18 第三章 第八节 二次函数的综合应用-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省中考数学讲练本PPT课件（五四制）

1 2 第八节　二次函数的综合应用 第一、二章 3 目 录 难点分层透解 4 命题点1　二次函数中的线段问题　 考法❶　求单线段问题 【母题1】 【原创题】 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3。 (1)求抛物线的解析式； (2)E是y轴上一点，若BE=CE，求点E的坐标。 5 解:(1)∵OA=OC=3,∴A(-3,0),C(0,-3)。 ∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,0),C(0,-3), ∴将A(-3,0),C(0,-3)两点分别代入抛物线y=x2+bx+c 得解得 ∴抛物线的表达式为y=x2+2x-3。 6 (2)令x2+2x-3=0，解得x1=-3，x2=1， ∴B(1，0)。 如图。 设E(0，m)， 则OE=-m，BE=CE=m+3。 在Rt△OBE中，∵OB2+OE2=BE2， ∴12+(-m)2=(m+3)2， 解得m=-，∴E(0，-)。 7 【变式1】 探究线段倍数关系 在母题1的条件下，如图，连接AC，抛物线上有一动点P，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点G，在线段PF，GF中，若其中一条线段是另一条线段的 2倍，求点P的坐标。 8 解：设P(p，p2+2p-3)。 设直线AC的解析式为y=kx+d， 将A(-3，0)，C(0，-3)两点分别代入得 解得∴直线AC的解析式为y=-x-3。 ∵直线AC与直线PF交于点G，∴G(p，-p-3)， 则PF=|p2+2p-3|，GF=|p+3|。 当PF=2GF时，|p2+2p-3|=2|p+3|。 9 若p2+2p-3=2(p+3)，解得p1=3，p2=-3(不合题意，舍去)； 若p2+2p-3=-2(p+3)，解得p1=-1，p2=-3(不合题意，舍去)。 当GF=2PF时，|p+3|=2|p2+2p-3|。 若p+3=2(p2+2p-3)，解得p1=，p2=-3(不合题意，舍去)； 若p+3=-2(p2+2p-3)，解得p1=，p2=-3(不合题意，舍去)。 综上所述，点P的坐标为(3，12)或(-1，-4)或()或(，-)。 10 【变式2】 探究直线段最值 在母题1的条件下，如图，在直线AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC于点M，当点N的坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？ 11 解：设点N的坐标为(n，n2+2n-3)，则M(n，-n-3)， ∴MN=-n-3-(n2+2n-3)=-n2-3n=-(n+)2+。 ∵-1<0，∴当n=-时，MN有最大值，最大值为， 此时点N的坐标为(-，-)。 12 【变式3】 探究斜线段最值 在母题1的条件下，如图，直线AC下方的抛物线上有一动点K，过点K作KH⊥AC于点H，求线段KH的最大值及此时点K的坐标。 13 解：如图，过点K作KQ⊥x轴于点Q，交直线AC于点T。 设K(t，t2+2t-3)，则T(t，-t-3)。 ∵KQ⊥x轴，KH⊥AC， ∴∠KHT=∠AQT=∠AOC=90°。 又∵∠KTH=∠ATQ=∠ACO， ∴△KHT∽△AOC，∴=。 ∵OA=OC=3，∴AC=3，∴=， ∴KH=KT。 14 ∵KT=-t-3-(t2+2t-3)=-t2-3t=-(t+)2+， ∴当t=-时，KT取得最大值，最大值为， ∴KH的最大值为， 此时点K的坐标为(-，-)。 15 考法❷　求双线段问题 【母题2】 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C。 