专题03 一次函数与反比例函数综合题分类训练（5种类型50道）-2026年中考数学复习高频考题专项训练（成都专用）

弈泓共享数学 专题03 一次函数与反比例函数综合题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 求取值范围】 1 【题型2 最值问题】 17 【题型3 存在性问题】 45 【题型4 与相似三角形综合】 78 【题型5 与三角函数综合】 103 【题型1 求取值范围】 1．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的关系式与的值； (2)根据图象直接写出不等式时的取值范围； (3)若动点在y轴上，求的最小值． 【答案】(1)，4 (2)或 (3) 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为， 点代入，得， 点的坐标为， 直线过点，， ，解得， 一次函数的表达式为； （2）解：不等式时的取值范围为：或； （3）解：如图，作点关于y轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长， 点，， ， ． 的最小值为． 2．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)根据图像直接写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围． (3)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 (3) 【详解】（1）解：∵点、在反比例函数的图象上， ∴，， ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得：． ∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； （2）解：根据函数图象可得，当一次函数的值小于反比例函数的值时，的取值范围是或； （3）如图，设交轴于点， 当时，， ∴，． ∵、， ∴． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出满足的x的取值范围； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题． （1）将代入求得点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）求出的长，进而根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：点A的横坐标为，点B的横坐标为4， 由函数图象可知，时，或； （3）解：当时，， ∴， ∵点B的横坐标为4， ∴． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)当时，x的取值范围； (3)点P是坐标轴上一点，若，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，等腰三角形的性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）待定系数法求反比例函数的表达式，联立求出； （2）根据图象可得当或时，直线在双曲线的上方，即可求解； （3）分类讨论，已知点P在坐标轴上，要分点P在x轴上和点P在y轴上两种情况讨论．当点P在x轴上时，要分点P在点M的左侧和点P在点M的右侧两种情况；当点P在y轴上时，要分点P在点N的上方和点P在点N的下方两种情况． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴， ∴． 将代入， 得， ∴反比例函数的表达式为； 联立 解得或 ∴； （2）解：由（1）可得，而 ∴当或时，直线在双曲线的上方， ∴当时，x的取值范围或； （3）解：∵，， ∴， ①当点P在x轴上时，设点P的坐标为． 如图，过点A作x轴的垂线，垂足为点M． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或； ②当点P在y轴上时，设点P的坐标为． 如图，过点A作y轴的垂线，垂足为点N， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或 综上所述，点P的坐标为或或或． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点A坐标为，点的坐标为 (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式． (2)连接，求的面积． (3)观察图象直接写出时的取值范围是 ． 【答案】(1)；； (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数、一次函数与方程的关系，图象法求解不等式，直角坐标系内面积求解；理解函数与方程，不等式的联系是解题的关键． （1）将已知的点坐标代入反比例函数解析式，求解参数k，将点代入反比例函数解析式，求解m，由点A，B，坐标，构建二元一次方程组求解，得一次函数解析式； （2）由一次函数解析式求得点D坐标，进而求得的面积； （3）取一、三象限内直线位于双曲线上方时对应的自变量取值范围，注意． 【详解】（1）解：经过， ∴，， ， 经过点，则， ∴． 一次函数的图象经过，， ，解得， ∴； （2）解：直线， 当时，， ∴，， ∴的面积； （3）解：反比例函数与一次函数交于，， ∴时的取值范围是或． 6．如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，交轴于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)结合图象，直接写出：当时，自变量的取值范围； (3)在轴上存在点，使与相似，且点在点的正上方，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，相似三角形的性质，是解题的关键． （1）代入得，得,代入，求出k值即得； （2）根据反比例函数和一次函数图象交点和图象的位置关系进行解答即可； （3）求出，得，，由，得，分两种情况画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵把代入得到 ∴， 根据图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴当时，自变量的取值范围为或； （3）解：∵中，时，，时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 若，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴此时点的坐标． 若，，如图， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴此时点的坐标． 综上可知，点的坐标为或． 7．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，交x轴于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象的性质： （1）根据反比例函数的解析式求出A和B的坐标，代入一次函数的解析式求出k和b即可； （2）根据即可求解； （3）数形结合即可求解． 【详解】（1）解：点的横坐标是，点A在上， ∴点A的纵坐标为，即， ∵点的纵坐标都是，点B在上， ∴，解得B的横坐标为4，即， 将代入，得， 解得， 一次函数的解析式为：； （2）解：对于， 令，则， ∴，， ； （3）解：由图可知，使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的范围是：或． 8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点M． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在y轴上取一点N，当的面积为3时，求点N的坐标； (3)请直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）把代入求出，得出反比例函数为，求出，把，，代入得：，求出，即可求出一次函数解析式； （2）把代入中求出，设，则，，根据，得出，求出n的值即可得出答案； （3）结合函数图象，根据一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，从而可得答案.． 【详解】（1）解：把代入中，， ∴， ∴反比例函数为， 把代入中，， ∴， 把，，代入得：， 解得：， ∴一次函数为； （2）解：把代入中得， ∴， ∴设， ∴，， ， 即， ∴或， ∴点N的坐标或； （3）解：∵， ∴一次函数值大于反比例函数值，即一次函数的图象在反比例函数图象的上方， ∴或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，准确计算． 9．如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象分别交于点C、D，点C坐标为，点D坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)； (2)3 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，利用函数图象解不等式．熟练掌握待定系数法是关键． （1）将点坐标代入，即可求出反比例函数解析式；根据点D坐标为．求出，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出，，再利用即可求解； （3）时，自变量的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，根据图象即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， 即反比例函数解析式为：； ∵点D坐标为． ∴， ∴点D坐标为． ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵一次函数解析式为与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴当时，则， ∴， ∴， ∵，， 则的面积， （3）解：根据图象可得，当时，自变量的取值范围为或． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． (1)若反比例函数时，取值范围是______． (2)求一次函数的解析式； (3)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与反比例函数的交点问题； （1）先求出时，，再根据函数图象判断出的取值范围； （2）先求出点A，B的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）根据点A，B的坐标，结合函数图象可直接得出答案． 【详解】（1）解：对于反比例函数， 当时，， 当时，， 故答案为：； （2）把，代入得：，， ∴， ∴，， 把，代入得：， 解得， 一次函数的解析式为； （3）∵，， ∴由函数图象可得：不等式的解集为：或． 【题型2 最值问题】 11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)； (2) (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，在中，当时，，则． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为； （3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 12．如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)直接写出的值和点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求的最小值． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，相似三角形的判定与性质，两点间的距离，熟练掌握反比例函数与一次函数交点的计算方法进行求解是解题的关键． （）由直线过点，求出的值，则点的坐标为，代入即可求出的值，联立，解出方程即可求出点的坐标； （）作关于轴对称轴，过分别作，轴于点，连接，与轴交于点，则，，，当与重合，即三点共线时的值最小为长，证明，则，求出，然后根据两点间的距离公式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴，解得：， ∴点的坐标为， ∵双曲线过点， ∴， ∴双曲线解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； （2）解：如图，作关于轴对称轴，过分别作，轴于点，连接，与轴交于点，则，，， ∴， ∵， ∴当与重合，即三点共线时的值最小为长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即纵坐标为， ∵在双曲线的图象上， ∴， ∴， ∴的最小值为． 13．如图，直线与反比例函数图象交于，B两点． (1)求点坐标及反比例函数表达式； (2)点是点右侧反比例函数图象上的一动点，过点作垂线，交反比例函数图象于点（异于点），连接．过点作的平行线交反比例函数图象于点，连接，当面积为时，求直线表达式； (3)取中点，连接，求的最小值． 【答案】(1)，反比例函数 (2) (3)最小值为 【分析】（1）将已知点代入一次函数求，代入反比例函数求，联立方程组求交点； （2）设坐标，用垂直表示坐标（在反比例函数上），用平行得坐标（在反比例函数上），用面积条件列方程求解； （3）用中点坐标公式表示，发现点横纵坐标得关系，点在直线上，将问题转化为求点到直线的距离． 【详解】（1）将代入，得：， ∴， ∴直线为． 将代入，得：， ∴， ∴反比例函数为． 联立方程组： ∴ 故点，反比例函数为． （2） 设，， ∵， ∴在中， ， ， ， 则 ∵点C是点A右侧，不与点重合， ∴， ∴ ∴ ∴点为 设点， 作轴，轴交于， 作轴，轴交于， 点， ∴ ∵ ∴ ∴在和中， ， ∴ ∴， 将代入得右边比值为 ∴， ∴， 则点 过点作轴的垂线，作直线于， 直线于，于直线相交于点， 由点，，得 直线， 则点， ∵， 即 ∴ 即 ∵， ∴ ∵为， ∴， 将，直线代入得 故直线解析式为． （3）由（2）得，， 则中点： ， ∵ ∴点在直线上， ∴点到直线距离最小． 过点作直线， 过点作轴与直线交于， 设点，则点 ，， 由得 ， 解得，（舍）不与重合， 所以， 故AF的最小值为． 【点睛】本题考查了平面几何与代数结合，一次函数与反比例函数的解析式求法、图像交点坐标，函数图象上动点的设参处理，解题的关键是灵活的设参数坐标，以及转化问题，易错点在于计算和表示坐标． 14．如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为． (1)求的值； (2)若双曲线上一点，纵坐标为，求的面积； (3)若是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在点使得的周长最小？若存在，求出点的坐标，并求出该周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的面积为； (3)，此时的周长最小为． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，割补法求面积，解题的关键在于熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质． （）先求出，然后通过待定系数法即可求解； （）求出，过作轴于点，过作轴于点，由，然后求出即可； （）求出，如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点，则有，根据两点之间线段最短可知即为所求，直线解析式为，当时，，从而得出，最后通过距离公式即可求出周长的最小值． 【详解】（1）解：∵直线图象上点的横坐标为， ∴， ∵点在双曲线图象上， ∴； （2）解：由（）得， ∴反比例解析式为， ∵双曲线上一点纵坐标为， ∴， 如图，过作轴于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； （3）解：∵是反比例函数图象上的点， ∴， ∴， 如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点， ∴，， ∴根据两点之间线段最短可知即为所求， ∵， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， 此时的周长最小为． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐标； （2）由，证明，可得，求解,证明，如图，当时，最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可； 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． ∴， ∴, ∴， ∴反比例函数为：； ∴， 解得：，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，, ∴， ∴，， 如图，当时，最短； ∴； 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键. 16．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点和点，点的坐标为，点的横坐标为5，一次函数与轴交于点． (1)求的值； (2)如图1，点是第二象限内反比例函数上一动点，连接，．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，点，均为轴上的动点，且点在点的左侧，．求的最小值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，平行四边形的性质与判定，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中即可求出答案； （2）先求出点C的坐标，进而求出的面积，则可得到的面积，进一步求出点D的纵坐标即可得到点D的坐标； （3）取，连接，可证明四边形是平行四边形，得到，则可证明当B、F、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中得， ∴； （2）解：由（1）得一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵点D在第二象限， ∴， 在中，当时，， ∴； （3）解：如图所示，取，连接， ∴轴， ∵，点，均为轴上的动点，且点在点的左侧，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴当B、F、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 17．已知，矩形的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数与矩形的，分别交于，，的面积为． (1)判断并证明直线与的关系． (2)求k的值． (3)若E，F分别为直线和反比例函数上的动点，M为中点，求的最小值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 (3) 【分析】（1）可表示出，，从而得出，，进而表示出和，进而得出，进而证得，从而，从而得出； （2）作于，可推出，从而，进一步得出结果； （3）取点，，则直线与直线关于O对称，连接，并延长交于H，连接，则，可得出当最小时，最小，作直线，交y轴与，且使与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，连接，作，则的最小值是的长，可设直线的解析式为：，由整理得，，从而得出，求得的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1， ，理由如下： ，矩形的A，B顶点分别在轴，y轴上，反比例函数与矩形的，分别交于D，C， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2， 作于G， ， ， ， ， ，（舍去）， ； （3）解：如图3， 取点，， 则直线与直线关于O对称， 连接，并延长交于，连接， 则， M是的中点， ， 当最小时，最小， 作直线，交y轴与Q，且使与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，连接，作， 当重合，重合， 则的最小值是的长， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 由整理得，， ， ，（舍去）， ， ，直线为， ∴，， ∴， ∴， 当最小时，最小，的最小值是的长， ． 