14 第三章 第五节 二次函数的图象与性质-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省中考数学讲练本PPT课件（五四制）

1 2 第五节　二次函数的图象与性质 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 难点分层透解 好题随堂演练 4 知识点1　二次函数的概念及解析式 1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫作x的二次函数。 2. 二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)。 (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k)。 (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴的 交点的横坐标，a≠0。　 也是方程a(x-x1)(x-x2)=0的解 5 知识点2　二次函数的图象与性质 1. 二次函数的图象与性质 解析式 y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) 对称轴 (1)直接运用公式x=________求解；  (2)配方法，将一般式化为顶点式y=a(x-h)2+k，则对称轴为直线________；  (3)对称轴x=(其中x1，x2为关于对称轴对称的两点的横坐标) - x=h 6 顶　点 (1)直接利用顶点坐标公式x=______，y=__________求解；  (2)运用配方法将一般式转化为顶点式y=a(x-h)2+k，顶点坐标 为________；  (3)将对称轴x=x0代入函数解析式求得对应的y0 - (h，k) 7 a的符号 a________0  a________0  图　　象 开口方向 开口向上 开口向下 最　　值 当x=-时， y最小= 当x=-时， y最大= > < 8 最　点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 可画草 图判断 当x<-时(对称轴左侧)， y随x的增大而______；  当x>-时(对称轴右侧)， y随x的增大而______ 当x<-时(对称轴左侧)， y随x的增大而______；  当x>-时(对称轴右侧)， y随x的增大而______ 减小 增大 增大 减小 9 2. 根据二次函数解析式判断函数图象 字母 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向_______ a<0 开口向_______ b b=0 对称轴为______轴  ab>0(a与b同号) 对称轴在y轴______侧  ab<0(a与b异号) 对称轴在y轴______侧  上 下 y 左 右 10 字母 字母的符号 图象的特征 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点) b2-4ac>0 与x轴有______个 交点 b2-4ac<0 与x轴没有交点 两 11 3. 根据二次函数图象判断a，b，c与0的关系 图象(草图) 结论 a>0，b______0，c______0，  b2-4ac________0  a________0，b________0， c________0，  b2-4ac________0  = = = > > = > 12 图象(草图) 结论 a<0，b______0，c______0，  b2-4ac________0  a________0，b________0，  c______0，b2-4ac______0  > < < < > = > 13 知识点3　二次函数图象与几何变换 平移与对称 原解析式 变换形式(m>0) 变换后的解析式 将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标，再保持抛物线形状不变，平移其顶点坐标即可 y= a(x-h)2+k 向左平移m个单位长度 y=a(x-h+m)2+k 向右平移m个单位长度 _______________ 向上平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k+m 向下平移m个单位长度 _______________ y=a(x-h-m)2+k y=a(x-h)2+k-m 14 平移与对称 原解析式 变换形式(m>0) 变换后的解析式 将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标，再保持抛物线形状不变，平移其顶点坐标即可 y= a(x-h)2+k 关于x轴对称 _______________ 关于y轴对称 y=a(x+h)2+k 绕顶点旋转180° y=-a(x-h)2+k 绕原点旋转180° _______________ y=-a(x-h)2-k y=-a(x+h)2-k 15 平移与对称 原解析式 变换形式(m>0) 变换后的解析式 将二次函数解析式转化成一般式y=ax2+bx+c，进行对称变换 y= ax2+bx+c 关于x轴对称 _______________ 关于y轴对称 y=ax2-bx+c 关于原点对称 _______________ y=-ax2-bx-c y=-ax2+bx-c 16 知识点4　二次函数图象与方程、不等式的关系 1. 二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的________。   根 17 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 拓展：|x1-x2|== 18 2. 二次函数y=ax2+bx+c与不等式的关系 ax2+bx+c>0的解集是x<x1或x>x2 ax2+bx+c<0的解集是x1<x<x2 ax2+bx+c>0的解集是x1<x<x2 ax2+bx+c<0的解集是x<x1或x>x2 19 命题点1　确定二次函数的解析式　 1. 