06 第二章 第二节 一元二次方程及其应用-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省中考数学讲练本PPT课件（五四制）

1 2 第二节　一元二次方程及其应用 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 难点分层透解 好题随堂演练 4 知识点1　一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程：只含有 _____个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方 程。 　　　　　　　　 牢记二次项系数不为0 2.一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)。其中ax2，bx，c分别称 为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。 3.一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边 _______的未知数的值 叫作一元二次方程的解(根)。  一 相等 5 知识点2　一元二次方程的解法 解法 适用情况或步骤 注意事项 直接开 平方法 (1)当方程缺少一次项时，即方程形 如ax2+c=0(a≠0，ac<0)； (2)形如(x+m)2=n(n≥0)的方程 开方不要漏掉负根 因式分 解法 (1)常数项为0，即方程形如ax2+bx=0(a≠0)； (2)一元二次方程的一边为0，而另一 边易于分解成两个一次因式的乘积 两边不能同时除以含有未知数的相同因式，先将其化为等号一边为0的形式 6 解法 适用情况或步骤 注意事项 公式法 适用于所有一元二次方程，求根公式为 _______________。 (b2-4ac≥0)  步骤： (1)使用求根公式时要先把一元二次方程化为 一般形式，方程的右边一定要化为0。 (2)判断b2-4ac的正负：若 b2-4ac_____0， 则原方程无解；  若b2-4ac_____0，则将a，b，c代入公式  一定要先化为一般形式，确定判别式b2-4ac≥0 x= < ≥ 7 解法 适用情况或步骤 注意事项 配方法 适用于： 各项的系数比较小且便于配方的情况。 步骤：以3x2-6x-9=0为例。 (1)变形：将二次项系数化为 1，即__________。   (2)移项：将常数项移到方程的右边，即________。   (3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的 平方，即x2-2x+1=3+1，即________。   (4)求解：用直接开平方法求解，即x1=____，x2=_________ 配方时，给方程两边同时加上一次项系数的一半的平方 x2-2x-3=0 x2-2x=3 (x-1)2=4 3 -1 8 知识点3　一元二次方程根的判别式 _______叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac。 判别式的符号决定了方程根的情况，即  (1)Δ>0⇔方程有两个_______的实数根。   (2)Δ=0⇔方程有两个_______的实数根。   (3)Δ<0⇔方程_______实数根。   b2-4ac 不相等 相等 没有 9 知识点4　一元二次方程根与系数的关系 (2022年版课标调整为考查内容) 1. 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1+x2=______，x1x2=______。   遇两根，想“韦达”，韦达定理前提仨，一般形式是其一，a不为0是 其二，Δ≥0是其三。 例如：一元二次方程2x2-4x-1=0，则x1+x2=____，x1x2=______。   - 2 - 10 2. 根与系数关系常见的变形： +=(x1+x2)2-2x1x2；+=； |x1-x2|=。 11 知识点5　一元二次方程的应用 常见类型 基本关系式 增长率 问题 增长率=×100%。 一般类型：设原来量为a，平均增长(下降)率为x，则一次增长(下降)后的值为a(1±x)，两次增长(下降)后的值为a(1±x)2 12 常见类型 基本关系式 利润 问题 (1)利润=售价-成本(进价)， 利润率=×100%。 (2)购买问题中的“每每模型”：总利润=单件利润×数量； 成本每件a元，售价为m元时的销量是n件，售价每降低d元， 则可多卖出c件。 设售价降低了x元，则每件的利润为(m-x-a)元， 销量增加件，销量变为(n+)件，则降价后的利润为 w=(m-x-a)(n+)元 13 利息 问题 利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息 循环 问题 (1)单循环问题(比赛、握手)：设x个队进行m场比赛，每两个 队进行1场比赛，则m=________(x≥2)。   (2)双循环问题(送礼物)：设全班x人，每人向其他人赠送一张 照片，共赠送m张照片，则m=x(x-1)(x≥2) 14 面积 问题 如图1，设空白部分的宽为x，则S阴影=_______________； 如图2，设阴影部分的宽为x，则S空白=_______________； 如图3，设阴影部分的宽为x，则S空白=_____________ (a-2x)(b-2x) (a-x)(b-x) (a-x)(b-x) 15 命题点1　解一元二次方程　 1. 【典例】 已知关于x的一元二次方程(m-2)x2-4x+3=0，请回答下列问题： (1)m的取值范围是________；  (2)若m的值为3，请用三种方法求出此方程的解。 思维导引：(1)先思考二次项系数不能为0→再由m-2≠0求m的取值范围； (2)先将m=3代入方程→再用三种方法解方程。 16 解：(1)m≠2 (2)当m=3时，一元二次方程为x2-4x+3=0。 公式法：∵a=1，b=-4，c=3， ∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×3=4>0， ∴x===，∴x1=3，x2=1。 