09 第三章 第一节 平面直角坐标系与函数初步-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省中考数学讲练本PPT课件（五四制）

1 2 第一节　平面直角坐标系与函数初步 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 难点分层透解 好题随堂演练 4 知识点1　平面直角坐标系 1.定义：在平面内，两条互相 _______且有__________的数轴组成平面 直角坐标系。其中，水平的数轴叫作x轴或横轴，铅直的数轴叫作y轴 或纵轴。  垂直 公共原点 5 2. 各象限内点的坐标特征 (1)第一象限：横坐标>0，纵坐标>0。 (2)第二象限：横坐标____0，纵坐标____0。   (3)第三象限：横坐标____0，纵坐标____0。   (4)第四象限：横坐标____0，纵坐标____0。   < > < < > < 6 3. 与坐标轴有关的点的坐标特征 (1)在x轴上：纵坐标=0。 (2)在y轴上：横坐标=0。 (3)是原点：横坐标=0且纵坐标=0。 (4)若多个点在平行于x轴的直线上，则_______相同， _______不同。   (5)若多个点在平行于y轴的直线上，则_______相同， _______不同。   (6)点P(a，b)在第一、三象限的夹角平分线上，则横、纵坐标相等， 即a=b。 (7)点P(a，b)在第二、四象限的夹角平分线上，则横、纵坐标互为相反 数，即a=-b。 纵坐标 横坐标 横坐标 纵坐标 7 4. 对称点的坐标特征 　　　　 关于谁对称，谁就不变号 (1)点P(a，b)关于x轴对称的点P1的坐标为_________。 (横坐标不变号， 纵坐标变号)  (2)点P(a，b)关于y轴对称的点P2的坐标为_________。 (横坐标变号， 纵坐标不变号)  (3)点P(a，b)关于原点对称的点P3的坐标为_________。 (横、纵坐标都变号)  (4)点P(a，b)关于直线y=x对称的点P4的坐标为_________。 (横、纵坐标互换)  (a，-b) (-a，b) (-a，-b) (b，a) 8 (5)点P(a，b)关于直线y=-x对称的点P5的坐标为_________。 (横、纵坐标 互换且都变号)  (6)点P(a，b)关于直线x=m对称的点P6的坐标为____________。   (7)点P(a，b)关于直线y=m对称的点P7的坐标为____________。   (-b，-a) (2m-a，b) (a，2m-b) 9 5. 坐标系中点之间的距离 (1)如图1，点P(a，b)到x轴的距离为____，到 y轴的距离为____ ， 点P(a，b)到原点的距离为____________。   　　　　　 纵坐标相等 (2)如图2，平行于x轴的直线上两点P1(x1，b)，P2(x2，b)(x1<x2)之间的 距离为______。   |b| |a| x2-x1 10 　　　　　 横坐标相等 (3)如图3，平行于y轴的直线上两点P1(a，y1)，P2(a，y2)(y1>y2)之间的 距离为________。   (4)如图4，平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2中点G的坐标 为()，P1，P2两点间距离P1P2=。 y1-y2 11 6. 点的平移 左减右加 (1)点P(a，b)沿水平向右方向平移m(m>0)个单位长度后坐标为(a+m，b)， 点P(a，b)沿水平向左方向平移m(m>0)个单位长度后坐标为(a-m，b)。 上加下减 (2)点P(a，b)沿竖直方向向上平移n(n>0)个单位长度后坐标为(a，b+n)， 点P(a，b)沿竖直方向向下平移n(n>0)个单位长度后坐标为(a，b-n)。 12 知识点2　函数及其相关概念 1. 常量与变量：数值发生变化的量叫作变量，数值始终不变的量叫作常量。 2. 函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。 13 3. 自变量取值范围的确定 函数解析式的形式 自变量的取值范围 整式型 全体实数 分式型y= 使分母不为0的全体实数，即B≠0 二次根式型y= 使被开方数大于或等于0的实数，即A≥0 零次幂或负整数次幂型 底数不为0 14 分式与二次根式结合型 y= B≠0且A≥0 y= B>0 注意：(1)在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意义。 (2)兼其中两种或两种以上情况时，分别求出各自的取值范围，再求公共部分 15 4.函数的三种常见表示方法：关系式法、列表法、图象法，这三种方法有时可以互相转化。 5.画函数图象的步骤：列表、描点、连线。 6.