【点睛】本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式，函数图象的交点与方程（组）之间的关系，三角形中位线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出时，的取值范围； (3)在平面内存在一点，且，请直接写出的最小值． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 (2)，或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，勾股定理和圆周角定理；掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤和数形结合思想是解题的关键． （1）先把点A代入反比例函数求得解析式，然后把点B代入反比例函数求得m的值，然后把A、B两点分别代入一次函数解析式即可； （2）根据函数图象即可得到结论； （3）根据圆周角定理确定点P的运动轨迹，设的中点为，当，，三点共线且，在的同侧时有最小值，由勾股定理求出和的长，由的中点Q求得，即可求出． 【详解】（1）在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上． ， ， 把，代入得 ， 解得， 一次函数解析式为； （2）由图象知，当时，，或， x的取值范围是：，或， （3）， 点在以为直径的圆上运动，    设的中点为， 当，，三点共线且，在的同侧时有最小值， ，， ， ， 的中点为， ， ∴， ， 故的最小值为． 19．如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，若，求点的坐标； (3)若是以为斜边的直角三角形，点是的中点，点的坐标为，求线段的最小值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得点的坐标，进而根据列出方程，解方程，即可求解； （3）依题意在以为直径的圆上，设的中点为，根据，得出，进而得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，根据当在线段上时，取得最小值，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：将代入 解得：， ∴ 将代入得 ∴， 将，代入 ∴ 解得： ∴ （2）解：连接 设， 对于，当， ∴ ∵ 即 解得：或 ∴或 （3）解：如图所示， ∵是以为斜边的直角三角形，点是的中点， ∴在以为直径的圆上，设的中点为 ∵， ∴，，即 设的中点为，则即 连接，∵点是的中点， ∴ ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当在线段上时，取得最小值， ∵ ∴ ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，直角所对的弦是直径，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理以及圆的有关性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．如图1，已知双曲线，直线：，过定点，且与双曲线交于、两点，设，． (1)若，求的面积； (2)若，求的值； (3)如图2，若，点在双曲线上，点在直线：上，且轴，求的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)时，最小值是 【分析】（1）根据题意求出直线的解析式，联立方程组，求出双曲线与直线的交点横坐标，再求出直线与轴的交点的坐标，结合三角形的面积公式即可求解； （2）先联系方程组，结合双曲线与直线有两个交点，以及一元二次方程根与系数的关系可得，，根据两点间的距离公式可求出，结合题意列出方程，解方程即可求出的值； （3）先结合题意求出点的坐标，连接，结合题意设设，则，分别求出和的值，得出，即可得出点在上时，最小值是，待定系数法求出所在直线的解析式，联立方程求出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，直线的解析式为：， 联立得，， 化简得：， 解得：，， 设直线与轴交于点， 令，则， 即， 故． （2）解：根据题意得：， 整理得：， ∵， 根据题意可得、是方程的两个根， ∴，， ∴， 结合，可得：， 将，代入得出， 化简可得， 即， 整理得，， 即， 解得：或． （3）解：∵直线：，过定点， ∴， 连接，如图： ∵点在双曲线上，点在直线：上，且轴， 故设，则， 故， ， 即， ∴， 当点在上时，等号成立， 设所在直线的解析式为， 将，代入得出， 解得：， 故所在直线的解析式为， 联立联立得，， 化简得：， 解得：，（舍去）， 当时，， 即点的坐标为， 当时，最小值是． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，两点间的距离公式，三角形的面积、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数的解析式等．解题的关键是学会联立方程组求两个函数的交点坐标，根据两点之间线段最短解决最短线段和最小的问题． 【题型3 存在性问题】 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)连接，，求的面积； (3)反比例函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)15 (3)存在，或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数交点问题，函数与几何结合问题，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式． （1）先将代入中求出，再将代入求出反比例解析式，后将一次函数和反比例函数联立方程组，求出； （2）先求出，再利用，代入数值即可求出本题答案； （3）先在图象上作出，有两种情况，第一种情况点在第四象限：过点作轴，，再分别过点和作的垂线，垂足分别为，继而得到，继而求出，后求出直线解析式，再与反比例函数联立方程组即可求出点的坐标；第二种情况点在第二象限：过点作轴，，再分别过点和作的垂线，垂足分别为，继而得到，继而求出，后求出直线解析式，再与反比例函数联立方程组即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ∴将代入中得：， ∴， ∴将代入中得：， ∴反比例函数的表达式：， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：连接，，将一次函数与轴交点命名为， ∴令，即，解得：， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①第一种情况点在第四象限：过点作轴，使得，再分别过点和作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴设直线解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴， ∴联立，解得：或（与重合舍去）， ∴； ②点在第二象限：过点作轴，使得，再分别过点和作的垂线，垂足分别为， 同理可得， ∴ ∴设直线解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴， ∴联立，解得：， ∴， ∴综上所述：或． 22．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标； （2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数交于点和点B． (1)求反比例函数的解析式和点B的坐标； (2)若点在反比例函数图象上，求的面积； (3)点C为x轴上一点，在坐标平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)15 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）将点代入，求出点坐标，再将点A坐标代入，求出，然后联立两个函数解析式即可求解交点B坐标； （2）先求出，然后求出直线，过点轴交于点，求出点坐标，最后由求解即可； （3）设，由以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，得到为等腰三角形，然后分三种情况讨论等腰三角形，求出点坐标，再由坐标平移法求解点． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数交于点 将点代入，则 ∴， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数解析式为：， ∵一次函数与反比例函数交于点和点B． ∴ ∴ 解得（舍）或 ∴； （2）解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴； 设直线：， ∴代入点得，， 解得， ∴直线， 过点轴交于点， 当，， ∴ ∴； （3）解：设 ∵以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形， ∴为等腰三角形， ①时， 解得，， ∴，， 当平行四边形时， ∴ ∵， ∴点向右平移个单位，向下平移5个单位得到点， ∴向右平移个单位，向下平移5个单位得到点； 当平行四边形时， ∴ ∵， ∴点向右平移个单位，向下平移5个单位得到点， ∴向右平移个单位，向下平移5个单位得到点； 当时， ， 解得， ∴， 当平行四边形时， ∴ ∵， ∴点向左平移个单位，向下平移1个单位得到点， ∴向左平移个单位，向下平移1个单位得到点； 当时， ， 整理得，，此时，方程无实数根， 故不存在点使得， 综上：在坐标平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，与面积的综合问题，菱形的性质，两点之间距离公式，解一元二次方程等知识点． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点． (1)连接，与一次函数的图象相交于点． i）求点的坐标及的长； ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值； (2)连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的长为，； (2)满足条件的点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数交点坐标的计算、两点间距离公式的应用，以及矩形、等边三角形的性质与存在性分析等代数与几何结合的综合知识点． （）①先利用点和的坐标求出直线的解析式为，再将其与一次函数联立，解方程组得到交点的坐标为，最后通过两点间距离公式计算出的长度即可；②先根据四边形是矩形的性质，得出且；再由直线的解析式推出直线的解析式为，将其与反比例函数联立求解，结合点在直线上方的条件确定的坐标；最后通过两点间距离公式求出的长度即可； （）先利用直线的表达式结合反比例函数设出点的坐标；再通过作垂线构造直角三角形(过点作点)，利用等边三角形的性质和直线与直线的交点求解(联立直线方程得坐标)，推导与的数量关系；接着分点在直线下方和上方两种情况，结合对称性(直线与反比例函数关于对称，点在上)，通过坐标关系(如)和方程求解(代入反比例函数表达式列方程)，最终确定满足条件的点的坐标． 【详解】（1）解：(i)设直线的解析式为， ∵点的坐标为，代入解析式， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立与一次函数，得 ， 解得， 所以点的坐标为， ∴的长为， (ii)如图， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∵直线的表达式为， ∴设直线的表达式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 联立， 解得或， ∵点在直线的上方， ∴点的坐标为， ∴， ∴； （2）解：存在点使得为等边三角形， 理由如下：设直线为直线， 令得，，令得，， ∴，， ∴直线与两坐标轴的坐标为，即直线与两坐标轴围成了等腰， ∴直线与轴夹角为， ∵直线的解析式为， ∴直线是两坐标轴的夹角平分线， ∴，， 过点作点， ∴， 设点，设直线的表达式为， ∴， 联立， 解得， ∴， 则， ∴，即， ①如图，当点在直线下方时.过点作轴，交直线于点， ∴， ∴在中， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴点即为点， ∵是等边三角形，轴， ∴由等边三角形的性质，点的横坐标与的中点坐标的横坐标相等，即即， ∴设，则， ∵点在双曲线上， ∴， 解得(舍去)， ∴， ②当点在直线上方时， ∵直线和反比例函数图象都关于直线对称，点在直线上， ∴由对称性得点关于直线的对称点也满足题意， 如图，连，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与对应边与边上的高相等，即的纵坐标等于的横坐标， ∴将代入中得， ∴； 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 25．如图，直线分别交轴、轴于、两点，反比例函数的图像与直线交于、两点，已知点的纵坐标为，连接、． (1)求反比例函数的解析式和的面积． (2)试说明：． (3)若是上不与、重合的任意一点，，于，于． ①为何值时，？ ②线段上是否存在点，使？若存在这样的点，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①所以当a为时，；②存在，． 【分析】本题主要考查了求反比例函数的性质、求一次函数的解析式、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先求出点Q的坐标，然后代入求得k的值，即可确定 反比例函数解析式；再与直线联立求得交点坐标，根据勾股定理求出线段的长．如图：过点O作于点F，利用三角形的面积公式求出的长，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）先 A、B两点的坐标，易得是等腰直角三角形，则，，由可知是线段的垂直平分线，故，由P、Q两点的坐标可知，故，所以，进而证明结论； （3）①如图：过点D作轴于点M，由于，故，由可知是等腰直角三角形，故，再根据轴可知四边形是矩形，故，在中利用勾股定理即可求出a的值；②由①可知，，由于，所以若，则，故可得出a的值． 【详解】（1）解：∵直线分与反比例函数的图像与直线交于、两点，点的纵坐标为， ∴，即点的横坐标为， ∴， ∴，即， ∴，即， 联立，解得：或， ∴，， 如图：过点O作于点F， ∵直线分别交轴、轴于、两点， ∴点， ∴，， ∴，即，解得：， ∵，， ∴， ∴． （2）证明：∵点， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴，， ，， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴． （3）解：①如图：过点D作轴于点M， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ∵， ∴，即， 解得或（舍去）． 所以当a为时，； ②存在．理由如下： 由①可知，， ∵， ∴，即，解得， ∴， ∴． 26．如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出点A坐标，再设出直线解析式，并利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于T，连接，则，可得，进而得到；设，则，解方程即可得到答案； （3）连接交于H，可证明，得到；由对称性可得，且点H为的中点，由等面积法可得，设，则，解方程可得，根据中点坐标公式可得，求出的中点坐标为，则的中点坐标为，即可得到点D的坐标为． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于，B两点， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于T，连接， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； 设， ∴， 解得（已检验符合题意）或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接交于H， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ∵点B和点C关于对称， ∴，且点H为的中点， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∵四边形是矩形， ∴的中点坐标为， ∴点D的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理及其逆定理，矩形的性质，轴对称的性质，中点坐标公式，正确作出辅助线是解题的关键． 27．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)M点的坐标为或 (3)Q点坐标为 【分析】（1）将点代入，可求函数解析式，从而求出，将点A、B代入，可求一次函数解析式； （2）连接，由O是的中点，可得的面积，设，根据的面积，求出t的值即可求M点坐标； （3）设，，根据平行四边形对角线情况分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点A、B代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：连接， ∵直线与反比例函数交于C点， ∴A、C关于原点对称， ∴， ∴O是的中点， ∵的面积为8， ∴的面积， 设， ∴的面积， 当时，解得， ∴； 当时，解得， ∴； 综上所述：M点的坐标为或； （3）解：存在点Q，理由如下： 设，， 当为对角线时，， 解得， ∴； 当为对角线时，，无解； 当为对角线时，， 解得， ∴； 点在反比例函数的图象的右支上， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 28．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的为前提 （1）先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据图象直接得出答案； （3）先求出，再根据面积关系求出，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：，两点都在反比例函数的图象上， ． ． 反比例函数的解析式为，． ，两点都在一次函数的图象上， 解得 一次函数的解析式为． （2）解：由图可知，当或时，不等式． （3）解：存在． 如图，过点B作轴，垂足为D． ，， ，． ，． ． ， ． 设点P的横坐标为，则． ． 或． 当点P在上，则或． 点P的坐标为或． 29．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是第四象限反比例函数图象上一点，当的面积为时，求点的坐标； (3)反比例函数的图象上是否存在一点．