配方法：∵x2-4x+3=0，∴x2-4x=-3，∴x2-4x+4=-3+4， ∴(x-2)2=1，∴x-2=±1，∴x1=3，x2=1。 因式分解法：∵x2-4x+3=0，∴(x-3)(x-1)=0， ∴x1=3，x2=1。 17 2. (2024·东营改编)用配方法解一元二次方程x2-2x-2 025=0，将它转化为(x+a)2=b的形式，则ab的值为(　　) A. -2 026 B. 2 026 C. -1 D. 1 18 【解析】 由题知x2-2x-2 025=0, x2-2x=2 025, x2-2x+1=2 025+1, (x-1)2=2 026, ∴a=-1,b=2 026, ∴ab=(-1)2 026=1。 故选D。 19 3. (2025·贵州)一元二次方程x2-1=0的根是________。   x=±1 【解析】 x2-1=0, x2=1, x=±1, ∴一元二次方程x2-1=0的根是x=±1。 故答案为x=±1。 20 4. (2025·齐齐哈尔)解方程：x2-7x=-12。 解:整理得x2-7x+12=0, 因式分解得(x-4)(x-3)=0, ∴x-4=0或x-3=0, 解得x1=4,x2=3。 21 命题点2　一元二次方程根的判别式　 考法❶　判断根的情况 5. 【典例】 (2025·广安)关于x的一元二次方程x2+3x+1=0的根的情况 是(　　) A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 22 【解析】 ∵一元二次方程为x2+3x+1=0, ∴Δ=32-4×1×1=5>0, ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根。 故选B。 23 考法❷　由根的情况求参数取值范围 6. 【典例】【逆向思维】 (2025·山东)若关于x的一元二次方程x2+4x-m=0 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________。   思维导引：以 “方程有两个不相等的实数根” 这一结论为起点→逆向推导得出 “判别式>0” 的条件→建立不等式求解参数m的取值范围(从结果倒推条件的逆向思维)。 m>-4 【解析】 ∵方程x2+4x-m=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=42-4×1×(-m)>0, 解得m>-4。故答案为m>-4。 24 7. (2024·山东)若关于x的方程4x2-2x+m=0有两个相等的实数根，则m的 值为________。   【解析】 ∵关于x的方程4x2-2x+m=0有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×4m=4-16m=0, 解得m=。故答案为。 25 8. (2024·云南)若一元二次方程x2-2x+c=0无实数根，则实数c的取值范围 为________。   c>1 【解析】 ∵一元二次方程x2-2x+c=0无实数根, ∴Δ=(-2)2-4c<0,∴c>1。故答案为c>1。 26 命题点3　一元二次方程的实际应用　 9. 【典例】(2025·威海)如图，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园。 为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分)。 小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度。 27 解:设小路的宽度为x m。 由题意得(20-4x)(14-4x)=24×9, 整理得2x2-17x+8=0, 解得x=或x=8(舍去)。 答:小路的宽度为 m。 28 10. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是(　　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 29 【解析】 设有x个队,每个队都要赛(x-1)场,但两队之间只有一场比赛,由题意得x(x-1)÷2=21, 解得x=7或-6(舍去), ∴参赛球队的个数为7。 故选C。 30 11. 【新素材·时下热点】(改编题)2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭发射成功。 某文创商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型。 已知该模型平均每天可售出30个，每个盈利40元。 为了扩大销售，该文创商店准备适当降价。 经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出3个。 (1)若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ (2)在每个模型盈利不超过25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1 800元，每个模型应降价多少元？ 31 解:(1)根据题意得若每个模型降价4元,平均每天可以售出30+3×4=42(个), 此时每天获利(40-4)×42=1 512(元)。 答:若每个模型降价4元,平均每天可以售出42个模型,此时每天获利1 512元。 (2)设每个模型应降价x元,则每个模型盈利(40-x)元,平均每天可售出(30+3x)个。 根据题意得(40-x)(30+3x)=1 800, 整理得x2-30x+200=0, 解得x1=10,x2=20, 当x=10时,40-x=40-10=30>25,不符合题意,舍去; 当x=20时,40-x=40-20=20<25,符合题意。 答:每个模型应降价20元。 32 【易错点加练】 易错点1　误用等式的基本性质导致漏解 1. 一元二次方程(x-2)2=2(x-2)的解是________。   2. 一元二次方程x(x-3)=x-3的解是________。   易错点2　由根的情况求参数范围时忽略二次项系数 3. 若关于x的方程(m-1)x2+4x+1=0有实数解，则m的取值范围是________。   