分析函数图象的基本要点 (1)分清函数图象的横、纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围。 (2)找转折点、交点(与坐标轴的交点或两条线的交点)等特殊点，并弄清楚该点的含义。 (3)判断不同段函数图象的增减性，注意平行于横轴的线的纵坐标是一个常数。 16 命题点1　平面直角坐标系中点的坐标特征 考法❶　探索点的坐标特征 1. 【典例】 【一题多设问】 已知P(m，2m-3)是平面直角坐标系内的 一点，试分别根据下列条件，直接写出点P的坐标。 　 (1)若点P在y轴上，则点P的坐标为________；  (2)若点P在x轴上，则点P的坐标为________；  (3)若点P在第四象限内，则m的取值范围是________；  (4)若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，则点P的坐标为__________；  (0，-3) (，0) 0<m< (1，-1) 17 (5)若点P在第一、三象限角平分线所在的直线上，则点P的坐标为________；  (6)若m=2，则点P关于y轴的对称点的坐标为________，关于x轴的对称点的坐标为________，关于原点的对称点的坐标为________；  (7)若m=-2，将点P向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到对应点的坐标为________。   (3，3) (-2，1) (2，-1) (-2，-1) (0，-5) 18 考法❷　计算点的距离 2. 【典例】 【一题多设问】 已知点P(2，3)。 (1)点P到x轴的距离是________；到y轴的距离是________；到原点的 距离是________。   (2)若点P和点Q所在直线与x轴平行，且PQ=3，则点Q的坐标是 ______________。   (3)若点P和点M所在直线与y轴平行，且PM=5，则点M的坐标是 ______________。   (4)若点H(3，6)，则PH的长为________；若点Q为线段PH的中点， 则点Q的坐标为___________。   3 2 (-1，3)或(5，3) (2，8)或(2，-2) () 19 3. 已知平面直角坐标系内不同的两点A(4，3a+2)和B(2a+2，3)到y轴的 距离相等，则a的值为________。   1或-3 【解析】 ∵不同的两点A(4,3a+2)和B(2a+2,3)到y轴的距离相等, ∴2a+2=±4,且3a+2≠3, ∴a=1或-3。 故答案为1或-3。 20 4. (2025·山东)在平面直角坐标系中，将点P(3，4)向下平移2个单位长度， 得到的对应点P'的坐标是________。   (3，2) 【解析】 ∵将点P(3,4)向下平移2个单位长度,∴得到的对应点P'的坐标是 (3,4-2),即P'(3,2)。故答案为(3,2)。 21 命题点2　函数自变量的取值范围　 5. 【典例】 (2025·内江)在函数y=中，自变量x的取值范围是(　　) A. x≥2 B. x≤2 C. x>2 D. x<2 【解析】 已知函数y=, 则x-2≥0,解得x≥2。故选A。 22 6. 在函数y=中，自变量x的取值范围是(　　) A. x≥1 B. x≤1且x≠0 C. x≥0且x≠1 D. x≠0且x≠1 【解析】 由x≥0且x-1≠0得出x≥0且x≠1, ∴x的取值范围是x≥0且x≠1。故选C。 23 7. 函数y=+的自变量x的取值范围是(　　) A. x≥1 B. x≥1且x≠3 C. x≠3 D. 1≤x≤3 【解析】 由题意得x-1≥0且x-3≠0, 解得x≥1且x≠3。 故选B。 24 8. 函数y=+(x-5中，自变量x的取值范围是(　　) A. x≥3且x≠5 B. x>3且x≠5 C. x<3且x≠5 D. x≤3且x≠5 【解析】 依题意得x-3>0且x-5≠0, 解得x>3且x≠5。 故选B。 25 命题点3　函数图象的分析与判断　 9. 【典例】 【新考法·学科融合】(2025·广西)生态学家通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线。 下列说法正确的是(　　) A. 第5天的种群数量为300个 B. 前3天种群数量持续增长 C. 第3天的种群数量达到最大 D. 每天增加的种群数量相同 26 【解析】 A.第5天的种群数量为400个,原说法错误,该选项不符合题意; B.前3天种群数量持续增长,说法正确,该选项符合题意; C.第5天的种群数量达到最大,原说法错误,该选项不符合题意; D.每天增加的种群数量不相同,原说法错误,该选项不符合题意。 故选B。 27 10. 