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得|PA-PC|最大， 求出点P的坐标及|PA-PC|的最大值。 16 【解题模板】 (1)求异侧两点线段差的最大值(两点一线模型) 图形 作法 如图，作点B关于直线l的对称点B'，作直线AB'，与直线l的交点即为P，此时|PA-PB|的最大值为线段AB'的长 17 (2)求同侧两点线段和的最小值(两点一线模型) 图形 作法 如图，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点即为P，PA+PB的最小值为AB'的长 18 解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点， ∴抛物线的解析式为y=(x+3)(x-1)=x2+2x-3。 (2)∵A(-3，0)，B(1，0)， ∴对称轴为直线x=-1。 如图，连接BC并延长交对称轴于点P，点P即为所求，连接AP。 易知PA=PB，|PA-PC|=|PB-PC|≤BC，故当P，B，C三点共线时， |PA-PC|的值最大。 由(1)可知，当x=0时，y=-3， ∴C(0，-3)。 19 设直线BC的解析式为y=kx+b'。 ∵直线y=kx+b'过点B(1，0)，C(0，-3)， ∴解得 ∴直线BC的解析式为y=3x-3。 当x=-1时，y=-6，∴P(-1，-6)。 ∵BC==， ∴|PA-PC|的最大值为。 20 【变式1】 探究线段和的最值 在母题2的条件下，如图，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QC+QB的值最小？若存在，请求出点Q的坐标及QC+QB的最小值；若不存在，请说明理由。 21 解：存在。 如图，连接AC，交抛物线对称轴于点Q，点Q即为所求，连接QB。 ∵点A，B关于抛物线对称轴对称， ∴QA=QB，∴QC+QB=QC+QA， ∴当Q，A，C三点共线时，QC+QA=AC， 此时QC+QA的值最小，即QC+QB的最小值为AC的长。 ∵AC===3， ∴QC+QB的最小值为3。 22 设直线AC的解析式为y=k1x+b1， ∴ 解得 ∴直线AC的解析式为y=-x-3， ∴当x=-1时，y=-2，∴点Q的坐标为(-1，-2)。 23 【变式2】 探究线段比值的最值 在母题2的条件下，如图，点M为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AC，OM相交于点N，求 的最大值。 24 解：由变式1可知直线AC的解析式为y=-x-3。 抛物线的解析式为y=x2+2x-3，设M(x，x2+2x-3)。 如图，过点M作MD⊥x轴，交AC于点D，则MD∥OC， ∴D(x，-x-3)， ∴MD=(-x-3)-(x2+2x-3)=-x2-3x。 ∵MD∥OC，∴=， ∴==， ∴当x=-时，的最大值为。 25 命题点2　二次函数中的周长问题　 【母题3】 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，OA=OC=3OB=3。 (1)求抛物线的解析式； (2)连接BC，在对称轴上找一点P，使△BCP的周长 最小，求出点P的坐标及△BCP周长的最小值； (3)连接AC，M为直线AC下方抛物线上一点，过点M作MN∥y轴交x轴于点N，交直线AC于点E，过点M作MF⊥AC于点F，当△MEF的周长最大时，求出点M的坐标及△MEF周长的最大值。 26 解：(1)∵OA=OC=3OB=3， ∴OB=1，∴A(-3，0)，B(1，0)，C(0，-3)。 将A，B，C三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c 得解得 ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3。 27 (2)如图，连接AP，AC。 ∵点A，B关于抛物线对称轴对称， ∴AP=BP， ∴PB+PC的最小值即为PA+PC的最小值， ∴当P，A，C三点共线时，PA+PC+BC=AC+BC， 即△BCP的周长最小值为AC+BC的值。 ∵BC===， AC===3， ∴△BCP周长的最小值为+3。 28 设直线AC的解析式为y=kx+b1， ∴解得 ∴直线AC的解析式为y=-x-3， ∴当x=-1时，y=-2， ∴点P的坐标为(-1，-2)，△BCP周长的最小值为+3。 29 【变式1】 求矩形周长的最值及动点坐标 在母题3的条件下，如图，连接AC，直线AC下方的抛物线上有一动点K，过点K作KH⊥AC于点H，KG∥y轴交AC于点G，D为平面内一点，以KH，GH为邻边作矩形KDGH，求矩形KDGH周长的最大值。 30 解：如图。 由点A，C的坐标可求得直线AC的解析式为y=-x-3， ∴设K(t，t2+2t-3)，则G(t，-t-3)， ∴KG=-t-3-(t2+2t-3)=-t2-3t=-(t+)2+。 ∵-1<0，∴当t=-时，KG有最大值，最大值为。 ∵KG∥y轴，KH⊥AC， ∴∠KHG=∠AOC=90°。 31 又∵∠KGH=∠ACO， ∴△KHG∽△AOC，∴=。 ∵OA=OC=3，∴AC=3，∴=， ∴KH=GH=KG。 ∵C矩形KDGH=2(KH+GH)=2KG， ∴C矩形KDGH最大=2×=。 32 【变式2】 求不规则图形周长的最值及动点坐标 在母题3的条件下，如图，连接AC，BC，线段QR=1，在对称轴上运动 (点Q在点R上方)， 求四边形BQRC周长的最小值及此时点Q的坐标。 33 解：如图。 ∵QR=1，∴将点B向下移动1个单位长度至点B'， 作点B'关于对称轴直线x=-1的对称点B″，连接B″C，与对称轴交于点R，此时QR即为所求， 则B'(1，-1)，B″(-3，-1)。 设直线B″C的解析式为y=k'x+b'。 将点B″(-3，-1)， C(0，-3)分别代入得解得 34 ∴直线B″C的解析式为y=-x-3。 当x=-1时，y=-×(-1)-3=-， ∴R(-1，-)，则Q(-1，-)。 ∵B″C==， BC==， QR=1， 35 ∴C四边形BQRC最小=BQ+QR+RC+BC=B'R+QR+RC+BC=B″R+QR+RC+BC =B″C+BC+QR=++1， ∴Q(-1，- )，四边形BQRC周长的最小值为++1。 36 命题点3　二次函数中的面积问题　 【母题4】 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于 点C，OC=3OB=3，且抛物线经过点(2，5)，连接AC，BC。 (1)求抛物线的解析式。 (2)在直线AC下方的抛物线上是否存在动点M，使得 四边形ABCM的面积最大？若存在， 请求出四边形 ABCM的最大面积及点M的坐标；若不存在，请说明 理由。 37 解:(1)∵OC=3OB=3,∴OB=1, ∴B(1,0),C(0,-3)。 又∵抛物线经过点(2,5),∴解得 ∴抛物线的表达式为y=x2+2x-3。 38 (2)存在。 如图，过点M作MG∥y轴交AC于点G。 设M(m，m2+2m-3)，则G(m，-m-3)， ∴MG=-m-3-(m2+2m-3)=-m2-3m， ∴S△ACM=S△MGA+S△MGC=MG·OA=(-m2-3m)=-(m+)2+。 ∵-<0，∴当m=-时，△ACM的面积有最大值，最大值为。 ∵S四边形ABCM=S△ABC+S△ACM，S△ABC=AB·OC=×4×3=6， ∴S四边形ABCM最大=6+=，此时点M的坐标为(-，-)。 39 【变式1】 共边固定时，求面积相等的动点坐标 在母题4条件下，抛物线上是否存在点I，使得S△BCI= S△ABC？若存在，求出点I的坐标；若不存在，请说明理由。 40 解：存在。 ∵S△BCI=S△ABC，∴点A、点I到BC的距离相等。 利用平行线间的距离处处相等可知AI∥BC。 设直线BC的解析式为y=kx+b'。 分别代入点B(1，0)，C(0，-3)得解得 ∴直线BC的解析式为y=3x-3， ∴直线AI的解析式为y=3x+n。 