专题06 直线与圆的位置关系（期中复习课件）九年级数学上学期新教材人教版

九年级数学上学期期中复习 考点大串讲 专题06 直线与圆的位置关系 新教材人教版 01 期中考情透视 复习目标锚定 知识体系构建 02 03 目 录CONTENTES 核心考点精讲 04 重难题型突破 05 限时分层演练 06 PART 01 期中考情透视 期中考情透视 考点 考查形式 常见题型 分值参考 出现频次 直线与圆的位置关系判定 选择·填空 判断d与r、交点个数 3—4分 高频（几乎必考） 切线的判定与性质 解答 证明题、求线段长/角度 6—10分 必考核心 切线长定理 解答·填空 求切线长、证线段相等 3—6分 高频 三角形的内切圆（内心） 填空·解答 求半径、面积、内心性质 3—6分 中高频 正多边形与圆 填空 中心角、边心距、半径 3—4分 中频 PART 02 复习目标锚定 复习目标锚定 识记 ① 位置关系由“公共点个数”定义、由“d与r”定量判定；② 切线判定定理“过半径外端”与“垂直”两条件缺一不可； 理解 ① 理解内心（内切圆）与外心（外接圆）的区别；② 理解内切圆面积公式 S△＝的由来（分割法）；③ 理解正多边形中心角、边心距、半径的含义。 应用 ① 会用d与r判定直线与圆的位置关系；② 会证明圆的切线（有切点连半径证垂直、无切点作垂线证d＝r）；③ 会求切线长、内切圆半径、阴影部分面积；④ 会用尺规作三角形的内切圆。 PART 03 知识体系构建 知识体系构建 PART 04 核心要点精讲 考点一直线与圆的三种位置关系 考点二切线的判定 考点三切线的性质 考点四切线长定理 考点五 三角形的内切圆与内心 考点六 正多边形与圆 核心要点精讲 ⚠️概念辨析 位置关系由“公共点个数”定义，但公共点个数不易直接数出，因此常用“d与r的大小”作定量判定。d是圆心到直线的垂线段长，不是圆心到直线上任意一点的距离。 ⚠️记忆口诀 “远d离、近d交、恰d切”——d＞r相离，d＜r相交，d＝r相切。 ⚠️易混易错 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d（即过圆心作直线l的垂线段长度），则： 相离：直线与圆没有公共点，且 d＞r； 相切：直线与圆有且只有1个公共点（切点），且 d＝r； 相交：直线与圆有2个公共点，且 d＜r。 判定方法：定义法（看公共点个数）、数量法（比较d与r的大小）。 考点一 直线与圆的三种位置关系 易混点 辨析 点与圆 vs 直线与圆的位置关系 点与圆用“点到圆心的距离”与半径比较；直线与圆用“圆心到直线的距离d”与半径比较。 相离、相交的方向 d＞r相离（远），d＜r相交（近），方向别记反。 切点个数 相切有且只有1个公共点，不是“至少1个”。 ⚠️避坑指南 ❌ 求d必须先过圆心作直线的垂线段，切勿用“圆心到直线上某个点”的距离代替； ❌ 画图时“看起来相交/相切”不算数，必须由d与r（或公共点个数）确定。 核心要点精讲 ⚠️概念辨析 判定定理是“已知垂直且过半径外端 → 推出切线”；只垂直但不过外端，或过外端但不垂直，都不能判定切线。 ⚠️记忆口诀 “有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂线，证半径（d＝r）”。 ⚠️易混易错 考点二 切线的判定 判定切线有三种方法： ① 定义法：直线与圆有且只有一个公共点； ② 数量法：圆心到直线的距离 d＝r； ③ 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 判定定理的两个条件——直线过半径的外端点A、且直线垂直于半径OA——缺一不可。 ⚠️避坑指南 ❌ 切点已知（图中标出字母）：连半径，证垂直； ❌ 切点未知（未标出）：过圆心作垂线，证 d＝r； ❌ 不能仅凭“图形看起来垂直”下结论，要有依据（互余、平行、全等、相似等推得直角）。 易混点 辨析 判定定理 vs 性质定理 判定：垂直＋过外端 → 切线；性质：已知切线 → 垂直过切点半径。 漏掉“过外端” 只证垂直而漏证“点在圆上（半径外端）”，即误判为切线。 数量法的对象 数量法用圆心到直线距离d，不是切线段长。 核心要点精讲 ⚠️概念辨析 性质是“已知切线 → 推出垂直”；判定是“已知垂直＋过外端 → 推出切线”，二者方向相反，切勿混淆。 ⚠️记忆口诀 “见切点，连半径，得垂直”。 ⚠️易混易错 考点三 切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径（OA⊥l，A为切点）； 圆心到切线的距离等于半径（d＝r）； 切线与圆有且只有一个公共点（切点）。 易混点 辨析 切线长 vs 切线 切线是直线；切线长是“圆外一点到切点”的线段长。 垂直于“过切点的半径” 是过切点的那条半径，不是任意半径。 ⚠️避坑指南 ❌ 见到切线，第一反应“连切点与圆心，得直角”，直角是后续勾股、相似、三角比的前提； ❌ 若图形中“看起来垂直”，必须由切线性质或计算验证，不能直接当作已知条件。 核心要点精讲 ⚠️概念辨析 “切线长”是线段长，不是切线这条直线本身；由切线性质可得 PA⊥OA、PB⊥OB，从而可构造直角三角形，用勾股定理求切线长。 ⚠️记忆口诀 “外点引两切线，切线长必相等；连心线平分夹角”。 ⚠️易混易错 考点四 切线长定理 定义：从圆外一点引圆的两条切线，这一点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长； 定理：从圆外一点P引⊙O的两条切线PA、PB（A、B为切点），则 PA＝PB；且线段PO平分两切线的夹角（即OP平分∠APB）。 ⚠️避坑指南 ❌ 切线长相等，但两条“切线”（直线）本身不比较长短，要看清比较对象是“线段长”； ❌求切线长常需连接切点与圆心构成直角三角形 易混点 辨析 PA、PB 是哪两条 是点P到切点A、B的两条线段长，不是割线。 OP平分哪个角 OP平分两切线的夹角（∠APB及其对应圆心角）。 核心要点精讲 ⚠️概念辨析 内心（三条角平分线交点，内切圆圆心，到三边距离相等）与外心（三条垂直平分线交点，外接圆圆心，到三顶点距离相等）要分清。 ⚠️记忆口诀 “内切看内心，角分交一点，三边距相等；面积＝×周长×半径”。 ⚠️易混易错 ⚠️避坑指南 ❌ 内切圆半径公式中 a＋b＋c 是三角形周长，不是某一条边； ❌ 求阴影面积常用“分割法”：把△ABC分成三个以内心为顶点的小三角形，面积之和即 S△＝。 考点五 三角形的内切圆与内心 定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心； 内心是三角形三条角平分线的交点，内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r； 面积公式：设三角形三边为a、b、c，周长p＝a＋b＋c，内切圆半径r，则 S△＝，从而 r＝； 直角三角形（两直角边a、b，斜边c）的内切圆半径 r＝。 核心公式：， 易混点 辨析 内心 vs 外心 内心＝角平分线交点（内切圆）；外心＝垂直平分线交点（外接圆）。 到“三边” vs 到“三顶点” r＝ 仅适用于直角三角形。 核心要点精讲 ⚠️概念辨析 中心角把周角360°均分给n条边；半径、边心距、边长的一半构成直角三角形，正三角形、正方形、正六边形有常用比值，建议识记。 ⚠️记忆口诀 “中心角＝；半径、边心距、半边长构直角”。 ⚠️易混易错 考点六 正多边形与圆 中心：正多边形外接圆的圆心；半径：外接圆半径R（中心到顶点距离）； 边心距：中心到一边的垂线段长；中心角：每一边所对的圆心角，α＝（n为边数）； 圆的外切正多边形：正多边形各边都是同一圆的切线。 ⚠️避坑指南 ❌ 中心角公式中n是边数，不能带错； ❌ 半径是中心到顶点，边心距是中心到边，两者勿混。 易混点 辨析 半径 vs 边心距 中心角＝；内角＝，二者不同。 PART 05 重难题型突破 题型一 判定直线与圆的位置关系 题型二 证明圆的切线 题型三 利用切线性质求线段长或角度 题型四 切线长定理的应用 题型五 内切圆半径与阴影面积 重难题型突破 💡破题要诀 先确定圆心与半径r，再过圆心求到直线的距离d（作垂线段；坐标法可算点到直线距离），最后比较d与r。 题型一 判定直线与圆的位置关系 典例1 （25-26九年级上·湖北武汉·期中）在直角坐标系中，点，以点P为圆心，4为半径作，则与y轴的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 B 【详解】解：∵点， ∴圆心到y轴的距离为4， ∵以点P为圆心，4为半径作， ∴圆P与y轴相切． 故选：B． 重难题型突破 题型一 判定直线与圆的位置关系 迁移应用1．（25-26九年级上·山东聊城·期中）已知的半径为，点在直线上．若， 则直线与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相离或相切或相交 C 【详解】解：设点到直线的距离为， ∵点在直线上，且， ∴，（垂线段最短）， ∵的半径为， ∴当时，直线与相交； 当时，直线与相切； ∴直线与的位置关系是相交或相切． 故选：C． 重难题型突破 题型一 判定直线与圆的位置关系 迁移应用2．（25-26九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点坐标，以为圆心，4个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（     ） A．原点在内 B．原点在上 C．与轴相切 D．与轴相切 C 【详解】解：∵点， ∴点到原点的距离 ； ∵的半径为4，∴， 故原点在外； 又∵点到轴的距离为，等于半径， ∴与轴相切； ∵点到轴的距离为，小于半径4， ∴与轴相交，而非相切． 故选：C． 重难题型突破 题型一 判定直线与圆的位置关系 3．（25-26九年级上·北京·期中）在中，的半径为3，则边所在直线与的位置关系是_____． 相离 【详解】解：∵， ∴， 故点A到直线的距离等于， 由的半径为3，且， ∴边所在直线与相离。 故答案为：相离． 重难题型突破 💡破题要诀 ① 切点已标出：连圆心与切点，证该半径垂直于已知直线（用互余、平行、等腰、全等、相似推直角）； ② 切点未标出：过圆心作已知直线的垂线，证垂线段长等于半径（d＝r）。 要诀口诀：有切点连半径证垂直，无切点作垂线证半径。 题型二 证明圆的切线 典例2 （25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，是的中点，弦与交于点， 是延长线上的一点，且．