07 第二章 第三节 分式方程及其应用-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省中考数学讲练本PPT课件（五四制）

1 2 第三节　分式方程及其应用 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1　分式方程及其解法 1.分式方程的概念：分母中含有 _________的方程叫作分式方程。  未知数 5 【归纳总结】 　　“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程是分式方程的依据。 6 2. 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： 7 例如，解方程：=-1。 解：去分母得_________________，  去括号得_________________，  移项、合并同类项得________，  系数化为1得________，  检验，_________________，  ∴x=________是原分式方程的解。   2(1-x)=x-(2x-6) 2-2x=x-2x+6 -x=4 x=-4 当x=-4时，2x-6≠0 -4 8 知识点2　分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤与列整式方程 的步骤类似：审题、设未知数、列分式方程、解方程、双检验、作答。 (注意：双检验是指既要检验是不是分式方程的根，还要检验是否符合 实际问题) 9 2.常见应用类型：(从题目中找到一个量，分别用两个代数式表示。这两个代数式相等) 常见类型 基本数量关系 常见等量关系 打折 销售 问题 销售量=； 售价=标价×折扣 -=单价差 (根据数量差也可列等量关系) 10 常见类型 基本数量关系 常见等量关系 工程 问题 工作时间= (注：题干中未告知工 作总量时，工作总量可 以看作整体“1”，则=工作效率) -= 提前完成的时间； -=时间差 行程 问题 时间= -=时间差 11 命题点1　解分式方程　 1. 【典例】 解方程：+1=。 解:去分母得x-3+x-2=-3, 移项、合并同类项得2x=2, 系数化为1得x=1.经检验,x=1是原方程的解。 12 【易错警示】 ①去分母时，不要漏乘没有分母的项； ②去括号时，括号前面是负号，括号内每项都要变号； ③求出解后，要代入原分式方程或最简公分母检验，使最简公分母为0的根要舍去。 13 2. (2024·济宁)解分式方程1-=-时，去分母变形正确的是(　　) A. 2-6x+2=-5 B. 6x-2-2=-5 C. 2-6x-1=5 D. 6x-2+1=5 【解析】 方程两边同时乘(2-6x)得2-6x+2=-5。故选A。 14 3. (2025·甘肃)方程=1的解是x=________。   -1 【解析】 方程两边同时乘(x-1)得2x=x-1, 解得x=-1。 经检验:x=-1是原方程的解。 故答案为-1。 15 4. (2025·威海)解分式方程：-1=。 解:原方程去分母得x-2-(2x-1)=-1, 解得x=0。 检验:当x=0时,2x-1≠0。 ∴原方程的解是x=0。 16 命题点2　由解的情况求参数的值或范围 考法❶　分式方程的特殊解问题 5. 【典例】 若关于x的方程+=1的解为正数，则m的值可以 为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17 【解析】 去分母得2x-m=x-2, 移项、合并同类项得x=m-2。 ∵关于x的方程+=1的解为正数, ∴m-2>0,∴m>2。 ∵关于x的方程+=1可能产生增根2, ∴m-2≠2,∴m≠4, ∴m的取值范围为m>2且m≠4, ∴m的值可以为3。 故选C。 18 【解题通法】 (1)把参数当作数字解分式方程。 (2)用含参数的代数式表示x。 (3)依据题意确定字母参数的值或取值范围。 ①正根：含参代数式>0。 ②负根：含参代数式<0。 19 6. 若关于x的方程+=3的解是非负数，则m的取值范围为__________________。   m≥-7且m≠-3 【解析】 +=3, 去分母得2x+m-(x-1)=3(x-2),解得x=。 ∵关于x的方程+=3的解是非负数, ∴≥0,∴m≥-7。 ∵≠2,∴m≠-3,∴m≥-7且m≠-3。 故答案为m≥-7且m≠-3。 20 7. 若关于x的分式方程+=的解大于1，则m的取值范围是____________________。   m>0且m≠1 21 【解析】 分式方程两边同时乘最简公分母(x+2)(x-2)得x+2+2(x-2)=x+2m, 去括号得x+2+2x-4=x+2m, 解方程得x=m+1。 检验:当m+1≠2,m+1≠-2, 即m≠1且m≠-3时,x=m+1是原分式方程的解。 根据题意可得m+1>1, ∴m>0且m≠1。故答案为m>0且m≠1。 22 考法❷　分式方程的无解问题 8. 【典例】【分类讨论思维】已知关于x的分式方程-=1，若分式 方程无解，则a的值为_____________。   思维导引：先考虑分式方程无解的两种情况： ①分式方程有增根；②分式方程转化的整式方程无解→再解方程，用含a的代数式表示x的值→最后分类讨论求出a的值。 3或-2 23 【解析】-=1, x(x+a)-5(x-2)=x(x-2), (a-3)x=-10。 ∵分式方程无解, ∴当a-3=0时,方程(a-3)x=-10无解,∴a=3。 当a-3≠0时,x=, 若分式方程无解,则=2,∴a=-2。 综上所述,a的值为3或-2。 故答案为3或-2。 24 9. (2025·凉山州)若关于x的分式方程+=3无解，则m=________。   -1 【解析】 原方程两边同时乘(x-2)得x+m-1=3x-6, 移项得x-3x=-6-m+1, 合并同类项得-2x=-5-m, 系数化为1得x=。 ∵原分式方程无解, ∴x-2=0,∴x=2,∴=2,∴m=-1。 故答案为-1。 