41 代入点A(-3，0)得0=3×(-3)+n， ∴n=9， ∴直线AI的解析式为y=3x+9。 联立 解得x1=4，x2=-3(与点A重合，舍去)， ∴yI=42+2×4-3=21，∴I(4，21)。 42 【变式2】 共边不固定时，求三角形面积相等的动点坐标 在母题4条件下，如图，抛物线上是否存在点Q，使得S△AOQ= S△COQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 43 解：存在。 如图， S△AOQ=AO·|yQ|，S△COQ=CO·|xQ|。 ∵S△AOQ=S△COQ，AO=CO=3， ∴|yQ|=|xQ|， ∴点Q到x轴、y轴的距离相等， ∴点Q在直线y=x或y=-x上。 44 ①联立解得x=， ∴Q1()，Q2()。 ②联立解得x=， ∴Q3()，Q4()。 综上所述，点Q的坐标为()或()或()或()。 45 【变式3】 求平分变化面积的动点坐标 在母题4条件下，如图，若点E在第三象限的抛物线上，过点E作EF⊥x轴于点F，交线段AC于点N，使AC平分△AEF的面积，求出点E的坐标。 46 解：如图。 ∵线段AC平分△AEF的面积， ∴直线AC经过线段EF的中点，即点N为EF的中点， ∴FN=EN。 设E(x，x2+2x-3)， 由题意得-3<x<0， N(x，-x-3)，F(x，0)。 ∵FN=|-x-3|=x+3， EN=-x-3-(x2+2x-3)=-x2-3x， ∴x+3=-x2-3x，解得x1=-1，x2=-3(与点A重合，舍去)， ∴E(-1，-4)。 47 【变式4】 求涉及面积比值的动点坐标 在母题4条件下，若点R在第三象限的抛物线上，作RJ⊥x轴于点J，交线段AC于点K，使AC将△ARJ的面积分为2∶1的两部分，求出点R的坐标。 48 解：∵AC将△ARJ的面积分为2∶1两部分， ∴JK=2RK或RK=2JK。 ∴设R(r，r2+2r-3)，则K(r，-r-3)，J(r，0)， ∴JK=|-r-3|=r+3，RK=-r-3-(r2+2r-3)=-r2-3r， ①当JK=2RK时，r+3=2(-r2-3r)， 解得r1=-，r2=-3(与点A重合，舍去)， ∴R(-，-)； 49 ②当RK=2JK时，-r2-3r=2(r+3)， 解得r1=-2，r2=-3(与点A重合，舍去)，∴R(-2，-3)。 综上所述，点R的坐标为(-，-)或(-2，-3)。 50 【变式5】 求使面积比值为最大值的动点坐标 在母题4条件下，如图，若点T在第三象限的抛物线上，连接TC，BT，BT与AC交于点D，记△DTC的面积为S1，△DBC的面积为S2，求的最大值及此时点T的坐标。 51 解：如图，过点T作TL∥x轴交AC的延长线于点L。 设T(t，t2+2t-3)。 ∵TL∥x轴，∴△LDT∽△ADB，∴==。 在y=-x-3中，令y=t2+2t-3得x=-t2-2t， ∴L(-t2-2t，t2+2t-3)， ∴TL=-t2-2t-t=-t2-3t。 ∵A(-3，0)，B(1，0)，∴AB=4， ∴==-(t+)2+， ∴当t=-时，的最大值为，此时点T的坐标为(-，-)。 52 命题点4　二次函数中的特殊图形存在性问题 【母题5】 【分类讨论思维】如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于 A(-3，0)， B两点(点A在点B 左侧)，与 y轴交于点C，且OA=3OB，顶点为D。 (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标。 (2)连接AC，点E是x轴上一动点，当△ACE为等腰 三角形时，求点E的坐标。 (3)在y轴上是否存在一点F，使得△ADF为等腰 三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在， 请说明理由。 