求证：是的切线． 【详解】证明：连接， ∵，∴，∵， ∴， ∵是的中点，∴， ∴，∵， ∴，∵， ∴， 即：是的切线． 重难题型突破 题型二 证明圆的切线 迁移应用1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，是的直径，点在上， 为的中点，延长到点 ，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：直线是的切线． 【详解】（1）解：∵为直径，∴． ∵C为弧的中点，∴弧＝弧， ∴．∵，∴； (2)证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵为直径， ∴直线是的切线． 重难题型突破 题型二 证明圆的切线 迁移应用2．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，为的直径，点在上，过点的直线与 的延长线相交于点，与的延长线交于点， 与相交于点，，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【详解】(1)证明：如图，连接， ，， ，．， ．，，，， ，即．又点在上，为的切线； （2）解：，设，， 在中，． ，， ，， ∴， ∴． 即的半径为3． 重难题型突破 题型二 证明圆的切线 迁移应用3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，点A在上，边交于点C， 于点D．是的平分线． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为3，，求的长． 【详解】(1)证明：∵于点D， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 重难题型突破 💡破题要诀 见到切线→连切点与圆心得直角→直角三角形→勾股定理/相似比/锐角三角比求线段或角度。 题型三 利用切线性质求线段长或角度 典例3 （25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是的直径，E为延长线上一点， 与相切于点C，于点D，连接． 求证：． 【详解】证明：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．   重难题型突破 题型三 利用切线性质求线段长或角度 迁移应用1．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，是的直径，C是上一点， 过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】(1)证明：连接， 是的切线， ，即， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：，设， 则 在中， 即 解得或（舍去） ． 重难题型突破 题型三 利用切线性质求线段长或角度 迁移应用2．（25-26九年级上·湖北·期中）如图， 已知 ，点O为上一点， 经过点B， 与相切于点D， 点E为上一点， 连接． (1)求证：平分 ； (2)若，求的度数． 【详解】(1)证明： 如图， 连接， ∵与相切， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 重难题型突破 题型三 利用切线性质求线段长或角度 迁移应用3．（26-27九年级上·天津·期中）已知内接于，，， 点是上一点． (1)如图①，若为的直径， 连接，求和的大小； (2)如图②，若，过点作的切线， 与的延长线交于点，求的大小． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴． 重难题型突破 💡破题要诀 找到圆外一点引的两条切线→PA＝PB→常与四边形周长、半周长、角平分结合列等量关系。 题型四 切线长定理的应用 典例4 （25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，P是外一点，分别和相切于点A、B，点C 是弧上任意一点，过点C作的切线分别交 于点D、E，若，则的周长为______． 40 【详解】解：∵分别⊙O相切于点A、B，且， ∴， ∵过C作⊙O的切线分别交于点D、E， ∴，， ∴， ∴的周长为40． 故答案为：40． 重难题型突破 题型四 切线长定理的应用 迁移应用1．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，P是外一点，、分别和切于A、B， C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、 于D、E，若的周长为16， 则长为________． 8 【详解】解：由切线长定理得：， ∴的周长为： ， 已知周长为，且，故， 解得． 故答案为：8． 