【新考法·学科融合】 (2024· 青海)化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的。 实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是(　　) A. 加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B. 未加入絮凝剂时，净水率为0 C. 絮凝剂的体积每增加0. 1 mL，净水率 的增加量相等 D. 加入絮凝剂的体积是0. 2 mL时，净水 率达到76. 54% 28 【解析】 由题图可知加入絮凝剂的体积在0.5 mL时,达到最大净水率,之后净水率开始降低,故A选项错误,不符合题意; 未加入絮凝剂时,净水率为12.48%,故B选项错误,不符合题意; 当絮凝剂的体积从0.2 mL增加到0.3 mL时,净水率增加量为84.60%-76.54%=8.06%,絮凝剂的体积从0.3 mL增加到0.4 mL时,净水率增加量为86.02%-84.60%=1.42%,∴絮凝剂的体积每增加0.1 mL,净水率的增加量不相等,故C选项错误,不符合题意; 由题图可知加入絮凝剂的体积是0.2 mL时,净水率达到76.54%,故D选项正确,符合题意。 故选D。 29 命题点4　平面直角坐标系中点的规律 11. 【典例】 【逻辑推理思维】(2024·山东)任取一个正整数，若是奇数， 就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2。 反复进行上述两种运算， 经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”。 在平面 直角坐标系xOy中，将点(x，y)中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得 到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数。 例如，点(6，3)经过第1次运 算得到点(3，10)，经过第2次运算得到点(10，5)，以此类推，则点(1，4) 经过2 024次运算后得到点________。   思维导引：先利用“冰雹猜想”对点(1，4)进行运算→再观察得到的点的坐标找到循环周期→最后得出结果。 (2，1) 30 【解析】 点(1,4)经过1次运算后得到点(1×3+1,4÷2),即(4,2), 经过2次运算后得到点(4÷2,2÷1),即(2,1), 经过3次运算后得到点(2÷2,1×3+1),即(1,4), …… 发现规律,点(1,4)经过3次运算后还是(1,4)。 ∵2 024÷3=674……2, ∴点(1,4)经过2 024次运算后得到点(2,1)。故答案为(2,1)。 31 12. (2025·威海)某广场计划用如图1所示的A，B两种瓷砖铺成如图2所示 的图案。 第一行第一列瓷砖的位置记为(1，1)，其右边瓷砖的位置记为 (2，1)，其上面瓷砖的位置记为(1，2)，按照这样的规律，下列说法正 确的是(　　) A. (2 024，2 025)位置是B种瓷砖 B. (2 025，2 025)位置是B种瓷砖 C. (2 026，2 026)位置是A种瓷砖 D. (2 025，2 026)位置是B种瓷砖 32 【解析】 A种瓷砖:(1,2),(1,4),(1,6),…, (2,1),(2,3),(2,5),… B种瓷砖:(1,1),(1,3),(1,5),…, (2,2),(2,4),(2,6),… 由此可得A种瓷砖的坐标规律为(单数,双数),(双数,单数), B种瓷砖的坐标规律为(单数,单数),(双数,双数), (2 024,2 025)位置是A种瓷砖,故A选项不符合题意; (2 025,2 025)位置是B种瓷砖,故B选项符合题意; (2 026,2 026)位置是B种瓷砖,故C选项不符合题意; (2 025,2 026)位置是A种瓷砖,故D选项不符合题意。 故选B。 33 13. 【新题型·代数推理】(2025·山东期末)在平面直角坐标系中，若a， b均为整数，对于点A(a，b)，规定： 当a为奇数时，将其减1后除以2作为点B的横坐标，当a为偶数时，将其除 以2作为点B的横坐标；同时对b进行和a同样的处理作为点B的纵坐标。 由 点A到点B这样的坐标变换称为一次“归一变换”。 经过数次“归一变换”后， 平面直角坐标系内所有横、纵坐标均为整数的点终将变换为(-1，-1)， (-1，0)，(0，-1)，(0，0)中的一个。 当a，b均为整数且|a|≥20，|b|≥20时， 经过数次“归一变换”后最终变换为(-1，0)的(a，b)是________________ ____________。 (写出一个满足题意的点即可)  (-20，20) (答案不唯一) 34 【解析】 ∵a,b均为整数,|a|≥20,|b|≥20,且最后变换为(-1,0), ∴a≤-20,b≥20, ∴(a,b)可以为(-20,20)。 对(-20,20)进行“归一变换”可得(-10,10), 对(-10,10)进行“归一变换”可得(-5,5), 对(-5,5)进行“归一变换”可得(-3,2), 对(-3,2)进行“归一变换”可得(-2,1), 对(-2,1)进行“归一变换”可得(-1,0), ∴经过数次“归一变换”后最终变换为(-1,0)的(a,b)可以是(-20,20)。(答案不唯一) 故答案为(-20,20)。(答案不唯一) 35 【易错点加练】 易错点　忽视坐标平面内距离受绝对值的制约 已知P(a+1，b-2)，Q(4，3)两点。 (1)若P，Q两点关于x轴对称，求a+b的值； (2)若点P到y轴的距离是5，且PQ∥x轴，求点P的坐标。 36 解:(1)∵P,Q两点关于x轴对称, ∴a+1=4,b-2=-3, ∴a=3,b=-1,∴a+b=3+(-1)=2。 (2)∵点P到y轴的距离是5, ∴点P的横坐标为5或-5。 ∵PQ∥x轴,Q(4,3),∴点P的纵坐标为3, ∴P(5,3)或(-5,3)。 37 命题点5　动点问题的函数图象　 考法❶　判断动点函数图象 【母题1】【分类讨论思维】 (2025·齐齐哈尔)如图，在菱形ABCD中，∠A= 60°，AB=4，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止， 过点E作AD的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形(即阴影部分)的面积 为y，点E运动的路程为x(x>0)。 下列图象能反映y与x之间函数关系的是(　　) 38 39 【解析】如图,当点E在AB上时。 ∵∠A=60°,直线l⊥AD,∴∠AEF=30°, ∴AF=AE=x,∴EF==x, ∴y=AF·EF=·x·x=x2, ∴此时图象为开口向上的抛物线的一部分,排除C,D选项。 40 如图,当点E在BC上且直线l与AD相交时,作BH⊥AD于点H。 ∵∠A=60°,BH⊥AD,∴∠ABH=30°, ∴AH=AB=2,∴BH==2, ∴y=S△ABH+S矩形BEFH=×2×2+2(x-4)=2x-6, ∴此时图象为直线的一部分。 41 如图,当点E在BC上且直线l与CD相交时。 ∵∠C=∠A=60°,直线l⊥BC,CE=AB+BC-x=8-x, ∴EF=CE·tan 60°=(8-x), ∴S△CEF=CE·EF=(8-x)·(8-x)=(8-x)2, ∴y=S菱形ABCD-S△CEF=AD·BH-(8-x)2=4×2-(8-x)2=-x2+8x-24, ∴此时图象为开口向下的抛物线的一部分,排除B选项。 故选A。 42 【思维路径】 43 【解题模板】 44 【变式1】 单动点，判断函数图象 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，动点E从点B出发，其运动速度为每秒1个单位长度，沿B→C→D→A的路线匀速运动，记点E的运动时间为t秒，△ABE的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是(　　) 45 【解析】 ∵四边形ABCD是矩形,AB=6,BC=4, ∴CD=AB=6,AD=BC=4, ①当0≤t≤4时,点E在BC上运动,BE=t, ∴S△ABE=AB·BE =×6t =3t, 即S随t的增大而增大,且符合一次函数的图象。 ②当4<t≤10时,点E在CD上运动, S△ABE=AB·BC =×6×4 =12。 46 ③当10<t≤14时,点E在AD上运动,AE=BC+CD+AD-t=14-t, ∴S△ABE=AB·AE =×6×(14-t)=-3t+42, 即S随t的增大而减小,且符合一次函数的图象。 综上所述,只有选项A符合题意。 故选A。 47 【变式2】 双动点，判断函数图象 (2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，BD是边AC上的高。 点E，F分别在边AB，BC上(不与端点重合)，且DE⊥DF。 设AE=x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为(　　) 48 【解析】 如图,过点D作DH⊥AB于点H。 ∵∠ABC=90°,AB=4,BC=2, ∴AC==2。 ∵BD是边AC上的高, ∴BD===, ∴CD==,∴AD=AC-CD=, ∴DH===, ∴S△ADE=AE·DH=x×=x,S△BDE=BE·DH=(4-x)×=-x。 