设问·结果开放】已知三角形的两边长分别为3和6， 则这个三角形的第三边长可以是________________。 (写出一个即可)  4(答案不唯一) 【解析】 根据三角形的三边关系得第三边应大于6-3=3,小于6+3=9, ∴第三边的长度范围为3<x<9,例如4。 故答案为4。(答案不唯一) 13 2. (2024·淮安)用一根小木棒与两根长度分别为3 cm，5 cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是(　　) A. 9 cm B. 7 cm C. 2 cm D. 1 cm 【解析】设这根小木棒长为x cm,由三角形三边关系得5-3<x<5+3, ∴x的取值范围是2<x<8,只有选项B符合题意。 故选B。 14 3. 四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的 改变而变化。 当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知a，b，c是△ABC的三边长，化简-|b-a-c|=__________。   2b-2c 15 【解析】由三角形的三边关系知a+b>c,a+c>b, ∴-|b-a-c| =|a-c+b|-|b-a-c| =|(a+b)-c|-|b-(a+c)| =(a+b)-c-[(a+c)-b] =a+b-c-a-c+b =2b-2c。 故答案为2b-2c。 16 命题点2　三角形内角和、内外角的关系 5. 【典例】 如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起。 若∠1=20°，则∠2的度数是(　　) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 17 【解析】 如图。 ∵∠1=20°,∠F=30°, ∴∠BEF=∠1+∠F=50°。 ∵AB∥CD, ∴∠2=∠BEF=50°。故选A。 18 6. (2024·凉山州)一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为(　　) A. 10° B. 15° C. 30° D. 45° 19 命题点3　三角形中的重要线段及相关计算 7. 【典例】 如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是(　　) A. BF=CF B. ∠C+∠CAD=90° C. ∠BAF=∠CAF D. S△ABC=2S△ABF 20 【解析】 ∵AF是△ABC的中线, ∴BF=CF,A选项说法正确,不符合题意。 ∵AD是高,∴∠ADC=90°, ∴∠C+∠CAD=90°,B选项说法正确,不符合题意。 ∵AE是角平分线, ∴∠BAE=∠CAE,而∠BAF与∠CAF不一定相等,C选项说法错误,符合题意。 ∵BF=CF, ∴S△ABC=2S△ABF,D选项说法正确,不符合题意。 故选C。 21 【解题通法】 图形 条件 AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，AB>AC BD，CE是△ABC的两条角平分线 BO平分∠ABC，CO平分∠ACE 结论 ∠DAE=(∠C-∠B) ∠BOC=90°+∠A ∠BOC=∠A 22 8. (2024·凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于点D。 若△ACD的周长为50 cm，则AC+BC=(　　) A. 25 cm B. 45 cm C. 50 cm D. 55 cm 23 9. (2024·德州)如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4，S△ABC=12，则BE的长为(　　) A. 1. 5 B. 3 C. 4 D. 6 24 【解析】 ∵S△ABC=BC·AD=12,AD=4, ∴BC=6。 ∵AE是中线,∴BE=BC=3。故选B。 25 10. (2025·威海)如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE。 下列结论错误的是(　　) A. S△DEF=S△BCF B. S△ADE=S四边形BCED C. S△DBF=S△BCF D. S△ADC=S△AEB 26 【解析】 ∵△ABC的中线BE,CD交于点F, ∴DE=BC,DE∥BC,S△ADC=S△ABC,S△AEB=S△ABC, ∴S△ADC=S△AEB=S△ABC,故D选项结论正确。 ∵DE∥BC,∴△DEF∽△CBF, ∴===, ∴S△DEF=S△BCF,S△DBF=S△BCF,S△ADE=S四边形BCED,故A,C选项结论正确,B选项结论错误。故选B。 27 【易错点加练】 易错点1　对三角形三边关系认识不透 1. 