05 第二章 第一节 一次方程(组)及其应用-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省中考数学讲练本PPT课件（五四制）

1 2 第一节　一次方程(组)及其应用 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1　等式的基本性质 性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。 即如果a=b， 那么a±c=______。   性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 即如果a=b，那么ac=_______，=________(c≠0)。   b±c bc 5 知识点2　一元一次方程及其解法 1.一元一次方程：在一个方程中，只含有 _______未知数，且未知数的 指数都是 ____，这样的方程叫作一元一次方程。  一个 1 6 2. 解一元一次方程的一般步骤 步骤 注意事项 去分母 (1)不能漏乘不含分母的项； (2)分子是多项式时，去分母后加括号 去括号 (1)括号前的数要乘括号内的每一项； (2)括号前是负号时，去括号后原括号内的每一项都要变号 移项 移项要改变符号 合并同类项 系数相加时，不能漏掉符号 系数化为1 分子、分母不能颠倒 7 知识点3　二元一次方程(组)及其解法 1. 二元一次方程：含有________未知数，并且含有未知数的项的次数 都是____的整式方程。 2.二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。 3.二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。 两个 1 8 4.二元一次方程组的解法 (1)代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程的方法称为代入消元法。 (2)加减消元法：通过两式相加(减)消去其中一个未知数。这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法。 9 知识点4　一次方程(组)的应用 常见问题 基本关系式 行程 问题 (匀速 运动) 路程=速度×时间 (1)相遇问题(同时出发) 如图，s甲+s乙=AB，t甲=t乙。 10 常见问题 基本关系式 行程 问题 (匀速 运动) (2)追及问题 ①同时不同地：如图，s甲=s乙+AC，t甲=t乙。 ②同地不同时：如图，乙出发a小时后甲出发，在B处相遇， s甲=s乙，t乙=a+t甲。 11 常见问题 基本关系式 行船问题 (考虑水 流速度) (1)顺水速度=静水速度+水流速度； (2)逆水速度=静水速度-水流速度 利润问题 (1)利润=售价-进价； (2)售价=标价×折扣；　 打八折即折扣为0. 8 12 利润问题 (3)销售额=售价×数量； (4)利润率=×100% 工程问题 (1)工作总量=工作效率×工作时间； (2)总工作效率=各个单独做的效率的和 13 命题点1　解一元一次方程　 1. 【典例】 【一题多解】 已知x=2是方程3a-2x=2的解，则a=______。   思维导引：①将x=2代入3a-2x=2→求a的值；②解方程用含a的代数式表示x→求a的值。 2 14 【解析】 把x=2代入方程3a-2x=2,得3a-2×2=2, 即3a-4=2, 移项、合并同类项得3a=6, 将系数化为1得a=2。 故答案为2。 15 2. 【原创题】 关于x的一元一次方程-=1经历去分母、去括号步骤 后，下面形式正确的是(　　) A. 3x-2x-2=1　 B. 3x-2x-2=6 C. 9x-2x-2=6 D. 9x-2x+2=6 【解析】 -=1, 去分母得9x-2(x-1)=6, 去括号得9x-2x+2=6。 故选D。 16 3. (2024·新疆生产建设兵团) 解方程：2(x-1)-3=x。 解:去括号得2x-2-3=x,移项得2x-x=2+3, 合并同类项得x=5。 17 4. 解方程：-1=x。 解:-1=x, 去分母得3x-1-2=2x, 移项得3x-2x=1+2, 合并同类项得x=3。 18 命题点2　解二元一次方程组　 5. 【典例】 【一题多解】解方程组： 解: ①+②得5x=15,解得x=3。 将x=3代入①得3×3+y=8,解得y=-1。 ∴原方程组的解为 19 6. (改编题)已知x，y满足方程组则x+y的值为________。   -2 【解析】 将两个方程相减得2x+2y=-4,∴x+y=-2。故答案为-2。 20 7.(2025·淄博)解方程组： 解： ②-①×2得3y+y=12-4， 解得y=2。 把y=2代入②得x=3， ∴原方程组的解为 21 8. 解方程组： 解： ②×2-①得y=，解得y=1。 将y=1代入①得x-2=3，解得x=5。 ∴原方程组的解为 22 命题点3　一次方程(组)中的含参问题　 9. 