49 ∵∠BDE=90°-∠BDF=∠CDF,∠DBE=90°-∠CBD=∠C, ∴△BDE∽△CDF,∴=()2=()2=, ∴S△CDF=S△BDE=×(-x)=-x, ∴y=S△ABC-S△ADE-S△CDF=×2×4-x-(-x)=-x+。 ∵-<0, ∴y随x的增大而减小,且y与x的函数图象为线段(不含端点),观察各选项图象可知,A符合题意。故选A。 50 【变式3】 动图，判断函数图象 (2024·烟台)如图，水平放置的矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF=2 cm，∠E=60°。 现将菱形EFGH以1 cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系图象大致是(　　) 51 52 【解析】 如图,连接EG,HF,设EG,HF交于点O。 ∵四边形EFGH是菱形, ∴EF=EH=HG=GF。 ∵∠HEF=60°,∴∠OEF=30°,△EFH和△HFG是等边三角形。 ∵EF=2 cm, ∴FH=2 cm,EG=2EO=2EF·cos 30°=EF=6 cm, ∴S菱形EFGH=EG·FH=×6×2=6(cm2)。 53 如图,当0≤t≤3时,设HG,FG分别交AB于点N,M,则重叠部分为△MNG。 依题意得△MNG为等边三角形,运动时间为t s, 则MN=×2=t cm, ∴S=MN·t=t2。 54 如图,当3<t≤6时,连接EG交AB于点P。 依题意得EP=EG-t=(6-t)cm, 则KJ=EK===(6-t) cm, ∴S△EKJ=KJ·EP=×(6-t)2=(6-t)2, ∴S=S菱形EFGH-S△EKJ=6-(6-t)2=-t2+4t-6。 ∵EG=6<BC, ∴当6<t≤8时,S=6。 55 如图,当8<t≤11时,同理可得S=6-(t-8)2。   如图,当11<t≤14时,同理可得S=[6-(t-8)]2=(14-t)2。   综上所述,当0≤t≤3时,函数图象为开口向上的一段抛物线;当3<t≤6时,函数图象为开口向下的一段抛物线;当 6<t≤8时,函数图象为一条线段;当8<t≤11时,函数图象为开口向下的一段抛物线;当11<t≤14时,函数图象为开口向上的一段抛物线。故选D。 56 【题后反思】 解决“动点函数图象”问题的四步法 (1)审题与示意图标注：①标记不动点；②标记动点与路径；③标记关键数据；④定义变量。 (2)分段与临界点分析(化动为静)：寻找临界点，进行阶段划分。 (3)建立函数关系式(数形转换)：在划分好的每一个时间段内，建立y与x的函数关系式。 (4)分析图象特征(对号入座)：图象的起点、终点、拐点(临界点)、最高点(最低点)的坐标，必须与我们在之前步骤中计算出的x值和对应的y值完全吻合。 57 【题后反思】 注意三大误区：①自变量x的取值范围划分不清；②临界点分析遗漏或错误；③图象端点状态混淆，弄错空心圆圈和实心圆点。 58 考法❷　由动点函数图象解决问题 【母题2】 【数形结合思维】(2024·山东期末)如图1，动点P从点A出发， 沿着矩形ABCD的边，按照路线A→B→C→D→A匀速运动一周到点A停 止，速度为2 cm/s。 AP的长y(cm)与运动时间t(s)的关系图象如图2，则矩形 对角线AC的长为(　　) A. 5 cm B. 10 cm C. 11 cm D. 14 cm 59 【解析】由题意得当t=4 s时,点P运动到点B, ∴AB=2×4=8(cm)。 当t=11 s时,点P运动到点D, ∴AB+BC+CD=2×11=22(cm), ∴BC=22-8×2=6(cm), ∴AC===10(cm)。 故选B。 60 【思维路径】 61 【解题模板】 62 【变式1】 单动点解决多结论问题 (2024·济南)如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC-CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP。 设点P的运动时间为t(s)，DP2为y。 当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示。 有以下四个结论：①AB=3；②当t=5时，y=1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC-CA匀速运动时，两个时刻t1，t2(t1<t2)分别对应y1和y2。 若t1+t2=6，则y1>y2。 其中正确结论的序号是(　　) 63 　　　 图1　　 　图2 A. ①②③ B. ①② C. ③④ D. ①②④ 64 【解析】 由题意知当点P运动到点C时, DP2=y=7,即DC2=7。 如图,过点D作DH⊥BC于点H。 ∵∠B=60°,BD=2, ∴BH=BD=1,∴DH==, ∴CH===2,∴BC=BH+CH=1+2=3, ∴AB=BC=3,故①正确。 