使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数解析式为； (2)点的坐标为或； (3)或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题、待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）由点坐标求出反比例函数解析式，再求出点坐标，进而求出直线解析式； （）过作轴交于点，设，则，则，然后分，，求出的值即可； （）分当点在第四象限时， 当点在第二象限时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵一次函数（）的图象过，， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：如图，过作轴交于点， 设，则， ∴， ∴， ∴， ，整理得：， 解得：， ∵， ∴； ，整理得：， 解得：， ∵， ∴， 综上可得：点的坐标为或； （3）解：当点在第四象限时，如图，构造等腰直角三角形，且， 过作轴，再分别过作的垂线段，垂足分别为， 则， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由点和点坐标同上可得直线解析式为， 联立 ， 解得或 （与点重合，舍去）， ∴； 当点在第二象限时，如图，构造等腰直角三角形且， 同理可得直线解析式为， 联立得 ， 解得或 （与点重合，舍去）， ∴， 综上，或． 30．如图，直线与双曲线交于，两点，与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)直接写出k、b、m的值； (2)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，请求出点P的坐标； (3)x轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，也考查了利用轴对称求最短路径，勾股定理等知识； （1）先把点代入求出m的值，然后求出n的值，再利用待定系数法，即可求出k和的值； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小，得出，求得直线的解析式为，令，即可求解； （3）利用坐标两点距离公式，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意， 把点代入，得， 解得； ∴， 把代入，得， ∴； 把点、代入，得， 解得， ∴； 综上所述：，，． （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴， ∴，此时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 当时，， ∴． （3）解：点M坐标为或时，是以为直角边的直角三角形．理由如下， 设x轴上存在点M，其坐标为， ∵，， ∴， ， ， 当是以为斜边的直角三角形时，即：， ∴， 解得：，即点M坐标为， 当是以为斜边的直角三角形时，即：， ∴， 解得：，即点M坐标为， 综上所述：点M坐标为或时，是以为直角边的直角三角形． 【题型4 与相似三角形综合】 31．直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求直线的解析式； (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象分别交于点和点， ∴，， ∴，， ∴，， 将，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：在中，当时，，即， 当时，，解得：，即， ∵与相似， ∴当时，， ∵点是轴上一动点， ∴此时点的坐标为； 当时，， 设，则，，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 32．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求一次函数的表达式，并求的面积． (2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标，再把点A和点C坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式，进而求出点M的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （2）利用对称性可得点B坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案当时，则，可求出；设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴； 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或． 33．如图，直线与直线交于点，与轴交于点，经过点的反比例函数的图象与直线在第四象限交于点，连接并延长与反比例函数的图象在第二象限交于点． (1)求，及的值； (2)求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的综合应用，相似三角形的判定与性质，关键是熟练掌握函数交点的求解方法及相似三角形的对应关系分类讨论． （1）利用点在直线上求出的值，再代入直线求，最后代入反比例函数求； （2）先求点、的坐标，再求直线的解析式，联立反比例函数解析式求解第二象限的交点即为； （3）先计算和的各边长度，通过分类讨论相似的对应关系，验证是否存在满足条件的点． 【详解】（1）解：点在直线上， ，解得，即； 点在直线上， ，即，解得； 点在反比例函数上， ，解得； （2）解：直线与轴交于点，令，得，； 联立反比例函数与直线，得， 整理得，即，解得或， 点在第四象限，，代入得，即； 设直线的解析式为，将、代入得： ，解得，直线的解析式为； 联立直线与反比例函数，得， 整理得，因式分解得，解得或， 点在第二象限，，代入得，即； （3）解：存在．设，已知，，，， ∴， ， ， ， ，； ①当时，， 即， 由，解得， 由，解得，即或， 当时，，舍去； 当时，，符合条件， ∴． ②当时，， 即， 由，解得， 由，解得，即或， 当时，，舍去； 当时，，符合条件， ∴． 综上，点的坐标为或． 34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，交轴于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若为反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标； (3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）代入得，得,代入，求出a值即得； （2）可得点，得,取中点S，连接,则，,取点S关于点O的对称点，当时，求出解析式，联立得，解得（符合），得；取点Q关于点S的对称点，当时，求出解析式，联立得，解得，得；即得点的坐标为或或或； （3）求出，得，，由，得，根据与相似，，得，得，得；或，得，得；即得点的坐标或． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 取中点S，连接， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴点P到的距离是点O到距离的2倍， 取点S关于点O的对称点， 当时， 设解析式为， ∴， ∴， ∴， 联立得， ∴（舍去）， ∴； 取点Q关于点S的对称点N， ∵，， ∴， 当时，设解析式为， ∴， ∴， ∴， 联立得， ∴（舍去）， ∴； ∴点的坐标为或； （3）解：∵中，时，，时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相似，， ∴， ∴， ∴， ∴； 或， ∴， ∴， ∴； ∴点的坐标或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与三角形面积综合，同底三角形面积与高的关系，相似三角形性质，分类讨论，是解题的关键． 35．如图，一次函数图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)连接并延长与反比例函数的图象交于另一点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，解题的关键是根据相似三角形的性质进行分类讨论． （1）将点的坐标代入关系式,，即可求出答案； （2）分点在轴的正半轴和负半轴两种情况讨论。点在轴的正半轴时，不可能相似；点落在轴的负半轴时，分,两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中， ， 反比例函数的解析式为：； 将代入一次函数中， ， ， 直线的解析式为：． （2）解：， ， 当点落在轴的正半轴上， 则， 与不可能相似． 当点落在轴的负半轴上， 若，则． ， ， ． 若，则． ， ． ， ， ． 综上所述：点的坐标为，． 36．如图，一次函数与x轴交于点，与y轴交于点B，并与反比例函数（）的图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知P为反比例函数（）的图象上一点，且，求点P的坐标； (3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？如存在，求出D点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定等知识，找到各个条件之间的关系是解题的关键． （1）先将点代入，求得一次函数的解析式，再求得点坐标，进而可求反比例函数的解析式； （2）设点，求得点，根据，得方程，由 为反比例函数的图像上一点，可得答案； （3）由点，点，点，可得，，，根据或时，可得两三角形相似即可求得的长，进而可求坐标． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点， ， ， 一次函数的解析式为：， 当时，， 点， ， ， 反比例函数的解析式为：； （2）解：设点， 与轴交于点， 点， ， ， ， ， ， 为反比例函数的图像上一点， ， 点； （3）解：点，点，点， ，，， ， ， 当或时， 以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似， 或， 或16， 点或． 