04 第一章 第四节 二次根式-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省中考数学讲练本PPT课件（五四制）

1 2 第四节　二次根式 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1　二次根式的概念 1.二次根式：一般地，形如(a≥0)的式子叫作二次根式，其中a叫作被开方数。 2.二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0。 5 3.最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。 4.同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫作同类二次根式，如是同类二次根式。 6 知识点2　二次根式的性质 1. 的双重非负性： 2. ()2=________(a≥0)。   3. =________。 [中，a的取值范围是全体实数；化简时， 不要忽略a<0的情况]  4. =________(a≥0，b≥0)。   5. =________(a≥0，b>0)。   a |a| · 7 知识点3　二次根式的运算 1.二次根式的加减：先把各个二次根式分别化成 ______________，然后再 将同类二次根式分别合并。  2. 二次根式的乘除法法则 (1)二次根式的乘法：·=______ (a≥0，b≥0)，即两个二次根式相乘， 把被开方数______，根指数不变。 (2)二次根式的除法：=__________(a≥0，b>0)，即两个二次根式相除， 把被开方数______，根指数不变。 相乘 相除 最简二次根式 8 知识点4　二次根式的估值 1. 确定一个数在哪两个相邻整数之间 (1)先对根式平方，如()2=7。 (2)再找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如与7相邻且 开得尽方的整数为4和9。 (3)最后同时开方，即可确定这个根式的值在哪两个相邻整数之间。 例如：=2，=3，则2<<3。 9 2. 确定一个数离哪个整数较近 (1)确定这个二次根式在哪两个相邻整数之间，如2<<3。 (2)求这两个整数的平均数，如=2. 5。 (3)用平方法比较根式与平均数的大小，若根式的平方大于平均数的平方，则离较大的整数近，否则离较小的整数近。 例如：()2=7，2. 52=6. 25，7>6. 25，所以离较大的整数3近。 注：记住常见开方数的值可以快速解题，如≈1. 414，≈1. 732， ≈2. 236。 10 3. 确定的整数部分 (1)确定在哪两个连续整数之间，如m≤≤m+1(m为整数)； (2)确定整数部分：的整数部分为m，小数部分为-m。 11 命题点1　二次根式有意义的条件　 1. 【典例】 (2024·烟台)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为______。   x>1 12 【易错警示】 　　二次根式有意义的条件是被开方数≥0，若二次根式在分母上，则被开方数>0。 13 2. (2025·北京)若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________。   x≥1 【解析】 根据题意得3x-3≥0,解得x≥1。 故答案为x≥1。 14 3. (2025·广州)要使代数式有意义，则x的取值范围是___________。   x≥-1且x≠3 【解析】 要使代数式有意义,则x+1≥0且x-3≠0, 解得x≥-1且x≠3。 故答案为x≥-1且x≠3。 15 命题点2　二次根式的概念及性质　 4. 【典例】 下列二次根式中，是最简二次根式的是________。 (填序号).   ①；②；③；④。 5. 把x根号外的因数移到根号内，结果是(　　) A. B. C. - D. - ①③④ 16 【解析】 由x可知x<0, ∴x=-=-。 故选C。 17 命题点3　二次根式的运算　 6. 【典例】 (2024·济宁)下列运算正确的是(　　) A. += B. ×= C. 2÷=1 D. =-5 【解析】 和不是同类项,故A选项错误。 ×=,故B选项正确。 2÷=,故C选项错误。 =|-5|=5,故D选项错误。故选B。 18 7. 下列计算正确的是(　　) A. += B. ±=±3 C. -=3 D. -=-3 【解析】 A.+=2+3=5,故该项不正确,不符合题意。 B.±=±3,故该项正确,符合题意。 C.-=-3,故该项不正确,不符合题意。 D.-=3,故该项不正确,不符合题意。 故选B。 19 8. (2025·青岛)计算：-()0。 解：原式=-1=8-1=7。 20 命题点4　二次根式的估值　 9. 【典例】 【新设问·结果开放】(2024·滨州)写出一个比大且比 小的整数_________________。   思维导引：找出比()2大的数→再从中找出比()2小的数→将找到的数进行开方。 2(答案不唯一) 【解析】 ∵<<, ∴<2<, ∴比大且比小的整数有2。故答案为2。(答案不唯一) 21 10. 已知a=，b=2，c=，则a，b，c的大小关系是(　　) A. b>a>c B. a>c>b C. a>b>c D. b>c>a 【解析】 ∵a=,b=2,c=,∴2<a<3,1<c<2, ∴a>b>c。故选C。 22 11. (2025·天津)估计1+的值在(　　) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【解析】 ∵<<, ∴2<<3,∴3<1+<4。 故选C。 23 12. (2025·烟台)实数3的整数部分为________。   