4. 若一元二次方程ax2-2x+3=0有两个实数根，则a的取值范围是____________。   x=2或4 x=1或3 m≤5 a≤且a≠0 33 命题点4　一元二次方程根与系数的关系　 【母题】 【整体思维】 设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)(x1-x2)2；(2)(x1+)(x2+)。 34 【思维路径】 35 解： 根据根与系数的关系可得x1+x2=-2，x1x2=-。 (1)(x1-x2)2=+-2x1x2=++2x1x2-4x1x2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2-4×(-)=10。 (2)(x1+)(x2+)=x1x2+1+1+=(-)+2+=-。 36 【归纳总结】 拓展公式： ①+=(x1+x2)2-2x1x2； ②+=； ③(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2； ④+=； ⑤(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2。 37 【变式1】 由根与系数的关系求代数式的值 若m，n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn的值是(　　) A. -7　　　 B. 7　　　 C. 3　　　 D. -3 【变式2】 由根与系数的关系和方程的解求代数式的值 (1)已知方程x2+2 025x-3=0的两根分别为α和β，则代数式α2+αβ+2 025α 的值为(　　) A. 1 B. 0 C. 2 025 D. -2 025 【解析】 依题意得α+β=-2 025, ∴α2+αβ+2 025α=α(α+β)+2 025α=-2 025α+2 025α=0。 故选B。 38 (2)设x1，x2是方程x2-x-2 026=0的两个实数根，则+2 027x2-2 026=________。   2 027 【解析】 ∵x2-x-2 026=0, ∴x2=x+2 026,x=x2-2 026。 又∵x1,x2是方程x2-x-2 026=0的两个实数根, ∴x1+x2=1, ∴+2 027x2-2 026 =x1+2 026x2+x2-2 026 =x1·(x1+2 026)+2 026x2+x2-2 026 =+2 026x1+2 026x2+x2-2 026 39 =x1+2 026+2 026x1+2 026x2+x2-2 026 =x1+x2+2 026(x1+x2)+2 026-2 026 =1+2 026 =2 027。 故答案为2 027。 40 【变式3】 由方程两根满足的关系求字母的值 关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1，x2， 若(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3，则k的值为(　　) A. 0或2 B. -2或2 C. -2 D. 2 41 【解析】 ∵关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0的两个实数根为x1,x2, ∴x1+x2=k-1,x1x2=-k+2。 ∵(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3, 即(x1+x2)2-2x1x2-4=-3, ∴(k-1)2+2k-4-4=-3, 解得k=±2。 ∵关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根, ∴Δ=[-(k-1)]2-4×1×(-k+2)≥0, 解得k≥2-1或k≤-2-1, ∴k=2。故选D。 42 【变式4】 构造一元二次方程求代数式的值 若两个不等实数m，n满足条件：m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，则m2+n2 的值是__________。   6 【解析】 由题意知m,n是关于x的方程x2-2x-1=0的两个根,则m+n=2,mn=-1, ∴m2+n2=(m+n)2-2mn=22-2×(-1)=6。 故答案为6。 43 【变式5】 已知方程的根求另一根或方程 (1)(2025·山东期末)若关于x的方程x2+mx-6=0的一个根是2，则另一个根 是________。   -3 1 【解析】 设方程另一个根为x1,根据题意得2x1=-6,∴x1=-3。 故答案为-3。 44 (2)已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根-2，m，则m的值为______； n的值为______。   1 -2 【解析】 ∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根-2,m, ∴ 解得即m,n的值分别是1,-2。故答案为1,-2。 45 1. 把方程x2-2x-3=0化成(x-m)2=n的形式，则m+n的值是(　　) A. -5 B. 5 C. 3 D. -3 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 46 【解析】 x2-2x-3=0, x2-2x=3, x2-2x+1=4, (x-1)2=4, ∴m=1,n=4,∴m+n=5。 故选B。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 47 2. (改编题)已知a>0，c<0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况为(　　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 48 【解析】 ∵a>0,c<0,∴ac<0, ∴方程ax2+bx+c=0的根的判别式Δ=b2-4ac>0, ∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。故选B。