已知在△ABC中，AB=2，BC=6，则边AC的长可能是(　　) A. 3　　　B. 4　　　C. 5　　　D. 8 28 【解析】 由三角形的三边关系可得BC-AB<AC<AB+BC。 ∵AB=2,BC=6, ∴6-2<AC<6+2, ∴4<AC<8, ∴AC的长可能是5。 故选C。 29 易错点2　忽略高与三角形位置关系的分类讨论 2. 在△ABC中，AD为边BC的高，∠ABC=30°，∠CAD=20°，则∠BAC 的度数是____________。   80°或40° 30 【解析】 ①当△ABC为锐角三角形时,如图。  ∵∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°, ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°。 ②当△ABC为钝角三角形时,如图。  ∵∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°, ∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°。 综上所述,∠BAC=80°或40°。 故答案为80°或40°。 31 易错点3　关于中线忽视分类讨论 3. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD，CE分别为AB边上的高和中线。 若∠DCE=20°，则∠BAC的度数为______________。   55°或35° 32 【解析】 当点D在点E左侧时,如图1。 ∵∠ACB=90°,CD,CE分别为AB边上的高和中线, ∠DCE=20°, ∴∠CED=70°,CE=EB, ∴∠CBA=35°, ∴∠BAC=90°-35°=55°。 33 当点D在点E右侧时,如图2。 ∵∠ACB=90°,CD,CE分别为AB边上的高和中线, ∠DCE=20°, ∴∠CEB=70°,CE=AE, ∴∠BAC=35°。 故答案为55°或35°。 34 1. 若三角形的三边长分别为3，4，x-1，则x的取值范围是(　　) A. 0<x<8 B. 2<x<8 C. 0<x<6 D. 2<x<6 1 3 5 题序 2 4 35 【解析】依据三角形三边关系,列出不等式组 解得2<x<8。 故选B。 1 3 5 题序 2 4 36 2. (2025·广东)如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点， ∠A=70°，则∠EDF=(　　) A. 20° B. 40° C. 70° D. 110° 1 3 5 题序 2 4 37 【解析】∵点D,E分别BC,AB的中点, ∴DE是△ABC的中位线, ∴DE∥AC, ∴∠DEB=∠A=70°。 同理可得DF∥AB, ∴∠EDF=∠DEB=70°。 故选C。 1 3 5 题序 2 4 38 3. 如图，CD是△ABC的中线，点E和点F分别是CD和AE的中点。 若△BEF的面积为，则△ABC的面积为(　　) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 1 3 5 题序 2 4 39 【解析】 ∵点F是AE的中点, ∴BF是△ABE的中线, ∴S△ABF=S△BEF=, ∴S△ABE=2S△BEF=3。 ∵点D是AB的中点,∴ED是△ABE的中线, ∴S△ADE=S△BDE=S△ABE=。 ∵点E是CD的中点,∴AE是△ACD的中线, ∴S△ACD=2S△ADE=3。 ∵CD是△ABC的中线, ∴S△ABC=2S△ACD=6。故选A。 1 3 5 题序 2 4 40 4. (2025·淄博博山二模)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，且BC+AD=18，则BC的长为________。   12 1 3 5 题序 2 4 41 【解析】 ∵∠BAC=90°,AD是斜边BC边上的中线, ∴AD=BC。 ∵BC+AD=18,∴BC=12。 故答案为12。 1 3 5 题序 2 4 42 5. 如图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，过点P作PD∥OA交OB于点D，点E为OA上一动点，连接PE。 若OD=6，则线段PE长的最小值为________。   3 1 3 5 题序 2 4 43 【解析】如图,过点P作PF⊥OB于点F。 当PE⊥OA时,PE的长最小。 ∵OC平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,∴PE=PF。 ∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC。 ∵PD∥OA,∴∠AOC=∠OPD,∠PDF=∠AOB=30°, ∴∠BOC=∠OPD,∴PD=OD=6, ∴PF=PD=×6=3,∴PE的最小值为3。 故答案为3。 1 3 5 题序 2 4 44 45 $