【典例】 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标为(-1，0)， (3，0)且过点(1，-2)，则该二次函数的表达式为_____________。   y=x2-x- 20 【解析】根据题意得解得 则二次函数的表达式是y=x2-x-。 故答案为y=x2-x-。 21 【解题通法】 确定二次函数解析式的步骤 ①根据条件设解析式： 已知 所设解析式 顶点+其他点 y=a(x-h)2+k 与x轴的两个交点+其他点 y=a(x-x1)(x-x2) 与x轴的一个交点+对称轴+其他点 任意三个点 y=ax2+bx+c ②代入点坐标：将已知点坐标代入所设解析式中，得到关于待定系数的方程(组). ③求解：解方程(组)求出待定系数的值，从而得出函数的解析式。 22 2. 二次函数的图象的顶点坐标为(-2，4)，且此函数图象与y轴交点纵坐标 是8，则二次函数的解析式为____________。   y=x2+4x+8 【解析】设y=a(x+2)2+4。 ∵函数图象与y轴交点的纵坐标是8,∴8=4a+4,∴a=1, ∴y=(x+2)2+4=x2+4x+8。 故答案为y=x2+4x+8。 23 3. 已知二次函数图象的对称轴为直线x=2，并且经过点(3，1)，(0，-5)， 则此二次函数的解析式为____________。   y=-2x2+8x-5 【解析】设y=ax2+bx+c, 由题意得解得 ∴二次函数的表达式为y=-2x2+8x-5。 故答案为y=-2x2+8x-5。 24 4. 已知二次函数图象的对称轴为直线x=2，且在x轴上截得的线段长为6， 与y轴的交点为(0，-2)，则此二次函数的解析式为______________。   y=x2-x-2 【解析】∵抛物线对称轴为直线x=2,且在x轴上截得的线段长为6, ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为(-1,0)和(5,0)。 设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-5), 将(0,-2)代入得-2=-5a,∴a=, ∴抛物线的表达式为y=x2-x-2。 故答案为y=x2-x-2。 25 5. 已知一个二次函数图象的形状与抛物线y=2x2-3相同，开口相反，且它 的顶点坐标是(-2，5)，则这个二次函数的解析式为______________。   y=-2(x+2)2+5 【解析】设抛物线的表达式为y=a(x+2)2+5。 ∵该抛物线的形状与抛物线y=2x2-3相同且开口方向向下, ∴a=-2,∴y=-2(x+2)2+5。 故答案为y=-2(x+2)2+5。 26 命题点2　二次函数的图象与性质　 6. 【典例】 【一题多设问】 已知二次函数y=ax2+bx+c，下表给出了两个变量x，y的对应关系。 x … -1 0 1 2 3 4 … y … 0 -3 -4 -3 0 5 … (1)该函数的图象开口向____，对称轴为直线_____，顶点坐标为 ________，函数的最小值为____，该二次函数的图象与y轴的交点坐标 为________，与x轴的交点坐标为_______________。   (2)-3≤x≤0时，y的最大值为____，最小值为___。   上 x=1 (1，-4) -4 (0，-3) (3，0)或(-1，0) 12 -3 27 (3)当-1≤x≤2时，y的最大值为___，最小值为___。   (4)如果(-3，y1)，(2，y2)，(6，y3)在该二次函数图象上，那么y1，y2，y3 之间的大小关系是__________。   (5)已知点A(m，n)是该函数图象上一点。 ①若点A关于对称轴对称的点为B，且点B的坐标为(5，12)，则点A的坐 标为_________；  ②若点A与对称轴的距离d为5，则点A的坐标为_________________；当 距离d=4时，满足条件的点A有___个。   0 -4 y3 > y1 >y2 (-3，12) (6，21)或(-4，21) 2 28 (6)若(3，y1)，(a，y2)是该函数图象上不同的两点，且y2=y1+5，则a的值 为______。   (7)二次函数的图象与x轴所围成的区域内(不含边界)整点(横、纵坐标都 为整数的点)的个数为___。   4或-2 7 29 7. 已知抛物线y=ax2-2ax-2+a2(a≠0)。 (1)求这条抛物线的对称轴； (2)若抛物线的顶点在x轴上，求其表达式； (3)设点P(m，y1)，Q(3，y2)在抛物线上，若y1<y2，求m的取值范围。 30 解：(1)∵抛物线y=ax2-2ax-2+a2=a(x-1)2+a2-a-2， ∴抛物线的对称轴为直线x=1。 (2)∵y=a(x-1)2+a2-a-2， ∴抛物线的顶点坐标为(1，a2-a-2)， ∴a2-a-2=0，∴a=2或-1。 ①当a=2时，y=2x2-4x+2； ②当a=-1时，y=-x2+2x-1。 (3)①当a>0时。 ∵y1<y2，∴-1<m<3； ②当a<0时。 ∵y1<y2，∴m>3或m<-1。 31 命题点3　二次函数与方程、不等式的关系 8. 【典例】 【转化思维】(2024·济宁)将抛物线y=x2-6x+12向下平移k个单位长度。 若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是________。   思维导引：表示出平移后的抛物线的解析式→将新抛物线与x轴有公共点转化为一元二次方程的解的个数→利用根的判别式求解。 k≥3 32 【解析】 抛物线y=x2-6x+12向下平移k个单位长度得到抛物线 y=x2-6x+12-k。 ∵平移后得到的抛物线与x轴有公共点, ∴x2-6x+12-k=0有解,∴Δ=b2-4ac=-12+4k≥0, 则k≥3。故答案为k≥3。 33 9. 如图，二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=mx+n的图象交于A(-2，p)， B(1，q)两点，则关于x的不等式ax2-mx+c>n的解集是__________。   -2<x<1 34 【解析】 ∵二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=mx+n的图象交于 A(-2,p),B(1,q)两点, ∴当-2<x<1时,ax2+c>mx+n, ∴关于x的不等式ax2-mx+c>n的解集是-2<x<1。 