53 【思维路径】 54 【解题模板】 55 解:(1)∵OA=3OB,∴OB=1, ∴B(1,0), ∴抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)。 当x=0时,-3a=-3,解得a=1, ∴抛物线的表达式为y=x2+2x-3,化成顶点式为y=(x+1)2-4, ∴点D的坐标为(-1,-4)。 56 (2)如图。 ∵点A，C的坐标分别为(-3，0)，(0，-3)， ∴AC=3。 ①当AC=CE时，点O为AE的中点，∴E1(3，0)。 ②当AC=AE时，点E可能在点A的左边或右边， ∴E2(-3-3，0)，E3(-3+3，0)。 ③当AE=EC时，点E与点O重合，∴E4(0，0)。 综上所述，点E的坐标为(3，0)或(-3-3，0)或(-3+3，0)或(0，0)。 57 (3)存在。 设F(0，t)。 ∵A(-3，0)，D(-1，-4)， ∴AD===2， AF==， DF==。 ①当AD=AF时，即2=， 解得t=±，∴F1(0，)，F2(0，-)。 58 ②当AD=DF时，即2=， 解得t1=-4+，t2=-4-， ∴F3(0，-4+)，F4(0，-4-)。 ③当DF=AF时， 即=，解得t=-1，∴F5(0，-1)。 综上所述，点F的坐标为(0，)或(0，-)或(0，-4+)或 (0，-4-)或(0，-1)。 59 【变式1】 探究等边三角形存在性问题 在母题5条件下，如图，若点P是抛物线上一动点，△POC能否成为等边三角形？请说明理由。 60 解：不能。 理由如下： 如图，作线段OC的垂直平分线交抛物线于点P1，P2，交y轴于点G。 ∵抛物线的解析式为y=x2+2x-3， ∴C(0，-3)， ∴CO的中点G的坐标为(0，-)。 61 若△POC是等边三角形， 则PO=PC=OC，点P的坐标为(-，-)。 将x=-代入抛物线的解析式得y=-3≠-， 此时点P1不在抛物线上，不符合题意。 同理可得点P2也不在抛物线上，不符合题意， ∴△POC不能成为等边三角形。 62 【变式2】 探究不确定底边的等腰直角三角形存在性问题 在母题5条件下，如图，在y轴上是否存在点N，使得△ADN是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。 63 解：存在。 设点N的坐标为(0，y)。 由题可知点A的坐标为(-3，0)，点D的坐标为(-1，-4)， 则AD2=22+42=20，AN2=32+y2=y2+9， DN2=12+(y+4)2=y2+8y+17。 ①当AD为斜边时，AN2=DN2，即y2+9=y2+8y+17， 解得y=-1。 此时AN2=DN2=10，AN2+DN2=AD2， 故当点N的坐标为(0，-1)时，△ADN是等腰直角三角形。 64 ②当AN为斜边时，AN2=2AD2， 即y2+9=40，解得y=±，此时AD2≠DN2， 故不存在点N使△ADN是以AN为斜边的等腰直角三角形。 ③当DN为斜边时，AN2=AD2， 即y2+9=20，解得y=±，此时2AD2≠DN2， 故不存在点N使△ADN是以DN为斜边的等腰直角三角形。 综上所述，点N的坐标为(0，-1)时，△ADN是等腰直角三角形。 65 【变式3】 探究含有一个动点的直角三角形存在性问题 在母题5条件下，如图，在y轴上是否存在一点Q，使得△ADQ是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 66 解：存在。 ∵A(-3，0)，D(-1，-4)， ∴AD2=(-3+1)2+(0+4)2=20。 设Q(0，m)，则AQ2=(-3-0)2+(0-m)2=9+m2， DQ2=(-1-0)2+(-4-m)2=m2+8m+17。 ①当AQ为斜边时，由AQ2=AD2+DQ2得 9+m2=20+m2+8m+17，解得m=-。 67 ②当DQ为斜边时，由DQ2=AQ2+AD2得 m2+8m+17=9+m2+20，解得m=。 ③当AD为斜边时，由AD2=QD2+AQ2得 20=m2+8m+17+9+m2，解得m=-1或-3。 