【典例】【整体代入思维】已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x-y=5，则k的值为( ) A. 4 B. 6 C. -4 D. -6 思维导引：思考如何操作方程组才能出现“x-y”→将二元一次方程组中的方程通过加减运算得出x-y=-k+1→根据x-y=5整体代入求解k的值。 23 10. 【一题多解】 【原创题】 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x-y=8，则m的值为(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 24 【解析】 方法一:∵关于x,y的二元一次方程组为 ①-②得2x-2y=4m+12, ∴x-y=2m+6。 ∵x-y=8, ∴2m+6=8, 解得m=1。 故选B。 25 方法二:直接解得方程组的解为 ∴x-y=2m+6。 ∵x-y=8, ∴m+3=4, ∴m=1。 故选B。 26 11. 在解方程组时，甲同学正确解得乙同学把c看错了，而得到则a，b，c的值为(　　) A. a=-2，b=4，c=5 B. a=4，b=5，c=-2 C. a=5，b=4，c=2 D. a=4，b=5，c=17 27 【解析】 ∵甲同学得到的是正确的解, ∴ 由②解得c=-2。 ∵乙同学把c看错了, ∴乙同学得到的解是方程ax+by=22的解, ∴-2a+6b=22,③ ①×3-③得11a=44, ∴a=4。 28 将a=4代入①得12+2b=22, ∴b=5, ∴a=4,b=5,c=-2。故选B。 29 12. (2024·东营垦利二模)若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+2y>14，则k的取值范围为________。   k<-2 30 【解析】 ∵x,y是二元一次方程组的解, ∴ ∵x+2y>14,∴3k+(-10k)>14, 解得k<-2。故答案为k<-2。 31 命题点4　一次方程(组)的实际应用　 13. 【典例】 【一题多设问】 刺绣，被誉为针尖上的千年国粹。 某刺绣工作室接到一个刺绣订单。 设问1　工作量问题 (1)王师傅单独完成这批刺绣需要8天，李师傅单独完成这批刺绣需要6天，现由王师傅先做1天，再两人合作完成，问：还需几天可以完成这批刺绣？ 设问2　行程问题 (2)王师傅以每小时4千米的速度从家步行到工作室上班，下班时以每小时3千米的速度按原路返回，结果发现下班路上所花的时间比上班路上所花的时间多5分钟。 求王师傅下班步行回家所需的时间。 32 设问3　费用问题 (3)该工作室欲将一批刺绣订单运往甲地销售，有火车和汽车两种运输方式。 主要参考数据如下： 运输工具 运费(元/千米) 装卸费用(元) 火车 15 2 000 汽车 20 900 如果汽车的总支出费用比火车的总支出费用多1 100元，甲地与工作室之间的路程是多少千米？ 33 设问4　方案问题 (4)在(3)的条件下，如果甲地与工作室之间的距离为180千米，你若是该工作室的经理，要将一批刺绣从工作室运往甲地销售。 选择哪种运输方式比较合算？ 设问5　销售问题 (5)小慧在该工作室购买了3幅A款刺绣，2幅B款刺绣，共花费3 600元；小丽在该工作室购买了2幅A款刺绣，3幅B款刺绣，共花费3 400元。 求每幅A款刺绣与B款刺绣的售价分别是多少。 34 设问6　打折销售问题 (6)某店以a元一幅的价格从工作室购进600幅不同种类的刺绣抱枕，加价20%卖出了550幅，剩余的每幅比进价降低b元后全部卖出，该店销售总价为84 000元。 已知降低b元销售的价格与按进价打8折销售的价格相同，求a和b的值。 35 解:(1)设还需x天可以完成这批刺绣。 由题意可得+=1, 解得x=3。 答:还需3天可以完成这批刺绣。 (2)设王师傅下班步行回家所需的时间为t分钟。 根据题意得4×=3×, 解得t=20。 答:王师傅下班步行回家所需的时间为20分钟。 36 (3)设甲地与工作室之间的路程是y千米。 由题意得20y+900-(15y+2 000)=1 100, 解得y=440。 答:甲地与工作室之间的路程是440千米。 (4)选择火车需要的费用:15×180+2 000=4 700(元), 选择汽车需要的费用:20×180+900=4 500(元), 4 700>4 500。 答:选择汽车运输比较合算。 37 (5)设每幅A款刺绣与B款刺绣的售价分别为m元和n元。 根据题意得 解得 答:每幅A款刺绣与B款刺绣的售价分别为800元和600元。 38 (6)根据题意得 解得 答:a的值为120,b的值为24。 39 【易错点加练】 易错点1　移项不变号 1. 方程3x-7=4-x的解是________。   x= 【解析】 移项得3x+x=4+7,合并同类项得4x=11,系数化为1得x=。故答案为x=。 40 易错点2　解方程过程中忽略括号 2. 解方程：-=1。 解:-=1, 去分母得3(x-3)-2(3x+1)=6, 去括号得3x-9-6x-2=6, 移项得3x-6x=6+9+2, 合并同类项得-3x=17, 系数化为1得x=-。 