37．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数的图象上，且以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)若点在反比例函数第一象限的图象上，点在轴上，使得与相似，求线段的长． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)点的坐标为或 (3)线段的长为或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求出的，的值即可； （2）分为对角线、为对角线和为对角线进行求解即可； （3）分，和，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：（1）将点代入一次函数，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． 点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立， 解得， ∴， 令，由得， ∴， 令，由得， ∴， 设， ①当为对角线时，的中点重合， ∴， 解得，经检验，符合题意， 此时点的坐标为； ②当为对角线时，的中点重合， ∴， 解得，经检验，符合题意． 此时点的坐标为； ③当为对角线时，的中点重合， ∴，解得， ∴这种情况不符合题意； 综上所述，点的坐标为或． （3）解：设， ①如图1，当时，， ∴， ∴， 作轴，作轴，则， ∴， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ∴， ∴． ②如图2，当时， 同①可得：． ③如图3，当时，，过点作轴于点Q，如图， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴． ④当时，， 同③可得：． 综上所述，线段的长为或． 38．如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线相交于点P，轴于点C，且，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与相似时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题属于反比例函数综合题，主要相似三角形的性质、待定系数法求函数解析式等知识点，熟练掌握待定系数法以及分类讨论思想是解题的关键． （1）把A坐标代入直线解析式求出a的值，确定出直线解析式，把代入直线解析式求出x的值，确定出P坐标，再代入反比例解析式求出k的值，即可确定出双曲线解析式； （2）设代入反比例解析式得到，分两种情况考虑：当时；当，由相似得比例求出m的值，进而确定出n的值，即可得出Q坐标． 【详解】（1）解：把代入中，得：， ∴， ∵， ∴把代入中，得：，即， 把代入中，得：， ∴双曲线解析式为． （2）解：如图，轴于点H，连接；设， ∵在双曲线上， ∴， ∵点B在上， ∴． 当时，，即，整理得：，即，解得或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，即，整理得，解得：或（舍）， ∴， ∴， 综上所述，或． 39．如图，直线经过两点，与双曲线交于点． (1)求直线和双曲线的解析式． (2)过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)直线解析式为，双曲线解析式为 (2)点P坐标为或或或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，相似三角形的性质： （1）待定系数法求出一次函数的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：直线经过两点， ∴，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， 当以O，A，P为顶点的三角形与相似时，分两种情况进行讨论： ①当，则：， ∴， ∴， ∴或； ②当，则：， ∴， ∴， ∴或； 综上：点P坐标为或或或． 40．如图1，在平面直角坐标系中，，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，已知点的坐标为． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)若轴上有一动点，直线上有一动点．当最小时，求周长的最小值； (3)如图2，直线上是否存在一点，使得与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为； (2) (3)直线上存在一点，使得与相似， 点的坐标为或． 【分析】（1）先确定出点A，C坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，再用待定系数法求出反比例函数解析式，联立求出点E坐标； （2）先判断出，进而得出点G在上，且轴，即时，最小，进而求出点G坐标，作点G关于y轴的对称点，连接，则，再判断出点F在上时，的周长最小，即可求出答案； （3）设直线上点，由，得到，则，当在左边时，是钝角三角形，不可能与相似，得到在右边，再根据或分情况讨论，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 联立解得，或， ∵点E在第一象限内， ∴； （2）解：如图1，过点G作轴于H， 由（1）知，，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点G在上，且轴，即时，最小，则最小，如图2， ∴ 作点关于y轴的对称点，连接，则， ∴，， ∴当在上时最小，此时，的周长最小，其值为， 即周长的最小值为； （3）解：设直线上点， ∵， ∴，， ∵， ∴当在左边时，是钝角三角形，不可能与相似， ∴在右边，则， 当时，则，，解得，此时； 当时，则，，解得，此时； 综上所述，直线上存在一点，使得与相似， 点的坐标为或． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的交点坐标的求法，三角形的面积的求法，相似三角形判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【题型5 与三角函数综合】 41．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C，过C点作轴，垂足为B，． (1)求点A的坐标及m的值； (2)若，求一次函数的表达式． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）令，则，求出，得出，设，根据轴，得出，，根据的面积为2，列出方程得到，所以，得出； （2）解直角三角形求出，从而，将C坐标代入到一次函数中即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∵， ∴， ∴， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，， 设，则， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴把代入得：， ∴， 将代入得， 解得：， ∴一次函数的表达式为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，解直角三角形，三角形面积的计算，求反比例函数解析，求一次函数解析式，设出交点的坐标，利用已知条件列出方程，是解决问题的关键． 42．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．将直线绕点A顺时针旋转交y轴于点M，连接． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若，求点M的坐标； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点M的坐标为，分割法求面积，列出方程，进行求解即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． ∴反比例函数的表达式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∴． 将，代入一次函数表达式，得．解得． ∴一次函数的表达式为． （2）如图1，设一次函数的图象与y轴相交于点C， ∴．设点M的坐标为， ∴． ∴．解得． ∴点M的坐标为． （3）①设，则：， 当时，如图2，过点M作，垂足为G，则垂直平分， ． ∴G为中点，． ∴， ∵，， ∴． ∴，． ∴． ②当时，如图3，过点M作，垂足为H，过点A作轴，垂足为N，则，． ∵，， ∴． ∴． 在中，，， ∴． ∴． 设交轴于点， ∵，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 43．如图，直线与双曲线交于点和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D，设直线与x轴正半轴的夹角（）为． (1)求的值． (2)若，求a、b、k的值． (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P．使，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，，； (3)点P的坐标为或． 