综上所述，点Q的坐标为(0，-)或(0，)或(0，-1)或(0，-3)。 68 【变式4】 探究相似三角形存在性问题 在母题5条件下，如图，在线段AC上是否存在点M，使得△AOM与△ABC相似？若存在， 求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 69 解：存在。 易知抛物线的解析式为y=x2+2x-3，A(-3，0)，C(0，-3)。 当y=0时，x2+2x-3=0，解得x1=-3，x2=1， ∴B(1，0)。 当△AOM与△ABC相似时，分2种情况。 70 ①当△AOM∽△ABC时，∠AOM=∠ABC，∴OM∥BC。 由点A(-3，0)，C(0，-3)可求得直线AC的解析式为y=-x-3， 由点B(1，0)，C(0，-3)可求得直线BC的解析式为y=3x-3， ∴直线OM的解析式为y=3x。 设点M(n，3n)，点M为直线AC与直线OM的交点， ∴3n=-n-3，解得n=-， ∴M(-，-)。 71 ②当△AOM∽△ACB时，=， 即=，∴AM=2，∴M(-1，-2)。 综上所述，点M的坐标为(-，-)或(-1，-2)。 72 【变式5】 探究平行四边形存在性问题 如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-3，0)，B两点(点A在 点B 左侧)，与 y轴交于点C。 连接BC，且tan∠OCB=。 (1)求抛物线的解析式。 (2)若点D是x轴上的一点，在抛物线上是否存在点E，使得以点A，C，D， E为顶点且以AC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标； 若不存在，请说明理由。 (3)若点F在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点G，使以点A，B，F， G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点G的坐标； 若不存在，请说明理由。 73 解:(1)由抛物线y=ax2+bx-3可知,当x=0时,y=-3,∴C(0,-3),∴OC=3。 ∵tan∠OCB=,∴=, ∴OB=1,∴B(1,0)。 又∵抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-3,0), ∴解得 ∴抛物线的表达式为y=x2+2x-3。 74 (2)存在。 ①如图1，当点E在x轴下方时，点E的纵坐标为-3， ∴令y=-3，则y=x2+2x-3=-3， 解得x=-2或0(舍去)，∴点E的坐标为(-2，-3)。 75 ②如图2，当点E在x轴上方时，由点C到x轴的距离为3，可得点E到x轴的距离为3， ∴令y=3，则y=x2+2x-3=3，解得x=-1±， ∴点E的坐标为(-1+，3)或(-1-，3)。 综上所述，点E的坐标为(-2，-3)或(-1+，3)或(-1-，3)。 76 (3)存在。 由题易知函数图象的对称轴为直线x=-1。 设F(-1，t)，G(m，n)，即n=m2+2m-3，① 当AB为边时， 点A向右平移4个单位长度得到点B，同样点G(F)向右平移4个单位长度得到点F(G)，即m±4=-1，② 联立①②并解得或 77 ∴点G的坐标为(-5，12)或(3，12)。 当AB是对角线时， 由中点坐标公式得×(1-3)=(m-1)，③ 联立①③并解得 ∴点G的坐标为(-1，-4)。 综上所述，点G的坐标为(-5，12)或(3，12)或(-1，-4)。 78 命题点5　二次函数中的角度问题　 【母题6】如图，抛物线y=x2-(a+1)x+a 与 x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，对称轴为直线x=-1。 (1)求此抛物线的解析式及点A，B，C的坐标； (2)点D是y轴左侧的抛物线上一动点，连接BC， 当∠DBA=∠BCO时，求点D的坐标。 