41 3. 解方程：-x=1。 解:-x=1, 去分母得x-1-3x=3, 移项、合并同类项得-2x=4, 系数化为1得x=-2。 42 易错点3　解方程去分母时漏乘常数项或符号错误 4. 解一元一次方程1-=3x+，去分母正确的是(　　) A. 1-2x-1=3x+3 B. 6-2x-1=18x+3 C. 6-2x+1=18x+3 D. 1-2x+1=3x+3 43 易错点4　代入消元时未正确替换变量(漏掉符号) 5. 【原创题】 解方程组时，利用代入消元法将y消掉得到的式子是(　　) A. 3x-2×7+2x=4　　 B. 3x-2×7-4x=4 C. 3x-2×7+4x=4 D. 3x-2×7-2x=4 6. 【原创题】 解方程组时，利用代入消元法将x消掉得到的式子是______________。   6y+3+y=10 44 1. (2025·深圳改编)若关于x的方程x+a=5的解为x=1，则a的值为(　　) A. 6 B. -6 C. 4 D. -4 【解析】 ∵关于x的方程x+a=5的解为x=1, ∴1+a=5,解得a=4。故选C。 1 4 6 8 题序 3 5 7 2 45 2.【传统文化】(2025·淄博)李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百 篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘。后人有《李白醉酒》的数学 诗(见下图)来描述李白饮酒作诗的豪放情景(❶处的大意为先遇店后见 花，如此三次)。则诗中李白的壶中原来有酒( )   A.1斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 1 4 6 8 题序 3 5 7 2 46 【解析】 设李白的壶中原来有酒x斗。 由题意得2[2(2x-1)-1]-1=0, 解得x=。故选B。 1 4 6 8 题序 3 5 7 2 47 3. 【数学文化】(2025·山东)明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手。 问：哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为(　　) A. B. C. D. 1 4 6 8 题序 3 5 7 2 48 4. (2025·烟台)某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元. 这款风扇每台的标价为(　　) A. 350元 B. 320元 C. 270元 D. 220元 1 4 6 8 题序 3 5 7 2 49 【解析】 设这款风扇每台的标价为x元。 由题意得0.6x+10=0.9x-95, 解得x=350, ∴这款风扇每台的标价为350元。故选A。 1 4 6 8 题序 3 5 7 2 50 5. (2024·宿迁)若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于x，y的方程组的解是________。   1 4 6 8 题序 3 5 7 2 51 【解析】 将方程组 整理得 ∵关于x,y的二元一次方程组的解是 ∴x-2=3,2y=-2, 解得x=5,y=-1, 1 4 6 8 题序 3 5 7 2 52 即关于x,y的方程组的解是 故答案为 1 4 6 8 题序 3 5 7 2 53 6. (2024·滨州节选)解方程：=。 解:去分母得2(2x-1)=3(x+1), 去括号得4x-2=3x+3, 移项得4x-3x=3+2, 合并同类项得x=5。 1 4 6 8 题序 3 5 7 2 54 7. (2025·潍坊)解方程组： 解: 由①得 x=y+2,③ 将③代入②得2(y+2)+3y=-1, 解得 y=-1, 将 y=-1代入③得x=1,∴ 1 4 6 8 题序 3 5 7 2 55 8. 某商场购进商品后，加价50%作为销售价，商场搞优惠促销活动，决定由顾客抽奖确定折扣。 某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到八折和九折，共付款390元，两种商品原销售价之和为450元。 (1)甲、乙两种商品的进价分别为多少元？ (2)优惠促销活动结束后，若每天销售甲、乙两种商品共20件，且销售利润不低于1 580元，那么乙商品每天最少需要卖出多少件？ 1 4 6 8 题序 3 5 7 2 56 解:(1)设甲商品的进价为x元,乙商品的进价为y元。 由题意得 解得 答:甲、乙两种商品的进价分别为100元、200元。 (2)设乙商品每天卖出a件,则甲商品每天卖出(20-a)件。 由题意得0.5×200a+0.5×100(20-a)≥1 580, 解得a≥11.6,不小于11.6的最小整数为12。 答:乙商品每天最少需要卖出12件。 1 4 6 8 题序 3 5 7 2 57 58 $