4 【解析】 ∵3=,4<<5, ∴4<3<5, ∴实数3的整数部分为4。故答案为4。 24 13. (2025·重庆)若n为正整数，且满足n<<n+1，则n=________。   5 【解析】 ∵<<, ∴5<<6。 ∵n<<n+1, ∴n=5。 故答案为5。 25 命题点5　二次根式非负性的运用　 14. 【典例】 若y=+-3，则xy=________。   【解题通法】 ①如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数每个都必须为0； ②非负性常见于绝对值、偶次方、二次根式中，若与同时存在，则都为0，即a=1。 26 【解析】 由题意得2x-4≥0且4-2x≥0, 解得x=2, ∴y=-3,∴xy=2-3=。 故答案为。 27 15. (2024·乐山)已知1<x<2，化简+|x-2|的结果为(　　) A. -1　　　B. 1　　　C. 2x-3　　　D. 3-2x 【解析】 ∵1<x<2, ∴+|x-2|=x-1+2-x=1。故选B。 28 16. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|a|--结果 为________。   0 29 【解析】 由数轴可得a<0,b>0,|a|>|b|, ∴a+b<0, ∴|a|-- =-a-b+(a+b) =-a-b+a+b =0。 故答案为0。 30 【易错点加练】 易错点1　只满足二次根式有意义而忽略分母不为0 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是(　　) A. x≠　 B. x≠　 C. x>　 D. x> 31 易错点2　忽视二次根式内外“两重天” 2. 计算，小红计算的过程如下： ==5。 她的计算正确吗？请写出你的解答过程。 解：不正确。 原式==。 32 1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是(　　) A. B. C. D. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 33 【解析】 A.=2,故该选项错误,不符合题意。 B.=,故该选项错误,不符合题意。 C.=5,故该选项错误,不符合题意。 D.是最简二次根式,故该选项正确,符合题意。故选D。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 34 2. (2024·重庆A卷)已知m=-，则实数m的范围是(　　) A. 2<m<3 B. 3<m<4 C. 4<m<5 D. 5<m<6 【解析】 m=3-=2=。 ∵9<12<16,∴3<<4,∴3<m<4。故选B。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 35 3. 已知a<b，则化简二次根式的正确结果是(　　) A. -a B. -a C. a D. a 【解析】 ∵有意义, ∴-a3b≥0, ∴a3b≤0。 又∵a<b,∴a<0,b≥0, ∴=-a。 故选A。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 36 4. (2025·广东)计算×的结果是(　　) A. 3 B. 6 C. D. 2 【解析】 原式==6, 故选B。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 37 5. 如果1<a<，那么+|a-2|的值是(　　) A. 6+a B. 1 C. -a D. -6-a 【解析】 ∵1<a<,∴+|a-2|=+2-a=a-1+2-a=1。 故选B。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 38 6. 【新设问·结果开放】(2025·山东一模)请写出一个二次根式 ________________，使它满足只含有一个字母x，且当x≥2时有意义。   (答案不唯一) 【解析】 由题意可知满足条件。 故答案为。(答案不唯一) 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 39 7. 已知m是的小数部分，则的值为________。   4 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 40 【解析】 ∵m是的小数部分,∴m=-2。 原式==|m-|。 ∵m=-2,∴==+2,即>m, ∴原式=-(m-) =-m+ =-(-2)++2 =4。 故答案为4。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 41 8. 计算：|-|+(-)2-(+)2。 解：原式=2+(-++)×(---) =2+2×(-1)=0。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 42 9. 计算：2×÷5。 解：原式=4×÷5=3×=。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 43 10. 计算：3×(-)÷。 解：原式=-3××2×=-×=-×10=-。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 44 11. 已知+=0，求(x+y)2的值。 解：由题意知x-2y=0，3x+2y-8=0。 联立得解得则(x+y)2=32=9。 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 45 46 $