01 第一章 第一节 实数及其运算-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省中考数学讲练本PPT课件（五四制）

1 2 第一节　实数及其运算 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1　实数的分类 1. 按定义分类 实数 5 2.按正、负数分类 实数 6 知识点2　实数的有关概念 1. 数轴 (1)概念：规定了________、________和____________的直线叫作数轴。  (2)性质：①实数与数轴上的点是一一对应的； ②离原点越远的数的绝对值越大； ③数轴上右边的数总比左边的数大。 原点 正方向 单位长度 7 2.相反数：如果两个数只有__________不同，那么称其中一个数为另一个 数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数还是0；a+b=0⇔a，b互为相反数；在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点 两侧(0除外)，且与原点的距离__________。  3.倒数：如果两个数的_____________，那么称其中一个数是另一个数的 倒数，也称这两个数互为倒数。用数学语言表述为a·b=1，则a，b互为倒 数。特别地，1和-1的倒数还是它本身，0没有倒数。  4.绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离叫作这个数的 绝对值。 互为相反数的两个数的绝对值相等。 　符号　 　相等　 　乘积为1　 8 【归纳总结】 绝对值的表示形式及意义 ①实数a的绝对值可以表示为|a|= ②对任意实数a，总有|a|≥0； ③若|x|=a(a≥0)，则x=±a。 9 5.平方根、算术平方根、立方根 (1)平方根：一般地，如果一个数x的__________等于a，即x2=a，那么这个 数x就叫作a的平方根(也叫作二次方根)，记作__________。  正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 (2)算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个 正数x就叫作a的算术平方根，记为_______，读作“根号a”。正数的算术平 方根是正数，0的算术平方根是0。  (3)立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就 叫作a的立方根(也叫作三次方根)，记作_______。正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数，每个实数有且只有一个立方根。  　平方　 　±　  　  　 10 知识点3　近似数与科学记数法 1.近似数：与实际完全符合的数称为____________，与实际接近的数称为 ____________。  2.精确度：一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到 哪一位。 3.科学记数法：一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中 1≤a<10，n是正整数，这种记数方法叫作科学记数法。 　准确数　 　近似数　 11 4. 常见单位换算 将含有计数(量)单位的数用科学记数法表示时，要注意原数与要求表示成 的科学记数法形式的单位，常考的计数单位有：1千=103，1万=104，1亿 =108。 常考的计量单位有：1 mm=10-3 m，1 μm=_____m，1 nm=_____m。   10-6 10-9 12 知识点4　实数的大小比较 1.数轴比较法：在数轴上，右边点表示的数比左边点表示的数大。 2.法则比较法：正数>0，负数<0，正数>一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 3.作差比较法：(1)若a-b>0，则a>b；(2)若a-b=0，则a=b；(3)若a-b<0，则a<b。 13 4.作商比较法 (1)若a>0，b>0，则>1⇔a>b；=1⇔a=b；<1⇔a<b。 (2)若a<0，b<0，则>1⇔a<b；=1⇔a=b；<1⇔a>b。 5.平方比较法：比较带有根号的数或估计带有根号的无理数时，通常先把各数进行平方运算去掉根号，把无理数转化为有理数，再进行比较或估算。 14 知识点5　实数的运算 1.实数的运算法则 (1)四则运算 ①加法：同号两数相加，取____________符号，并把________________。 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取___________ __________的符号，并用较大的绝对值__________较小的绝对值；互为 相反数的两数相加得_______；一个数同0相加，仍得这个数。  ②减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数，a-b=a+_________。  　相同的　 　绝对值相加　 　绝对值较 大的数　 　减去　 　0　 　(-b)　 15 ③乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与0 相乘，积仍为0。a·b=ab；(-a)·(-b)=________；a·(-b)=-ab；0·a=_______。  ④除法：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除 以任何非0的数都得0，0不能作除数。a÷b=a·(b≠0)；0÷b=0(b≠0)。 　ab　 　0　 16 (2)乘方运算：an= 。 (3)零指数幂与负整数指数幂 ①a0=_______(a≠0)；  ②a-p=______(a≠0，p为正整数)。  (4)幂的运算：an·(±)n=(±a·)n=(±1)n。 (5)绝对值：|a-b|= 　1　  　 a-b b-a 17 2.实数混合运算的顺序 (1)先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号内 的，注意一定先计算各小项的值。 (2)没有括号的，在同一级运算中，要按从左至右的顺序依次运算。 3.实数的运算律 (1)加法的交换律：a+b=b+a。 (2)加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 (3)乘法的交换律：ab=ba。 (4)乘法的结合律：(ab)c=a(bc)。 (5)乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac。 18 知识点6 　计算器的使用 1.计算器的主要按键符号及功能说明 ON/C(开机/清零)；OFF(关闭计算器键)；2ndF(第二功能选择键)；ANS(最终答案存储器)；x-1(倒数)；yx(乘幂运算)；x2(平方)；(方根运算)；(开平方)；(开立方)； (分数输入)。 2.键盘上有些键的上方还注明这个键的其他功能(称为第二功能)，这个功能通常用不同的颜色标明以区别于这个键的第一功能，所有第二功能的使用，均应先按一下2ndF，再按一下第二功能对应的键。 　 19 由于计算器的类型不一样，操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作。 20 命题点1　实数的分类　 1. 【典例】 (2024·烟台)下列实数中的无理数是(　　) A. B. 3. 14 C. D. 21 【归纳总结】 常见无理数的形式 ①无限不循环小数； ②开方开不尽的数，如，… ③某些三角函数值，如sin 60°，cos 45°，tan 30°，… ④类似循环小数型，如1. 010 010 001…，4. 151 151 115…，… ⑤π 型，如，4π，，…(注意：π0=1) 22 2. (2025·威海)下表记录了某日我国四个城市的平均气温： 城市 北京 哈尔滨 威海 香港 气温(℃) -2. 6 -19. 8 4. 2 18. 7 其中，平均气温最低的城市是(　　) A. 北京 B. 哈尔滨 C. 威海 D. 香港 23 命题点2　实数的有关概念　 考法❶　相反数、倒数、绝对值 3. 【典例】 (2024·济宁)-3的绝对值是(　　) A. 3 B. C. -3 D. - 4. (2025·青岛)6的相反数是(　　) A. -6 B. 6 C. - D. 5. (2025·烟台)|-3|的倒数是(　　) A. 3 B. C. -3 D. - 24 考法❷　平方根、算术平方根、立方根 6. 【典例】 的平方根是(　　) A. 8 B. ±8 C. 2 D. ±2 7. (2025·济南)已知一个正方形的面积为2，则其边长为________。   8. 立方根是-2的数为________。 -8 25 命题点3　数轴　 9. 【典例】 【一题多设问】 如图，在数轴上的A，B，C，D，E五个点中： (1)点E表示的数是________；  (2)到原点距离相等的点是_____和_____，点C，D之间的距离是_______；  (3)若点A，B，C，D所对应的数分别为a，b，c，d，则a，b，c，d 的从小 到大关系为___________，a-b______0，b-c______0，a+b_______0， c+d_______0，c+a_______0；  -2 6 C D c<b<a<d > > > = < 26 (4)最小的负数对应的点是______ ，绝对值最小的数对应的点是______， 点D表示的数的倒数是______，点E表示的数的相反数是______；  (5)若点F到原点的距离为5，则点F表示的数是________；  (6)若一个点从点D处向右移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度， 此时终点所表示的数是________。  C B 2 5或-5 4 27 命题点4　科学记数法　 10. 【典例】 【本土素材】(2025·山东)好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次。 数据“9亿”用科学记数法表示为(　　) A. 9×107　 B. 0. 9×108　 C. 9×108　 D. 0. 9×109 思维导引：将9亿转化为数字→将数字用科学记数法表示。 28 【解题通法】 (1)表示形式：a×10n。 (2)a的确定：1≤|a|<10。 (3)n的确定： ①当原数的绝对值≥10时，n为正整数，且等于原数的整数位数减1； ②当0<原数的绝对值<1时，n是负整数，且它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前面的那一个)。 29 11. 【新素材·科技发展】 (2025·威海)据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”。 “破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写。 一皮秒仅相当于一万亿分之一秒。 400皮秒用科学记数法表示为(　　) A. 4×10-10秒 B. 4×10-11秒 C. 4×10-12秒　　 D. 40×10-12秒 30 12. 【新素材·科技发展】 (2025·青岛)2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星2016HO3和主带彗星311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到3. 74亿千米。 3. 74亿=374 000 000，将374 000 000用科学记数法表示为(　　) A. 0. 374×109 B. 3. 74×108 C. 3. 74×107 D. 374×106 31 命题点5　实数的大小比较　 13. 