【分析】（1）求得，，得到，，利用正切函数的定义即可求解； （2）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，交坐标轴分别为点和，设，求得，证明，得到四边形，都是平行四边形，推出，再证明，据此求解即可； （3）设，分当点P在轴的正半轴上和点P在轴的负半轴上时，两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， 令，则， ∴，，，， 在中，； （2）解：过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，交坐标轴分别为点和，如图， ∵， ∴， ∴双曲线的解析式为， 设， ∴，，， ∴，，，， ∴，，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形，都是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴，， ∴； （3）解：设， 当点P在轴的正半轴上时，， ∵，， ∴， ∴，即， ∵与， 联立得， 整理得， 解得：，， ∴，， ∴，，， ∴， 解得：， ∴； 当点P在轴的负半轴上时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的几何综合问题，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 44．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，且，过点作轴于点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式，以及点的坐标； (2)将沿轴向左平移，对应得，当反比例函数图象经过的中点时；求的面积 (3)在第二象限内点上方的双曲线上求一点，使得． 【答案】(1)，，点 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的综合知识． （1）利用待定系数法求解析式，将已知点代入即可； （2）由平移的性质可得的中点的纵坐标，由，可求点坐标，由三角形的面积公式可求解； （3）由勾股定理可求点E坐标，利用待定系数法可求直线的解析式，联立方程组可求解． 【详解】（1）一次函数与反比例函数的图象相交于 ， ， 一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 由得 ， （2）如图，连接， 轴 的中点坐标为 将沿轴向左平移，对应得 的中点的纵坐标为 平移的长度为 ; （3）如图，过点作轴于，作，交双曲线于点， , , ,即点P为所求 四边形是矩形 , 设直线的解析式为 直线的解析式为 由得 点在第二象限 ． 45．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴于点，连接． (1)求k，b的值和点B的坐标； (2)将沿轴向右平移，对应得到，当反比例函数图象经过的中点时，求的面积； (3)在第一象限内的双曲线上求一点，使得． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）将A点坐标代入一次函数和反比例函数解析式，求出两个解析式后，再联立起来，即可解出B点坐标； （2）先在上取中点坐标N，得到M、N点的纵坐标是一样的，可算出M点坐标，再利用的面积计算求出的面积； （3）过点作轴的垂线，交轴于点，可知，然后在直线上方找一点，使得，关于对称，即满足，设，就得到，这样点坐标就出来了，然后算出直线的解析式，与反比例函数联立就可算出点P的坐标． 【详解】（1）解：将代入一次函数表达式与反比例函数表达式， 得，． 由， 解得，或， 点坐标为； （2）解：如图1，取中点，则点的坐标为，连接， 设点坐标为，代入，得， ， ； （3）解：如图2，过点作轴的垂线，交轴于点．设与交于点，过点G作轴，垂足为， ， ， ， ， ∴在直线上方找一点，使得，关于对称，即满足， 设点，，， ，点是的中点， ， ， ， 则有解得， ， 设直线的函数表达式为， 则， 解得： ∴直线的函数表达式为， 联立， 解得或（舍去）， 故点的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，三角函数值的应用、解一元二次方程等知识坐标与图形；熟练掌握一次函数与反比例函数的图像与性质，三角函数值的应用是解决本题的关键． 46．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x，y轴交于点B，A，与反比例函数的图象分别交于点C，D，轴于点E，． (1)求的长； (2)求反比例函数的解析式； (3)连接，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，再由，可求出，再由勾股定理．即可求解； （2）由（1）可得到点的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解； （3）过点D作轴于点F，先求出直线的解析式，可得到点D的坐标，即可求解． 【详解】（1）， ， ， ， ∴； （2）解：∵，， ∴点的坐标为， 设反比例函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， 反比例函数的解析式为：； （3）解：如图，过点D作轴于点F， ∵， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或， ∴点D的坐标为， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数交点问题、锐角三角函数，利用数形结合思想解答是解题的关键． 47．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)若为反比例函数图象上的点，且，求满足条件的点坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，求正切值． （1）先求得点的坐标，待定系数法求得，进而求得的坐标和点的坐标，根据正切的定义，即可求解； （2）先求得，则，进而根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入中， 得， ， 将代入反比例函数中，得， 则反比例函数的表达式为：． 在中，令，则， 令，则． 在中，． （2）由（1）得，， ， ． ， 在中，当时，，此时； 当时，，此时． 故点的坐标为或． 48．如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点A和点D，且点A的横坐标为1，点D的纵坐标为，过点A作轴于点B，的面积为1． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与x轴相交于点C，求； (3)结合图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)； (2)1 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，等腰三角形的性质，求正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）求出点的纵坐标，确定反比例函数解析式，利用反比例函数解析式求点坐标，进而求解； （2）由一次函数解析式求点坐标，再求、，可证明是等腰直角三角形，再利用正切函数的定义即可得解； （3）根据图象，找到的图象在的图象上方时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 把代入中，得， ∴， ∵点的纵坐标为， 令，解得， ∴， 把、代入，得： ， 解得， ∴， 综上所述，反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：； （2）解：对于，当时，， ∴， ∴， 则， ∴在中，， ∴是等腰直角三角形，， ∴； （3）解：由图象可知，当时，或． 49．如图，的边在y轴上，，，，边和与反比例函数的图象分别交于点E、F，若点B坐标为，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点F的坐标； (3)求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)1． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解决问题的关键是构造直角三角形． （1）根据题意得出点、的坐标，求出的值，即可得解； （2）过点F作 轴于点，得出点的坐标，进而的直线的解析式，即可得出点F的坐标； （3）由，，可得，，，即可得解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ，， ，， ， 反比例函数的解析式为：； （2）解：如图所示，过点F作 轴于点， ，，，， ， 设直线的解析式为， 将，分别代入得， ， 直线的解析式为， 令， 或（不符合题意，舍去）， ； （3）解：由题意得， ，， ，， ， ． 50．如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数．解决本题的关键是运用待定系数法求出正比例函数的解析式，根据的正确值和正比例函数的解析式求出点的坐标． 根据点在双曲线上，可以求出，把点的坐标代入正比例函数中求出的值即可得到直线的表达式； 因为直线的解析式为，设点的坐标为，根据，可得关于的分式方程，解方程求出即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在双曲线上， 把代入， 可得：， 点的坐标为， 设直线的表达式为（）， 把，代入， 可得：， 直线的表达式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，垂足为点， 设点的坐标为， 可得：，， 在中，， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， 可得点的坐标为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $弈泓共享数学 专题03 一次函数与反比例函数综合题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 求取值范围】 1 【题型2 最值问题】 5 【题型3 存在性问题】 9 【题型4 与相似三角形综合】 14 【题型5 与三角函数综合】 18 【题型1 求取值范围】 1．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的关系式与的值； (2)根据图象直接写出不等式时的取值范围； (3)若动点在y轴上，求的最小值． 2．