25 命题点3　分式方程的实际应用　 10. 【典例】 (2024·泰安)随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人。 甲组每天加工3 000件农产品，乙组每天加工 2 700 件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1. 2倍，求甲、乙两组各有多少名工人。 26 解:设甲组有x名工人,则乙组有(35-x)名工人。 根据题意得 =×1.2, 解得x=20。 经检验,x=20是所列方程的解,且符合题意, ∴35-x=35-20=15。 答:甲组有20名工人,乙组有15名工人。 27 11. (2024·山东)为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造。 改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为(　　) A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 28 【解析】 设改造后每天生产的产品件数为x,则改造前每天生产的产品件数为(x-100)。 根据题意得=, 解得x=300, 经检验x=300是分式方程的解,且符合题意。故选B。 29 12. (2025·云南)某化工厂采用机器人A、机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1 000千克所用时间相等。 求机器人A、机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料。 30 解:设机器人A每小时搬运x千克化工原料,则机器人B每小时搬运(x+20)千克化工原料。 根据题意得=, 解得x=80。 经检验,x=80是所列方程的解,且符合题意, ∴x+20=80+20=100。 答:机器人A每小时搬运80千克化工原料,机器人B每小时搬运100千克化工原料。 31 【易错点加练】 易错点1　去分母时忽视符号问题 1. 解方程：1-=。 解:1-=, 方程两边同乘(3x-1)得3x-1-1=-5, 解得x=-1。 检验:当x=-1时3x-1=-4≠0。 ∴分式方程的解为x=-1。 32 易错点2　求解分式方程忽视题干其他要求 2. 某校初三年级学生参加捐款活动，甲班捐款200元，乙班30名学生捐款200元，两班人均捐款比甲班人均捐款多1元，甲班有多少名学生参加这次捐款活动？(规定班级人数不超过60人) 33 解:设甲班有x名学生参加这次捐款活动。 根据题意得=-1, 整理得x2-170x+6 000=0, (x-50)(x-120)=0, 解得x1=50,x2=120, 经检验,x1=50,x2=120均为原方程的根。 ∵120>60,∴不符合题意,舍去, ∴x=50。 答:甲班有50名学生参加这次捐款活动。 34 1. (2024·泸州)分式方程-3=的解是(　　) A. x=- B. x=-1 C. x= D. x=3 1 3 5 题序 2 4 35 【解析】 -3=, 去分母得1-3(x-2)=-2, 整理得-3x=-9,∴x=3。 经检验,x=3是原方程的解, ∴原方程的解为x=3。故选D。 1 3 5 题序 2 4 36 2. “孔子周游列国”是流传很广的故事。 有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1. 5倍，孔子和学生们同时到达书院。 设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为(　　) A. =+1 B. = C. =-1 D. = 1 3 5 题序 2 4 37 【解析】 ∵学生步行的速度为每小时x里,牛车的速度是步行的1.5倍, ∴牛车的速度是每小时1.5x里。 由题意可得=+1。 故选A。 1 3 5 题序 2 4 38 3. (2024·日照东港三模)已知关于x的分式方程-=3有整数解，则满足条件的所有整数a的和为(　　) A. -18 B. -17 C. -6 D. -2 1 3 5 题序 2 4 39 【解析】 两边同时乘(x-2)得-(1+ax)-1=3(x-2), 解得x=。 ∵是整数,且≠2, ∴a的值可以是1,-2,-4,-5,-7。 ∵-2+1-7-5-4=-17, ∴满足条件的所有整数a的和为-17。故选B。 1 3 5 题序 2 4 40 4. 解方程：-=1。 解:去分母得x+(x-3)=x-2, 去括号得x+x-3=x-2, 解得x=1。经检验,x=1是原方程的解。 1 3 5 题序 2 4 41 5.(2025·淄博)某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240 km的某景区美术实践基地写生。现知共有200名师生参加了最近一次活动。 (1)一部分师生乘大巴车先行，出发36 min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门。已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度。 (2)该景区对学生(或儿童)实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元。如果购买门票的费用共计2 200元，那么参加本次活动的学生人数是多少? 1 3 5 题序 2 4 42 解：(1)设大巴车的速度为x km/h，则中巴车速度为1.25x km/h。 由题意得-=， 解得x=80。 经检验，x=80是原方程的解，且符合题意。 答：大巴车的速度是80 km/h。 1 3 5 题序 2 4 43 (2)设参加本次活动的学生人数是y，则成人人数为200-y。 由题意得10y+30(200-y)=2 200， 解得y=190。 答：参加本次活动的学生人数是190。 1 3 5 题序 2 4 44 45 $