17 第三章 第七节 二次函数的性质探究-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省中考数学讲练本PPT课件（五四制）

1 2 第七节　二次函数的性质探究 第一、二章 3 目 录 核心考点突破 4 命题点1　二次函数的增减性探究　 1. 【典例】 【数形结合思维】(2025·山东)已知二次函数y=x(x-a)+ (x-a)(x-b)+x(x-b)，其中a，b为两个不相等的实数。 (1)当a=0，b=3时，求此函数图象的对称轴。 (2)当b=2a时，若该函数在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，求a的取值范围。 (3)若点A(a，y1)，B(，y2)，C(b，y3)均在该函数的图象上，是否存在常数m，使得y1+my2+y3=0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。 5 思维导引：(1)先将a=0，b=3代入二次函数解析式中→再根据求对称轴的公式求解； (2)先将b=2a代入二次函数解析式进行化简→再确定抛物线的对称轴→最后根据抛物线的增减性求解； (3)先根据点A，B，C的横坐标求出y1，y2，y3的值→再根据y1+my2+y3=0列出等式→最后整理出方程求出m的值。 6 解:(1)当a=0,b=3时,二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)可化为 y=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)=3x2-6x, ∴此函数图象的对称轴为直线x=-=1。 (2)当b=2a时,二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)可化为 y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)=3x2-6ax+2a2, ∴抛物线的对称轴为直线x=-=a。 ∵3>0,∴抛物线开口方向向上。 ∵当0≤x≤1时,y随x的增大而减小,∴a≥1。 ∵当3≤x≤4时,y随x的增大而增大,∴a≤3,∴1≤a≤3。 7 (3)存在。 由题易知y1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a2-ab， y3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=b2-ab。 ∵y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=3x2-2(a+b)x+ab， ∴y2=3()2-2(a+b)·+ab=3×-(a+b)2+ab =-+ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2。 8 ∵y1+my2+y3=0， ∴a2-ab+m[-(a-b)2]+b2-ab=0， 整理得(a-b)2(1-m)=0。 ∵a，b为两个不相等的实数，∴a-b≠0， ∴1-m=0，解得m=4。 9 2. (2025·安徽)已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点(4，0)。 (1)求该抛物线的对称轴。 (2)点A(x1，y1)和B(x2，y2)分别在抛物线y=ax2+bx和y=x2-2x上(点A，B与原点都不重合)。 ①若a=，且x1=x2，比较y1与y2的大小； ②当=时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值。 10 解：(1)将点(4，0)代入y=ax2+bx得 16a+4b=0，即b=-4a， ∴-=2，∴该抛物线的对称轴是直线x=2。 11 (2)①若a=，则b=-4a=-2， 则抛物线y=ax2+bx的解析式为y=x2-2x。 又∵x1=x2， ∴y2-y1=(-2x2)-(-2x1)=(-2x1)-(-2x1)=。 ∵抛物线y=x2-2x过原点，且点A与原点不重合， ∴x1≠0，∴>0，∴y2>y1。 12 ②由题意知y1=a-4ax1，y2=-2x2。 ∵=，∴=。 ∵两条抛物线均过原点，且点A，B与原点都不重合， ∴x1≠0，x2≠0，∴=1，即x2=a(x1-4)+2， ∴==a+。 由题意知a+是与x1无关的定值， ∴2-4a=0，∴a=，b=-4a=-2。 13 3. 设二次函数y=ax2+bx+1(a≠0，b是实数)。 已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … -1 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … (1)若m=4。 ①求二次函数的解析式； ②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小。 (2)若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围。 14 解:(1)①由题意得解得 ∴二次函数的表达式是y=x2-2x+1。 ②x<1。(答案不唯一) (2)∵x=0和x=2时的函数值都是1, ∴抛物线的对称轴为直线x=-=1, ∴(1,n)是顶点,(-1,m)和(3,p)关于对称轴对称。 15 若在m,n,p这三个实数中,只有一个是正数,则抛物线必须开口向下,且m≤0。 ∵-=1,∴b=-2a, ∴二次函数为y=ax2-2ax+1, ∴m=a+2a+1≤0, ∴a≤-。 16 命题点2　二次函数的最值问题　 4. 【典例】 已知某抛物线的解析式为y=x2-4ax+2a+1，a为实数。 (1)若该抛物线经过点(5，8)，求此抛物线的顶点坐标； (2)如果当2a-3≤x≤2a+1时，y的最大值为4，求a的值。 17 解:(1)∵抛物线y=x2-4ax+2a+1经过点(5,8), ∴25-20a+2a+1=8, ∴a=1, ∴y=x2-4x+3=(x-2)2-1, ∴此抛物线的顶点坐标为(2,-1)。 18 (2)∵y=x2-4ax+2a+1=(x-2a)2-4a2+2a+1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 x=2a， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大。 ∵当2a-3≤x≤2a+1时，y的最大值为4， ∴当x=2a-3时，y=4， ∴(2a-3-2a)2-4a2+2a+1=4， ∴2a2-a-3=0，∴a=或-1。 故a的值为或-1。 19 5. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(2，-4)，与x轴交于点(4，0)。 (1)求二次函数的表达式； (2)若在m≤x≤5范围内二次函数有最大值为，最小值为-，求m的取值范围； (3)若把二次函数的图象沿x轴平移n个单位长度，在自变量x的值满足2≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为-3，求n的值。 20 解:(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(2,-4),与x轴交于点(4,0), ∴将(2,-4),(4,0)两点分别代入得 解得 ∴二次函数的表达式为y=x2-x-4。 21 (2)y=x2-x-4=(x-1)2-， ∴二次函数y=x2-x-4的图象开口向上，顶点坐标为(1，-)。 令(x-1)2-=，解得x=5或-3。 ∵在m≤x≤5范围内二次函数有最大值为，最小值为-，∴-3≤m≤1。 22 (3)由(2)可得二次函数y=x2-x-4图象的对称轴为直线 x=1，且抛物线y=x2-x-4在2≤x≤3范围内y随x的增大而增大， ∴抛物线在x=2时有最小值为-4。 ①向左平移n个单位长度，即当x=2时，存在与其对应的函数值y的最小值-3， ∴-3=(x+n)2-(x+n)-4。 将x=2代入得n2+2n-2=0， 解得n=--1或-1。 ∵二次函数的图象向左平移，∴n>0，∴n=-1。 23 ②向右平移n个单位长度，当平移后对称轴在直线x=2左边，即n≤1时，函数在x=2处取得最小值-3， 即-3=(2-n)2-(2-n)-4， 解得n1=1+，n2=1-，都不符合题意，舍去。 当平移后对称轴在直线x=2到直线x=3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值-≠-3。 24 当平移后对称轴在直线x=3右边，即n≥2时，函数在x=3时取得最小值-3， ∴-3=(3-n)2-(3-n)-4， 解得n1=+2，n2=-+2(舍去)，∴n=+2。 综上所述，n=-1或+2。 25 6. (2025·临沂兰陵一模)已知二次函数y=ax2-(a-2)x+2(a≠0)。 (1)若函数图象经过点(3，2)，求抛物线的对称轴； (2)若a>0，当x≥-1时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若A(1-，b)，B(3-，c)两点都在二次函数的图象上，试比较b与c的大小，并说明理由。 26 解:(1)由条件可得9a-3(a-2)+2=2, 解得a=-1, ∴抛物线的表达式为y=-x2+3x+2, ∴抛物线的对称轴为直线x=-=。 (2)由条件可得a>0时,抛物线在对称轴右侧y随x的增大而增大。 ∵抛物线的对称轴为直线x=, ∴≤-1,解得a≤,∴0<a≤。 27 (3)∵抛物线的对称轴为直线x=-， ∴-<1-<3-。 ∵A(1-，b)，B(3-，c)， ∴点A、点B都在对称轴的右侧。 ①当a>0时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大。 ∵1-<3-，∴b<c。 ②当a<0时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小。 ∵1-<3-，∴b>c。 综上所述，当a>0时，b<c；当a<0时，b>c。 