当t=5时,点P在AC上,且PC=2。 65 如图,此时AD=AP=1。 ∵∠A=60°,∴△ADP是等边三角形, ∴DP=AD=AP=1,∴y=DP2=1,故②正确。 如图,当4≤t≤6时,过点D作DH⊥AC于点H。 当4≤t≤6时,点P从如图的位置运动到点A, ∵AD=1,∴AH=AD=,∴DH=。 当点P运动到点H时,y=DH2取最小值,最小值为。 66 ∵HP=AC-AH-PC=3--1=, ∴DP2=DH2+HP2=3, ∴此时y=DP2取最大值,最大值为3, ∴当4≤t≤6时,≤y≤3,故③错误。 ∵t1+t2=6,t1<t2,∴t2=6-t1, ∴t1<3,t2>3。 67 由题意得当0≤t≤3时,y=(t-1)2+3; 当3≤t≤6时,y=(t-5.5)2+, ∴y1=(t1-1)2+3,y2=(t2-5.5)2+=(t1-0.5)2+, ∴y1-y2=(t1-1)2+3-(t1-0.5)2-=3-t1>0, ∴y1>y2,故④正确。故选D。 68 【变式2】 双动点在四边形上运动，分析图象 如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，已知点P在边AB上，以1 m/s 的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以 m/s的速度从点B向点C运动。 若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停 止运动。 图2是△BPQ的面积y(m2)与点P的运动时间t(s)之间的函数关系图象 (点M为图象的最高点)，则平行四边形ABCD的面积为(　　) A. 12 m2 B. 12 m2 C. 24 m2 D. 24 m2 69 【解析】 由题意可知AB∶BC=1∶。 设AB=a m,则BC=a m。 如图,过点P作PE⊥CB,交CB的延长线于点E。 易知PA=t m,BQ=t m,则PB=(a-t)m。 在Rt△PBE中,∠PBE=180°-∠ABC=60°,∴PE=(a-t) m, 则y=×t×(a-t),化简得y=-t2+at。 由二次函数图象可知函数顶点的纵坐标为3, ∴=a2=3,∴a2=16。 70 ∵a为正数,∴a=4, ∴AB=4 m,则BC=4 m。 过点A作AF⊥CB,交CB的延长线于点F。 在Rt△ABF中,∠ABF=60°, ∴AF=×4=2(m), ∴S▱ABCD=BC·AF=4×2=24 (m2)。 故选C。 71 【题后反思】 解决动点函数图象与几何结合的问题的常见误区 ①“视而不见”，忽略图象的细节，函数图象中的“拐点”无法与几何图形中变化的量联系到一起； ②几何图形中变化的量与函数图象对应错误； ③对水平线段理解单一，认为水平线段是代表动点停止了。 72 1. 已知点A(-6，m+2)，B(-3，m)，C(3，m)在同一个函数图象上，则这个 函数图象可能是(　　) 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 73 2. (2024·滨州)若点P(1-2a，a)在第二象限，则a的取值范围是(　　) A. a> B. a< C. 0<a< D. 0≤a< 【解析】 ∵点P(1-2a,a)在第二象限, ∴解得a>。故选A。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 74 3. (2024·广元)如果单项式-x2my3与单项式2x4的和仍是一个单项式， 则在平面直角坐标系中点(m，n)在(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【解析】∵单项式-x2my3与单项式2x4y2-n的和仍是一个单项式,∴2m=4,2-n=3, 解得m=2,n=-1, ∴点(2,-1)所在的象限为第四象限。 故选D。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 75 4.(2025·东营)如图，在同一平面内放置的Rt△EFG和矩形 ABCD，EG与AB重合，FG=3 cm，AB=4 cm，BC=5 cm， Rt△EFG以1 cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点F与点 C重合时停止。在运动过程中，Rt△EFG与矩形ABCD重 叠部分的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系图象大致是( ) 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 76 【解析】 如图,当0≤t<3时,设EF与AB交于点M,此时重叠部分为直角梯形BMEG。 