重难题型突破 题型四 切线长定理的应用 迁移应用2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点， 过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若， 则_______； (2)已知，求的周长． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵都是的切线， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵都是的切线， ∴， ∴的周长 ． 重难题型突破 题型四 切线长定理的应用 迁移应用3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、． (1)求证：； (2)若是大圆的第三条弦，且，则与小圆相切吗？请说明理由． 【详解】(1)证明：连接、． 是小圆的两条切线，切点分别为， ． ． ． (2)MN与小圆相切． 理由：连接，过点作，垂足为， ． ， ． 在和中， ， ． 与小圆相切． 重难题型突破 💡破题要诀 用分割法 S△＝ 反求半径r，或求阴影部分面积；直角三角形可用 r＝ 简化。 题型五 内切圆半径与阴影面积 典例5 （24-25九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，是的内切圆， 切点分别为D、E、F，若，，则的半径为______． 1 【详解】解：连接，则， 设，在中，， 是的内切圆，切点分别为D、E、F， ∴， 又∵，∴四边形为正方形， ， ， ∴， 而， ， ，即的半径为1 故答案为：1． 重难题型突破 题型五 内切圆半径与阴影面积 迁移应用1．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，的内切圆分别与、相切于点、 点，若，则的长为________． 【详解】解：记与相切于点，连接，如图所示： 设， ∵的内切圆分别与、相切于点、点， ∴,，， 则， 在中，， ∴， 解得，即的长度为． 故答案为：． 重难题型突破 题型五 内切圆半径与阴影面积 迁移应用2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的内切圆，与分别相切 于点D、E、F，，． (1)求的三个内角的大小： 【详解】（1）解：∵相切， ∴ ， 在四边形中，， ∴， 同理，， 在中，， ∴； (2)设的半径为1，求的值． （2）解：∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴． 重难题型突破 题型五 内切圆半径与阴影面积 迁移应用3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图1，点为外一点， 过点作的切线， 切点为是的直径， 过点作交于点， 连接并分别延长，两线交于点． (1)求证：是的切线； 【详解】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的切线， ∴， ∴是的切线； 重难题型突破 题型五 内切圆半径与阴影面积 迁移应用3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图1，点为外一点， 过点作的切线， 切点为是的直径， 过点作交于点， 连接并分别延长，两线交于点． (2)若，求图中阴影部分面积（结果保留）； （2）解：∵，， ∴，，， 设半径，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴图中阴影部分面积为； 重难题型突破 题型五 内切圆半径与阴影面积 迁移应用3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图1，点为外一点， 过点作的切线， 切点为是的直径， 过点作交于点， 连接并分别延长，两线交于点． (3)如图2，若的半径为2，点是的内心， 连接并延长至点，使得，垂足为， 连接．当点运动时，求的最小值． （3）解：延长交于，连接，取中点，连接，， ∵直径，∴，∵点是的内心， ∴平分，∴， ∴，∵的半径为2， ∴，∵中点， ∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴当在上时，最小． PART 06 限时分层演练 基础固本练 1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，，是的切线，，为切点，是的直径， ．则的度数为（   ） A． B． C． D． B 2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，是的内切圆，切点分别为．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．20 D．36 D 3．（25-26九年级上·河北沧州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（    ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 A 基础固本练 4．