13 第三章 第四节 反比例函数的综合应用-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省中考数学讲练本PPT课件（五四制）

1 2 第四节　反比例函数的综合应用 第一、二章 3 目 录 难点分层透解 好题随堂演练 4 命题点1　反比例函数与一次函数结合　 【母题1】 如图，已知直线y=x+b与反比例函数y=(k≠0)的图象交于 点A，B，点A的横坐标为-4，点B的横坐标为2。 (1)求k和b的值。 (2)观察图象，直接写出x+b≥的取值范围。 (3)连接OA，OB，求△AOB的面积。 5 解:(1)设点A的坐标为(-4,t),代入反比例函数的表达式y=(k≠0)得k=-4t。 ∵点B在反比例函数y=的图象上, ∴点B的坐标为(2,-2t)。 将点A,B的坐标分别代入y=x+b得 解得 ∴k=-4t=12。综上所述,b=3,k=12。 (2)-4≤x<0或x≥2。 6 (3)如图,设直线与y轴交点为C。 由(1)易知直线的表达式为y=x+3。 当x=0时,y=3,∴C(0,3), ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×4+×3×2=9。 7 【解题模板】 解题方法 图形 面积 和差法 S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD 铅垂法 S△ABC=S△ABD+S△BCD=BD·h1+ BD·h2=BD·(h1+h2)， 即S△ABC=×水平宽×铅垂高 8 解题方法 图形 面积 等底等高法 过△PBC的顶点P作所对的边BC的平行线l，则直线l上任一点P'与BC组成的三角形的面积等于△PBC的面积 9 【变式1】 求线段和最值 若直线x=4上有一动点N，求当NA+NB的值最小时点N的坐标。 解:由题意知B(2,6),A(-4,-3)。如图,作点B(2,6)关于直线x=4的对称点B'(6,6),连接AB',交直线x=4于点N,连接BN, 此时NA+NB=NA+NB'=AB',NA+NB的值最小,最小值为AB'的长。 ∵A(-4,-3),B'(6,6), ∴易得直线AB'的表达式为y=x+, ∴当x=4时,y=×4+=,∴点N的坐标为(4,)。 10 【变式2】 由面积比值求点坐标 若点E在线段AB上，且S△AOE∶S△EOB=2∶3，求点E的坐标。 11 解:如图,过点B作x轴的垂线,过点A作y轴的垂线,两垂线交于点G,过点E作EF⊥AG于点F。 ∵S△AOE∶S△EOB=2∶3, ∴=, ∴=。 ∵A(-4,-3),B(2,6), ∴G(2,-3)。 12 易知△AEF∽△ABG, ∴===, 即==, ∴AF=,EF=, ∴点E的坐标为(-,)。 13 【变式3】 由图形面积的值求点坐标 点Q在第一象限反比例函数的图象上，且点Q在点B左侧。 若△ABQ的面积为，求点Q的横坐标。 14 解:如图,过点Q作QH∥y轴交AB于点H。 设Q(m,),则H(m,m+3), 则QH=-(m+3)=-m-3。 ∵S△ABQ=S△AQH+S△BQH=×6×(-m-3)=3(-m-3)=, ∴化简得3m2+11m-24=0, 解得m1=,m2=(舍去), ∴点Q的横坐标为。 15 【变式4】 由线段关系求点坐标 若点K在反比例函数y=(k≠0)第一象限内的图象上，直线OK与直线AB交于点M，且BM=4AM，求点K的坐标。 16 解:易知直线AB的函数表达式为y=x+3。 ∵直线OK与直线AB交于点M, ∴点M在直线AB上。 设M(m,m+3)。 ①如图1,当点M在线段AB上时,分别过点A,B作x轴和y轴的平行线,交于点N,过点M作MD⊥AN于点D, ∴MD∥BN,AD=m+4,AN=6。 ∵BM=4AM, 17 ∴=。 ∵MD∥BN, ∴===, 解得m=-, ∴点M的坐标为(-,-)。 设直线KM的函数表达式为 y=k1x, ∴-=-k1,解得k1=, 18 ∴直线KM的函数表达式为y=x。 联立解得(负值已舍去) ∴点K的坐标为(2,)。 19 ②如图2,当点M在线段BA的延长线上时。 ∵BM=4AM,∴=。 由①同理可得=, 解得m=-6, ∴点M的坐标为(-6,-6), ∴直线KM的表达式为y=x。 联立解得(负值已舍去) ∴点K的坐标为(2,2)。 20 ③由BM=4AM,知BM>AM,则点M不在线段AB的延长线上。 综上所述,点K的坐标为(2,)或(2,2)。 21 【变式5】 根据交点个数求平移距离 已知点C为直线AB与y轴的交点，点E(1，0)，作直线CE，将直线CE向下平移n(n>0)个单位长度后，与双曲线y=有唯一交点，求n的值。 22 解:∵C(0,3),E(1,0), ∴易知直线CE的表达式为y=-3x+3。 ∵将直线CE向下平移n(n>0)个单位长度, ∴平移后的直线表达式为y=-3x+3-n。 23 联立 得3x2+(n-3)x+12=0。 ∵平移后的直线与双曲线y=有唯一交点, ∴Δ=(n-3)2-4×3×12=0, 解得n1=15,n2=-9(舍去),∴n=15。 24 命题点2　反比例函数与几何图形结合　 【母题2】 如图，在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上， 点B的坐标为(9，3)，点C的坐标为(5，0)，反比例函数y=(k≠0，x>0) 的图象经过点A，与OB交于点E。 (1)求该反比例函数的解析式。 (2)将▱OABC向右平移，使它的对角线的交点M在 反比例函数的图象上，求平移的距离。 (3)反比例函数y=(x>0)的图象与线段OB交于点E， 点G是y轴上的动点，连接GA，GE，求GA+GE的最小值。 25 解:(1)如图,过点B作BH⊥x轴于点H,过点A作AD⊥x轴于点D。 ∵▱OABC的边OC在x轴上,点B的坐标为(9,3), ∴OH=9,BH=3。 ∵点C的坐标为(5,0), ∴OC=5, ∴CH=OH-OC=4, ∴BC===5, ∴OC=BC=5,∴▱OABC是菱形, ∴OA=AB=OC=BC=5。 26 ∵BH⊥x轴,AD⊥x轴,∴AD=BH=3, ∴OD=4,∴A(4,3)。 ∵反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象经过点A(4,3), ∴k=4×3=12, ∴反比例函数的表达式为y=(x>0)。 27 (2)∵O(0,0),B(9,3), ∴M(,)。 设▱OABC向右平移m个单位长度, ∴平移后点M的坐标为(+m,)。 ∵平移后点M在反比例函数的图象上, ∴(+m)×=12, 解得m=,∴平移的距离为。 28 (3)如图,作点A关于y轴的对称点A',连接A'E交y轴于点G,此时GA+GE的值最小,最小值为A'E的长。 ∵点B的坐标为(9,3), ∴直线OB的表达式为y=x。 ∵反比例函数y=(x>0)的图象与OB交于点E, ∴x=, 29 ∴x=6或x=-6(舍去), ∴E(6,2)。 ∵A(4,3),∴A'(-4,3), ∴A'E==, ∴GA+GE的最小值为。 30 【变式1】 由面积倍数关系求点坐标 若坐标轴上有一点N，满足△OCN的面积是▱OABC的面积的2倍，求点N的坐标。 31 解:∵A(4,3),C(5,0), ∴S▱OABC=5×3=15。 ∵△OCN的面积是▱OABC的面积的2倍, ∴S△OCN=15×2=30。 ∵点C位于x轴上,∴点N只能位于y轴上, ∴×5×|yN|=30,∴yN=±12, ∴点N的坐标为(0,12)或(0,-12)。 32 【变式2】 由面积相等求点坐标 连接AE，在反比例函数图象上是否存在点P(点P与点E不重合)，使得S△OAP=S△OAE？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 解:反比例函数图象上存在点P(点P与点E不重合),使得S△OAP=S△OAE。 如图,过点E作EF⊥x轴于点F,过点A作AD⊥x轴于点D,过点P作PG⊥x轴于点G, 33 ∴EF=2,OF=6,AD=3,OD=4,∴DF=OF-OD=2。 设P(n,), ∴S△OAP=S梯形ADGP+S△POG-S△AOD=×(3+)(4-n)+n·-×4×3=-n+。 ∵S△OAE=S梯形ADFE+S△AOD-S△EOF=×(2+3)×2+×4×3-×6×2=5+6-6=5,∴S△OAP=-n+=5, 整理得3n2+10n-48=0, ∴n=或n=-6(不符合题意,舍去), ∴点P的坐标为(,)。 34 【变式3】 由特殊三角形存在性求点坐标 在x轴上是否存在点Q，使得△OAQ是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 35 解:设点Q的坐标为(q,0),易知∠AOQ≠90°。 ∵点A的坐标为(4,3),点O的坐标为(0,0),∴OA2=25,OQ2=q2,AQ2=(4-q)2+9。 ①当∠OAQ=90°时,OA2+AQ2=OQ2,即25+(4-q)2+9=q2, 解得q=; ②当∠OQA=90°时,OQ2+AQ2=OA2,即q2+(4-q)2+9=25, 解得q1=0(不符合题意,舍去),q2=4。 综上所述,点Q的坐标为(,0)或(4,0)。 36 1. (2025·山东期末)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC为矩形，其中A(4，0)，C(0，3)。 (1)当反比例函数y=(x>0)的图象和矩形OABC有交点时，k的最大值为________。 (请直接写出结果)  (2)如图，反比例函数y=(x>0)的图象与AB，BC分别交于点D，E，连接DE。 ①当k=6时，求△ODE的面积； ②连接AC，判断DE与AC是否平行，并说明理由。 1 题序 2 37 解:(1)12 提示: 由反比例函数y=(x>0),得k=xy。 当反比例函数y=(x>0)的图象和矩形OABC有交点时,得0≤x≤4,0≤y≤3, ∴当x=4,y=3时,k有最大值3×4=12。 (2)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形OABC为矩形,其中A(4,0),C(0,3), ∴B(4,3),∴AB=OC=3,BC=AO=4。 ∵反比例函数y=的图象与AB,BC分别交于点D,E, ∴D(4,),E(,3)。 1 题序 2 38 ①如图1。 ∵k=6,∴D(4,),E(2,3), ∴AD=,CE=2,∴BD=3-=,BE=4-2=2。 ∴=--- =3×4-×3×2-×4×-×2× =12-3-3- =。 1 题序 2 39 ②DE与AC相互平行。理由如下: 如图2。 设直线AC的表达式为y=mx+n,将A(4,0),C(0,3)分别代入得解得 ∴直线AC的表达式为y=-x+3。 1 题序 2 40 设直线DE的表达式为y=px+q,将D(4,),E(,3)分别代入得解得 ∴直线DE的表达式为y=-x+。 易知≠3,∴DE∥AC。 1 题序 2 41 2.(2025·淄博)如图，反比例函数y=-(x<0)和y=(x>0)的图象分别与直线y=kx+b依次相交于A(m，1)，B，C(3，n)三点。 (1)求出直线AC对应的函数表达式。 (2)分别以点A，C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点E和点F。直线EF交y轴于点D，连接AD，CD。试判断△ACD的形状，并说明理由。 (3)请直接写出关于x的不等式kx+b<-的解集。 1 题序 2 42 解：(1)把A(m，1)代入反比例函数y=-(x<0)得m=-6， ∴点A的坐标为(-6，1)。 把C(3，n)代入反比例函数y=(x>0)得n=4， ∴点C的坐标为(3，4)。 把(-6，1)和(3，4)代入y=kx+b得解得 ∴直线AC对应的函数表达式为y=x+3。 1 题序 2 43 (2)△ACD是等腰直角三角形。 理由如下：由作图可得DA=DC，即DA2=DC2。 设点D的坐标为(0，d)， 则62+(1-d)2=32+(4-d)2， 解得d=-2， ∴DA2=DC2=62+(1+2)2=45， AC2=(3+6)2+(4-1)2=90， ∴DA2+DC2=AC2，∴△ACD是等腰直角三角形。 (3)x<-6或-3<x<0。 1 题序 2 44 45 $