由题意得BG=t cm,则BF=(3-t)cm。 ∵tan F===,∴MB=(3-t)cm, ∴重叠部分的面积=(MB+EG)·BG=×[(3-t)+4]·t=(-t2+4t)cm2。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 77 如图,当3≤t<5时,Rt△EFG完全在矩形ABCD内,此时重叠部分为Rt△EFG,   ∴此时重叠部分的面积=×3×4=6(cm2)。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 78 如图,当5≤t≤8时,设EF与CD交于点N,此时重叠部分为Rt△NCF。  由题意得BG=t cm,则CG=(t-5)cm,CF=(8-t)cm。 同理可得CN=(8-t)cm, ∴此时重叠部分的面积=×(8-t)·(8-t)=t2-t+。 综上所述,选项B符合题意。故选B。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 79 5. (2024·牡丹江)函数y=中，自变量x的取值范围是_____________。   x≥-3且x≠0 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 80 6. 第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点P的坐标是________。   (5，-3) 【解析】 ∵点P到x轴的距离是3,到y轴的距离是5,∴|y|=3,|x|=5。 ∵第四象限内点的横坐标大于零,纵坐标小于零, ∴点P的坐标是(5,-3)。故答案为(5,-3)。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 81 7. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标都是整数的点，其顺序为(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…根据这个规律，第2 026个点的坐标为________。   (46，0) 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 82 【解析】 观察图形可知,第1个点的坐标为(1,0),第4个点的坐标为(1,1),第9个点的坐标为(3,0),第16个点的坐标为(1,3),第25个点的坐标为(5,0),…… ∴第(2n-1)2个点的坐标为(2n-1,0)(n为正整数)。 ∵2 025=452, ∴第2 025个点的坐标为(45,0)。 又∵2 025+1=2 026, ∴第2 026个点在第2 025个点的右边1个单位长度处, ∴第2 026个点的坐标为(46,0)。故答案为(46,0)。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 83 8. 【新题型·多空题】(2025·湖北)如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC= 4 cm，AB=n cm。 动点P，Q均以1 cm/s的速度从点C同时出发，点P沿折线 C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点A运动。 当点Q运动到点A时，两点都 停止运动。 △PCQ的面积S(单位：cm2)与运动时间t(单位：s)的关系如图2 所示。 (1)m=________；(2)n=________。   8 12 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 84 【解析】 (1)由题图可知当t=4时,点P与点B重合。 ∵动点P,Q均以1 cm/s的速度从点C同时出发, ∴CB=CP=CQ=4 cm。 ∵∠C=90°, ∴m=CP·CQ=×4×4=8。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 85 (2)由题图可知当t=10时,S=10,此时CQ=10,BP=10-BC=6。 如图,过点P作PD⊥AC于点D,则∠PDA=90°。 ∵S=CQ·PD=×10PD=10,∴PD=2。 ∵∠PDA=∠BCA=90°,∠A=∠A,∴△ADP∽△ACB, ∴===, ∴AP=AB,∴点P为AB的中点, ∴AB=2BP=12。故答案为(1)8,(2)12。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 86 87 $