故答案为-2<x<1。 35 10. 【新设问·结果开放】二次函数y=x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在 y轴右侧，则n的值可以是________________。 (填一个值即可)  -3(答案不唯一) 36 【解析】 设二次函数y=x2+3x+n的图象与x轴交点的横坐标为x1,x2, 即一元二次方程x2+3x+n=0的根为x1,x2, 由根与系数的关系得x1+x2=-3,x1x2=n。 ∵二次函数y=x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧, ∴x1,x2异号, ∴n<0,∴n可以为-3。 故答案为-3。(答案不唯一) 37 命题点4　二次函数图象与几何变换　 11. 【典例】 【一题多设问】 已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过 A(-1，0)，B(2，3)两点。 (1)二次函数的解析式为________，顶点坐标为________。   (2)该二次函数的图象关于x轴对称的新抛物线的解析式是__________；关于y轴对称的新抛物线的解析式是__________；绕顶点旋转180°后的新抛物线解析式是________；绕原点旋转180°后的新抛物线解析式是________。   38 (3)将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线L，求抛物线L的解析式。 (4)将抛物线向左平移a(a>0)个单位长度得到抛物线M。 若抛物线M与y轴的交点为(0，4)，求a的值。 (5)如果将此二次函数的图象向上平移n个单位长度后过点P(m，4)，再将点P向右平移3个单位长度后得点Q，点Q恰好落在原二次函数y=-x2+bx+c的图象上，求n的值。 39 解:(1)y=-x2+2x+3　(1,4) 提示:将A,B两点的坐标分别代入y=-x2+bx+c得解得 ∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+3。 ∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴顶点坐标为(1,4)。 (2)y=x2-2x-3　y=-x2-2x+3　y=x2-2x+5 y=x2+2x-3 40 (3)∵将抛物线向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度得到抛物线L, ∴抛物线L的表达式为y=-(x-1+3)2+4-2=-(x+2)2+2=-x2-4x-2。 (4)∵将抛物线向左平移a个单位长度得到抛物线M, ∴y=-(x-1+a)2+4=-x2+(2-2a)x-a2+2a+3。 ∵抛物线M与y轴的交点为(0,4), ∴-a2+2a+3=4, 解得a=1。 41 (5)将此二次函数的图象向上平移n个单位长度后得到 新抛物线y=-(x-1)2+4+n。 ∵新抛物线过点P(m,4),∴4=-(m-1)2+4+n, ∴n=(m-1)2。 ∵将点P向右平移3个单位长度后得点Q, ∴Q(m+3,4)。 ∵点Q恰好落在原二次函数y=-(x-1)2+4的图象上, ∴4=-(m+3-1)2+4,∴m+2=0, ∴m=-2,∴n=(m-1)2=9。 42 【易错点加练】 易错点1　忽视题目中的关键字 1. 若二次函数y=mx2+4x+m-1的图象有最高点，且最高点的纵坐标为-4，则m的值为________。   -4 43 【解析】∵二次函数y=mx2+4x+m-1的图象有最高点, ∴m<0。 ∵最高点的纵坐标为-4, ∴=-4, 整理得m2+3m-4=0, 解得m1=1(舍去),m2=-4, ∴m的值为-4。故答案为-4。 44 易错点2　求函数最值时，忽略自变量的取值范围 2. 抛物线L：y=ax(x+4)+5a的顶点的纵坐标为2，若-5≤x≤-1，则该函数 的最值情况，下列说法正确的是(　　) A. 最大值为2，最小值为-20 B. 最大值为20，最小值为2 C. 最大值为20，最小值为4 D. a值不确定，故无法求最值 45 【解析】抛物线L:y=ax(x+4)+5a=ax2+4ax+5a=a(x+2)2+a。 ∵抛物线L的顶点的纵坐标为2, ∴a=2, ∴y=2x(x+4)+10=2(x+2)2+2, ∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=-2, ∴在-5≤x≤-1内,函数有最小值2。 把x=-5代入y=2x(x+4)+10得y=20, 把x=-1代入y=2x(x+4)+10得y=4, ∴若-5≤x≤-1,则该函数的最大值为20,最小值为2。 故选B。 46 3. 已知二次函数y=x2-2bx(b为常数)，当 2≤x≤5时，函数y有最小值-1， 则b的值为__________。   47 【解析】 二次函数y=x2-2bx=(x-b)2-b2。 当2≤x≤5时,函数y有最小值-1。 ①当b>5时,在x=5处取得最小值, ∴52-10b=-1,解得b=(舍去)。 ②当2≤b≤5时,在x=b处取得最小值, ∴-b2=-1,解得b1=1(舍去),b2=-1(舍去)。 ③当b<2时,在x=2处取得最小值, ∴22-4b=-1,得b=。 综上所述,b的值是。故答案为。 48 命题点5　二次函数图象与系数a，b，c的关系 【母题】 在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象如图所示，有下列4个结论：①abc>0；②b2>4ac；③2a-b=0； ④a-b+c<0。 其中正确的结论是____________。   ②④ 49 【解题模板】 灵活探究二次函数图象与系数关系的技巧 (1)由开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断a，b，c的符号； (2)由抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac与0的关系； (3)由对称轴的位置判断2a±b的符号； (4)判断a±b+c，4a±2b+c的符号，令x=±1，x=±2，观察纵坐标； (5)判断a，c或b，c关系，联立对称轴与x等于某个值时y的式子求解； 50 (6)判断 (a+c)2与b2 的大小，先因式分解，再联立x等于某两个值的式子求解； (7)判断a+b与m(am+b)的大小，由二次函数的增减性判断有关m(am+b)的不等式； (8)判断二次函数与一元二次方程结合的根的情况，转化为抛物线与平行于x轴的直线的交点问题来求解。 51 【变式1】 判断与a，b，c有关的式子的符号 在母题条件下，判断下列结论的正误，正确的在括号内画“√”，错误的 在括号内画“✕”。 ⑤3a+c>0(　　) ⑥(a+c)2<b2(　　) ⑦4a-2b+c<0(　　) ⑧4a+2b+c>0(　　) × √ √ √ 52 【变式2】 与增减性结合判断正误 在母题条件下，判断下列结论的正误，正确的在括号内画“√”，错误的 在括号内画“✕”。 ⑨若m为任意实数，则有a+b≥m(am+b)(　　) ⑩若y≥0，则0≤x≤2(　　) √ × 53 【变式3】 与一元二次方程结合考查根的情况 在母题条件下，判断下列结论的正误，正确的在括号内画“√”，错误的 在括号内画“✕”。 ⑪关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-1，x2=3(　　) ⑫关于x的方程ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根(　　) ⑬关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根大于-1，一个根小于3(　　) × √ √ 54 1. 已知抛物线y=(x-2)2+1，下列结论错误的是(　　) A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线x=2 C. 抛物线的顶点坐标为(2，1) D. 当x<2时，y随x的增大而增大 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 55 【解析】 A.∵a=1>0, ∴抛物线开口向上,故该选项不符合题意。 B.抛物线的对称轴为直线x=2,故该选项不符合题意。 C.抛物线的顶点坐标为(2,1),故该选项不符合题意。 D.当x<2时,y随x的增大而减小,故该选项符合题意。故选D。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 56 2. (2024·东营)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列 结论正确的是(　　) A. abc<0 B. a-b=0 C. 3a-c=0 D. am2+bm≤a-b(m为任意实数) 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 57 【解析】 ∵抛物线开口向下,∴a<0。 ∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0。 ∵抛物线与x轴的交点分别是(-3,0)和(1,0), ∴对称轴为直线x=-1,∴-=-1, ∴b=2a<0,∴abc>0,故选项A错误。 ∵b=2a,∴2a-b=0,故选项B错误(否则可得a=0,不合题意)。 ∵a<0,c>0,∴3a-c<0,故选项C错误。 ∵抛物线的对称轴为直线x=-1,且开口向下, ∴当x=-1时,y最大=a-b+c。 当x=m时,y=am2+bm+c,∴am2+bm+c≤a-b+c, ∴am2+bm≤a-b(m为任意实数),故选项D正确。故选D。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 58 3. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x与y的部分对应值如下表： x -1 0 1 3 y -1 3 5 3 下列结论：①ac<0；②当x>1时，y的值随x的增大而减小；③x=3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根；④当-1<x<3时，ax2+(b-1)x+c>0. 其中正确的个数为(　　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 59 【解析】 由表中数据可知当x=0和x=3时,函数值相同,都为3, ∴对称轴为直线x==。 ∵当x=1时,y=5,∴a<0。 ∵当x=0时,y=3,∴c=3,∴ac<0,故结论①正确。 ∵a<0,∴开口向下。 ∵抛物线的对称轴为直线x=, ∴当x>时,y的值随x值的增大而减小,故结论②不正确。 ∵当x=3时,y=3,∴9a+3b+c=3, ∴9a+3(b-1)+c=0, 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 60 ∴x=3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根,故结论③正确。 ∵当x=-1时,y=-1,∴a-b+c=-1, ∴a-(b-1)+c=0, ∴x=-1是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根, ∴当-1<x<3时,ax2+(b-1)x+c>0,故结论④正确。 综上所述,正确的结论有3个。故选B。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 61 4. (2025·烟台)如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于(-2，0)和(-1，0)之间，顶点P的坐标为(1，n)。 下列结论：①abc<0；②对于任意实数m，都有am2+bm-a-b≥0；③3b<2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角形，则n=-。 