79 【解题模板】 80 解:(1)∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1, ∴a=-3, ∴抛物线的表达式为y=x2+2x-3。 当y=0时,x2+2x-3=0, 解得x1=-3,x2=1, 当x=0时,y=-3, ∴A(-3,0),B(1,0),C(0,-3)。 81 (2)如图，过点D作x轴的垂线，交x轴于点H。 设点D的坐标为(m，m2+2m-3)。 ∵∠DBA=∠BCO，∴tan∠DBA=tan∠BCO，即=， ∴=或=， 解得m1=-，m2=1(舍去)或m3=-，m4=1(舍去)， ∴点D的坐标为(-)或(-，-)。 82 【变式1】 探究角度和为特殊角的动点坐标 在母题6的条件下，在抛物线上是否存在点Q，使得∠QOB+∠BCO= 45°？若存在，请求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。 83 解：存在。 如图，作点B关于y轴的对称点R(-1，0)，连接RC， 过点R作 RT⊥AC于点T，过点Q作QM⊥x轴于点M。 ∵∠ACR+∠RCO=∠ACO=45°， ∠BCO+∠QOB=45°， ∠RCO=∠BCO， ∴∠QOB=∠ACR。 84 在△ARC中，AR=3-1=2，AC=3，∠RAC=45°， ∴AT=RT=AR=，∴TC=3-=2， ∴tan∠ACR===tan∠QOB。 设Q(q，q2+2q-3)，∴=， 解得q=(当点Q在y轴左侧抛物线上时，不符合题意，负值舍去)； 当点Q在x轴下方时，同理可得q=(负值已舍去)。 即点Q的横坐标为或。 85 【变式2】 探究倍角关系的动点坐标 在母题6的条件下，如图，点E的坐标为(0，1)，G为x轴负半轴上的一 点，∠OGE=15°，连接PE。 若∠PEG=2∠OGE，请求出点P的坐标。 86 解：如图，设直线PE交x轴于点N。 ∵∠OGE=15°，∠PEG=2∠OGE=30°，∴∠ONE=45°。 ∵E(0，1)，∴ON=OE=1， ∴N(-1，0)。 设直线NE的解析式为y=kx+t， ∴解得 87 ∴直线NE的解析式为y=x+1。 令x+1=x2+2x-3， 解得x1=，x2=(点P在y轴右侧抛物线上， 不符合题意，舍去)， ∴点P的坐标为()。 88 【变式3】 探究特殊角存在性的动点坐标 如图，抛物线y=ax2+bx-(a≠0)与x轴交于点A(-1，0)和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D(1，0)，过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E。 (1)求抛物线的解析式。 (2)坐标轴上是否存在点F，使得∠DEF=75°？ 若存在，请求出点F的坐标；若不存在， 请说明理由。 89 解：(1)∵抛物线的对称轴交x轴于点D(1，0)， ∴抛物线y=ax2+bx-的对称轴为直线x=1， ∴-=1。 ① ∵点A(-1，0)在抛物线y=ax2+bx-上， ∴a-b-=0。 ② 由①②联立得解得 ∴抛物线的解析式为y=x2-x-。 90 (2)坐标轴上存在点F，使得∠DEF=75°。 当点F在x轴上时，如图。 易知，∠OCD=30°，E(3，-)，D(1，0)， ∴∠ODC=60°，DE=。 ∵∠CDE=90°，∴∠EDF=30°。 ∵∠DEF=75°， ∴∠DFE=180°-∠EDF-∠DEF=75°， ∴∠DEF=∠DFE，∴DF=DE=， ∴OF=OD+DF=1+=，∴F(，0)。 91 当点F在y轴上时，过点E作ET⊥y轴于点T，如图。 ∵ET∥OB， ∴∠DET=∠BDE=30°。 ∵∠DEF=75°， ∴∠TEF=∠DEF-∠DET=45°， ∴△ETF是等腰直角三角形， ∴TF=TE。 92 ∵E(3，-)， ∴OT=，TE=3=TF， ∴OF=OT+TF=，∴F(0，-)。 综上所述，点F的坐标为(，0)或(0，-)。 93 94 $