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 49 3. (2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根，则这个三角形的周长为(　　) A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 50 【解析】 x2-10x+21=0, (x-3)(x-7)=0, 解得x1=3,x2=7。 当等腰三角形的边长是3,3,7时,3+3<7,不符合三角形的三边关系,应舍去; 当等腰三角形的边长是7,7,3时,这个三角形的周长是7+7+3=17。 故选C。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 51 4. 【数学文化】(2025·辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》 中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问：长多阔几何？” 其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步， 问：它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程 为(　　) A. x(60-x)=864 B. x(x-60)=864 C. x(60+x)=864 D. 2[x+(x+60)]=864 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 52 5.(2025·东营)若x1，x2是关于x的一元二次方程x2-25x-1=0的两个实数根，则代数式-24x1+x2的值为 ( ) A.0 B.25 C.26 D.-1 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 53 【解析】 ∵x1是关于x的一元二次方程x2-25x-1=0的实数根, ∴-25x1-1=0,∴=25x1+1。 ∵x2是关于x的一元二次方程x2-25x-1=0的实数根, ∴x1+x2=25, ∴-24x1+x2=25x1+1-24x1+x2=x1+x2+1=25+1=26。故选C。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 54 6. 【新设问·结果开放】关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的 实数根，k为整数，则k的一个值可以为__________________。   -1(答案不唯一) 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 55 【解析】 ∵一元二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根, ∴Δ>0且k≠0,∴4-4k>0, 解得k<1,∴k<1且k≠0。 ∵k为整数, ∴k的一个值可以为-1。 故答案为-1。(答案不唯一) 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 56 7. 解方程：(1)x2+4x-12=0； (2)x(2x+1)=4x+2； (3)(x+1)(x-1)=4； (4)(y+1)(y-1)=y。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 57 解：(1)∵x2+4x+4-12=4，∴(x+2)2-12=4， ∴(x+2)2=16，∴x+2=±4，∴x1=2，x2=-6。 (2)x(2x+1)=4x+2， 去括号、移项得2x2+x-4x-2=0， 合并同类项得2x2-3x-2=0， ∴(2x+1)(x-2)=0，∴x1=-，x2=2。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 58 (3)(x+1)(x-1)=4， 去括号得x2-1=4，合并同类项得x2=5， 解得x1=，x2=-。 (4)(y+1)(y-1)=y， 去括号得y2-1=y，移项得y2-y-1=0。 ∵a=1，b=-1，c=-1，∴b2-4ac=1+4=5>0， ∴y===， ∴y1=，y2=。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 59 8. 【核心素养·应用意识】某服装专卖店在销售中发现，一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润。 经市场调查发现，若每件服装降价1元，则平均可多售出2件。 设每件服装降价x元。 (1)每天可销售______件，每件获利______元。 (用含x的代数式表示)  (2)求每件服装最多降价多少元时，平均每天可获利1 200元。 (3)若店长希望平均每天能获利2 000元，这个愿望能实现吗？请说明理由。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 60 解：(1)(20+2x)　(40-x) (2)根据题意得(40-x)(20+2x)=1 200， 整理得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20。 ∵10<20，∴x=20。 答：当每件服装最多降价20元时，平均每天可获利1 200元。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 61 (3)这个愿望不能实现。 理由如下：假设这个愿望能实现， 根据题意得(40-x)(20+2x)=2 000， 整理得x2-30x+600=0， ∵Δ=(-30)2-4×1×600=-1 500<0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即这个愿望不能实现。 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 62 63 $