28 命题点3　二次函数的交点问题　 7. 【典例】 已知关于x的二次函数y=2x2-(3+k)x+k。 (1)当k=1时，求该二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)求证：对于任意实数k，二次函数y=2x2-(3+k)x+k的图象与x轴总有两个不同的交点。 29 (1)解：当k=1时，抛物线的解析式为y=2x2-4x+1。 ∵y=2(x-1)2-1， ∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，-1)。 (2)证明：∵Δ=[-(3+k)]2-4×2k=k2-2k+ 9=(k-1)2+8>0， ∴对于任意实数k，二次函数y=2x2-(3+k)x+k的图象与x轴总有两个不同的交点。 30 8. (2025·山东期末)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+(b-2)x+。 (1)当a=1时， ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限。 ②若b为自然数，且该抛物线与x轴有两个不同交点(x1，0)和(x2，0)(x1<x2)， 求x2-x1的值。 (2)若b<0，直线y=ax+m与该抛物线有两个交点A，B，其坐标分别为 A(0，2-m)和B(2，n)。 当t≤x≤t+1时，求y=ax2+(b-2)x+的最小值。 31 (1)①证明：将a=1代入抛物线y=ax2+(b-2)x+并化为顶点式得 y=x2+(b-2)x+=(x-1+)2+b-1， ∴顶点坐标为(1-，b-1)。 若顶点在第三象限，则解得 ∴该不等式组无解，∴抛物线的顶点不在第三象限。 32 ②解：∵b为自然数，且该抛物线与x轴有两个不同交点(x1，0)和 (x2，0)(x1<x2)， ∴Δ=(b-2)2-b2>0，∴b<1，∴b=0， ∴抛物线的解析式为y=x2-2x。 当y=0时，x1=0，x2=2，则x2-x1=2。 33 (2)解：b<0，直线y=ax+m与该抛物线有两个交点A，B，其坐标分别为A(0，2-m)和B(2，n)， ∴m=2-m，解得m=1，∴=1。 ∵b<0，∴b=-2，∴y=ax2-4x+1。 ∵直线y=ax+m与该抛物线有交点B(2，n)，将点B的坐标分别代入得解得 ∴抛物线的解析式为y=4x2-4x+1， ∴y=4x2-4x+1的图象开口方向向上，对称轴为直线x=。 34 ①当t+1≤，即t≤-时，t≤x≤t+1，y随x的增大而减小， ∴当x=t+1时，y取最小值为4t2+4t+1。 ②当t<<t+1，即-<t<时，t<x≤，y随x的增大而减小，<x<t+1，y随x的增大而增大， ∴当x=时，y取最小值为0。 35 ③当t≥时，t≤x≤t+1，y随x的增大而增大， ∴当x=t时，y取最小值为4t2-4t+1。 综上可知，当t≤-时，y取最小值为4t2+4t+1；当-<t<时， y取最小值为0；当t≥时，y取最小值为4t2-4t+1。 36 9. (2025·泰安岱岳、宁阳二模)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1。 (1)若a=1， ①求b的值； ②若抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C(0，-3)，求AB的长。 (2)当-1≤x≤4时，函数y=ax2+bx+c最大值与最小值的差为3，求出a的值。 (3)若a=-1，平面直角坐标系内有两个点M(-2，3)，N(3，3)，抛物线与线段MN有且只有一个公共点，求出c的取值范围。 37 解:(1)①∵a=1,x=-=1, ∴b=-2a=-2。 ②∵抛物线与y轴交于点C(0,-3), ∴c=-3, ∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3。 当y=0时,x2-2x-3=0, 解得x1=-1,x2=3,∴AB=3-(-1)=4。 38 (2)当a>0时。 ∵对称轴为直线x=1，-1≤x≤4，∴4-1>1-(-1)， ∴当x=4时，函数有最大值为16a-8a+c=8a+c， 当x=1时，函数有最小值为a-2a+c=c-a。 由题意得8a+c-(c-a)=9a=3，∴a=。 当a<0时，∵对称轴为直线x=1，-1≤x≤4， ∴4-1>1-(-1)， 39 ∴当x=4时，函数有最小值为16a-8a+c=8a+c， 当x=1时，函数有最大值为a-2a+c=c-a。 由题意得c-a-(8a+c)=-9a=3，∴a=-。 综上所述，a=±。 40 (3)当a=-1时，抛物线的表达式为y=-x2+2x+c。 ∵M(-2，3)，N(3，3)，∴直线MN的解析式为y=3。 ①当-x2+2x+c=3有两个相等实数根时，抛物线与线段MN有一个公共点， ∴Δ=4-4×(-1)×(c-3)=0，∴c=2。 ②当-x2+2x+c=3有两个不相等实数根时， 由题意得解得6<c≤11。 综上所述，当c=2或6<c≤11时，抛物线与线段有且只有一个公共点。 41 42 $