【典例】(2024·山东)下列实数中，平方最大的数是(　　) A. 3 B. C. -1 D. -2 14.(2025·淄博)下列四个实数中，比-2大的无理数是(　　) A.0 B.-1 C.- D.- 【解析】 ∵-<-2<-<-1<0,且-是无理数, ∴比-2大的无理数是-。故选C。 32 命题点6　实数的运算　 15. 【典例】(2025·威海)计算：()-1--(1-)0=________。 1-2 【解析】 原式=2-2-1=1-2。故答案为1-2。 33 16. 【核心素养·运算能力】(2025·山东)计算：|-|×+π0。 解：原式=×3+1=1+1=2。 34 17.(2025·东营)计算：()-1-+|1-|+(2-tan 60°)2 025。 解：原式=2-2+-1+(2-3)2 025=-1-1=-2。 35 【易错点加练】 易错点1　对算术平方根理解错误 1. 下列说法中，正确的是(　　) A. -9的平方根是±3 B. 16的算术平方根是2 C. 算术平方根等于它本身的数是0和1 D. 的算术平方根是3 36 【解析】 A.-9是负数,没有平方根,故本选项不符合题意。 B.16的算术平方根是4,故本选项不符合题意。 C.算术平方根等于它本身的数是0和1,故本选项符合题意。 D.=,=3,3的算术平方根是,故本选项不符合题意。故选C。 37 易错点2　忽略绝对值的意义 2. 若|a|=5，|b|=3，则a+b=______________。   ±2或±8 【解析】 ∵|a|=5,|b|=3, ∴a=±5,b=±3。 当a=5,b=3时,a+b=5+3=8; 当a=5,b=-3时,a+b=5-3=2; 当a=-5,b=3时,a+b=-5+3=-2; 当a=-5,b=-3时,a+b=-5+(-3)=-8。 综上所述,a+b的值为±2或±8。故答案为±2或±8。 38 3. 当1≤m<3时，化简|m-1|-|m-3|=________。   2m-4 【解析】 根据绝对值的性质可知,当1≤m<3时,|m-1|=m-1,|m-3|=3-m, 故|m-1|-|m-3|=(m-1)-(3-m)=2m-4。故答案为2m-4。 39 易错点3　 有理数的乘方计算错误 4. 已知(2x-3)x+3=1，则x=(　　) A. -3或1　　 B. 1或2 C. 2或1或-3　 　D. 3或-1 【解析】 ①当2x-3=1时,x=2,此时(2x-3)x+3=15=1,等式成立。②当2x-3=-1 时,x=1,此时(2x-3)x+3=(-1)4=1,等式成立。③当x+3=0时,x=-3,此时(2x-3)x+3 =(-9)0=1,等式成立。综上所述,x的值为2或1或-3。故选C。 40 易错点4　混淆数轴上数的符号 5. 如图所示，若点A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，-a，1的大小关系表示正确的是(　　) A. a<1<-a B. a<-a<1 C. 1<-a<a D. -a<a<1 41 【解析】由数轴上点的位置关系可知a<0, ∴-a>0,∴-a>a。 又∵点A到原点的距离大于1到原点的距离, ∴a<1<-a。故选A。 42 1. (2025·济南)下列各数中为负数的是(　　) A. B. 0　 C. 2　　 D. -1 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 43 2. 下列各数中，无理数是(　　) A. B. C. D. 2π 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 44 3. (2025·山东)如图，数轴上表示-2的点是(　　) A. M B. N C. P D. Q 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 45 4.(2025·淄博)党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展。根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8 160亿千瓦时。将8 160亿用科学记数法表示为( ) A.8.16×1011 B.81.6×1011 C.0.816×1011 D.8.16×1013 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 46 5. 的平方根是(　　) A. 4 B. ±4 C. 2 D. ±2 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 47 6. 填空：-3的相反数是________，绝对值是________，|-2| =________。   3- 3- 2 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 48 7. 【新素材·时下热点】(2025·烟台)2025年2月2日是第29个“世界湿地日”， 主题是“保护湿地 共筑未来”。 国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地 面积稳定保持在56 350 000公顷以上。 将数据56 350 000用科学记数法表示 为______________。   5. 635×107 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 49 8. 【原创题】如图，数轴上的点A和点B分别在原点的右侧和左侧， 点A，B对应的实数分别是a，b，则a+b________0。 (填“>”“<”或“=”)  < 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 50 9. (2025·北京)计算：|-3|++()-1-2sin 30°。 解:原式=3+3+2-2× =3+3+2-1 =4+3。 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 51 52 $