（25-26九年级上·北京·期中）若点M在内，则过M点的直线与的公共点个数为______． 2 5．（25-26九年级上·四川广安·期中）由边长为4的正方形的外接圆与内切圆组成的圆环（如图）的面积S为____． 6．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，锐角内接于，I为内心， 已知，则的度数为______． 7．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，等边三角形的边长为2，的半径为1， 点是上的动点，与相切于点，则的最小值是_____． 基础固本练 8．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，点、、是半径为2的上的三点，．求弦的长． 【答案】 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴． 基础固本练 9．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）本题是《测圆海镜》第二卷的第8题的一道弦外容圆问题：指在勾股形（直角三角形）外与弦（斜边）相切的旁切圆，如图所示，是直角三角形，， 步，步，正好与相切于点D， 也与相切，切点分别为点E，F，求的直径． (1)小军解决本题时，认为线段的 长就是的半径，请你说明理由； 【详解】(1)解：如图1，连接， ，是的切线， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 的长就是的半径； (2)请你帮小军计算的直径． （2）解：，步，步， 步， 设的半径为x步，则步， ，是的切线， 步， ，是的切线， 步， ， ， 解得：， 的直径为步， 的直径为240步． 基础固本练 10．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，是的直径，是弦，D是的中点， 与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)试判断与的位置关系， 并说明理由； (2)连接．若，，求的长． 【详解】(1)与相切，理由如下： 连接和， ， ，， ， 是直径，D是的中点， ， ，， ， ，即， 是半径， 是的切线； （2）设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ， ． 基础固本练 11．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，是的直径，过点D作的切线， 点A是上一点，且，连接交于点B， 点C是的中点，连接，，为的切线． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知的半径为1，求阴影部分的面积． （结果保留π） 【详解】(1)证明：如图，连接， 与都是的切线， ，， ， ，又点C为的中点， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，且， ，且， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知，四边形为矩形， 又∵， 矩形为正方形， 阴影部分的面积是． 综合进阶练 1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A 作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　 　） A． B． C．是的平分线 D． D 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． D 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，，I为内心，则______． 综合进阶练 4．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，，以为直径作．若与有两个交点，则的取值范围为 ． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是边长为的等边的外接圆，P是上一个动点， 连接，则四边形面积的最大值是___________． 6．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动．设点运动的时间为秒，则当________ 时，与坐标轴相切． 4或8或12 综合进阶练 7．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，已知：是的直径，弦平分， 于点D，E是延长线上一点，交于点F． (1)求证：是的切线． 【详解】(1)证明：∵平分， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴， ，且为半径， ∴是的切线． (2)若，． ①连接，求的度数； ②若的半径为，求线段的长． （2）解：①， ， ， ； ②如图，作于点， 则， ，， ， ， 在中，， ， ， ． $