其中所有正确结论的序号是(　　) A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①③④ 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 62 【解析】 ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,与y轴交于正半轴,对称轴在y轴的右侧, ∴a<0,b>0,c>0, ∴abc<0,故①正确。 ∵顶点P的坐标为(1,n), ∴当x=1时,n=a+b+c最大。 当x=m时,y=am2+bm+c, ∴a+b+c≥am2+bm+c, ∴am2+bm-a-b≤0,故②错误。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 63 ∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和(-1,0)之间,对称轴为直线x=1, ∴-=1,a-b+c>0, ∴a=-b,-b-b+c>0, ∴3b<2c,故③正确。 如图,△PAB为等边三角形,记对称轴交x轴于点H, 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 64 ∴PA=AB=PB,PH⊥AB,HA=HB,∠PAB=60°, ∴PH=tan 60°·AH。 记点A,B的横坐标分别为x1,x2, ∴n=(x2-1)=(1-x1), ∴2n=(x2-x1)。 令y=ax2+bx+c=0,则x1+x2=-=2,x1x2=, ∴x2-x1==, 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 65 ∴n=·=·==-。 ∵n=a+b+c=c-a, ∴c-a=-, ∴a(a-c)=3, ∴n=-=-, 故④正确。故选D。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 66 5. (2024·滨州)将抛物线y=-x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为________。   (1，2) 【解析】 将抛物线y=-x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,抛物线的表达式为y=-(x-1)2+2, ∴平移后的抛物线的顶点坐标为(1,2)。故答案为(1,2)。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 67 6. 【新设问·结果开放】(2025·广东)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象 经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ______________________。 (写出一个即可)  y=-x2+x+2(答案不唯一) 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 68 【解析】∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0), ∴0=-c2+bc+c。 ∵二次函数y=-x2+bx+c的图象不经过原点, ∴c≠0, 则c-b=1,若取b=1,则c=2, ∴该二次函数的表达式可以是y=-x2+x+2。 故答案为y=-x2+x+2。(答案不唯一) 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 69 7. 已知函数y=mx2+3mx+m-1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数 m的值为________。   1或- 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 70 【解析】 当m=0时,y=-1,与坐标轴只有一个交点,不符合题意。 当m≠0时,由函数y=mx2+3mx+m-1的图象与坐标轴恰有两个公共点.分情况讨论。 ①图象过坐标原点,则m-1=0,解得m=1,易知此时图象与x轴有另一交点,满足要求; ②图象与x轴、y轴各有一个交点,∴(3m)2-4m(m-1)=0,且m≠1, 解得m=0(舍去)或m=-。 综上所述,m的值为1或-。故答案为1或-。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 71 8. (2025·连云港)已知二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3，a为常数。 (1)若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，求a的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； (3)求证：该二次函数的图象不经过原点。 (1)解:∵二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3中,1>0, ∴二次函数的图象开口向上。 ∵二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点, ∴函数的最小值小于2a2, 则=2a2-4a+2<2a2, 解得a>。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 72 (2)解:∵二次函数的图象与x轴有交点, ∴对于x2+2(a+1)x+3a2-2a+3=0,Δ=4(a+1)2-4×1×(3a2-2a+3)=-8a2+16a-8= -8(a-1)2≥0, ∴8(a-1)2≤0。 又∵8(a-1)2≥0,∴8(a-1)2=0,解得a=1。 (3)证明:∵当x=0时,y=3a2-2a+3=3(a-)2+>0, ∴二次函数的图象不经过原点。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 73 74 $