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)根据图像直接写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围． (3)求的面积． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出满足的x的取值范围； (3)连接，求的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)当时，x的取值范围； (3)点P是坐标轴上一点，若，求点P的坐标． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点A坐标为，点的坐标为 (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式． (2)连接，求的面积． (3)观察图象直接写出时的取值范围是 ． 6．如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，交轴于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)结合图象，直接写出：当时，自变量的取值范围； (3)在轴上存在点，使与相似，且点在点的正上方，求点的坐标． 7．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，交x轴于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的取值范围． 8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点M． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在y轴上取一点N，当的面积为3时，求点N的坐标； (3)请直接写出当时，x的取值范围． 9．如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象分别交于点C、D，点C坐标为，点D坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出当时，自变量x的取值范围． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． (1)若反比例函数时，取值范围是______． (2)求一次函数的解析式； (3)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； 【题型2 最值问题】 11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 12．如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)直接写出的值和点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求的最小值． 13．如图，直线与反比例函数图象交于，B两点． (1)求点坐标及反比例函数表达式； (2)点是点右侧反比例函数图象上的一动点，过点作垂线，交反比例函数图象于点（异于点），连接．过点作的平行线交反比例函数图象于点，连接，当面积为时，求直线表达式； (3)取中点，连接，求的最小值． 14．如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为． (1)求的值； (2)若双曲线上一点，纵坐标为，求的面积； (3)若是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在点使得的周长最小？若存在，求出点的坐标，并求出该周长的最小值；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 16．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点和点，点的坐标为，点的横坐标为5，一次函数与轴交于点． (1)求的值； (2)如图1，点是第二象限内反比例函数上一动点，连接，．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，点，均为轴上的动点，且点在点的左侧，．求的最小值； 17．已知，矩形的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数与矩形的，分别交于，，的面积为． (1)判断并证明直线与的关系． (2)求k的值． (3)若E，F分别为直线和反比例函数上的动点，M为中点，求的最小值． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出时，的取值范围； (3)在平面内存在一点，且，请直接写出的最小值． 19．如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，若，求点的坐标； (3)若是以为斜边的直角三角形，点是的中点，点的坐标为，求线段的最小值． 20．如图1，已知双曲线，直线：，过定点，且与双曲线交于、两点，设，． (1)若，求的面积； (2)若，求的值； (3)如图2，若，点在双曲线上，点在直线：上，且轴，求的最小值，并求出此时点的坐标． 【题型3 存在性问题】 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)连接，，求的面积； (3)反比例函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数交于点和点B． (1)求反比例函数的解析式和点B的坐标； (2)若点在反比例函数图象上，求的面积； (3)点C为x轴上一点，在坐标平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点． (1)连接，与一次函数的图象相交于点． i）求点的坐标及的长； ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值； (2)连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．如图，直线分别交轴、轴于、两点，反比例函数的图像与直线交于、两点，已知点的纵坐标为，连接、． (1)求反比例函数的解析式和的面积． (2)试说明：． (3)若是上不与、重合的任意一点，，于，于． ①为何值时，？ ②线段上是否存在点，使？若存在这样的点，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是第四象限反比例函数图象上一点，当的面积为时，求点的坐标； (3)反比例函数的图象上是否存在一点．使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 30．如图，直线与双曲线交于，两点，与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)直接写出k、b、m的值； (2)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，请求出点P的坐标； (3)x轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【题型4 与相似三角形综合】 31．直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求直线的解析式； (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 32．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求一次函数的表达式，并求的面积． (2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 33．如图，直线与直线交于点，与轴交于点，经过点的反比例函数的图象与直线在第四象限交于点，连接并延长与反比例函数的图象在第二象限交于点． (1)求，及的值； (2)求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，交轴于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若为反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标； (3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 35．如图，一次函数图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)连接并延长与反比例函数的图象交于另一点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 36．如图，一次函数与x轴交于点，与y轴交于点B，并与反比例函数（）的图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知P为反比例函数（）的图象上一点，且，求点P的坐标； (3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？如存在，求出D点的坐标，若不存在，请说明理由． 37．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数的图象上，且以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)若点在反比例函数第一象限的图象上，点在轴上，使得与相似，求线段的长． 38．如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线相交于点P，轴于点C，且，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与相似时，求点Q的坐标． 39．如图，直线经过两点，与双曲线交于点． (1)求直线和双曲线的解析式． (2)过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 40．如图1，在平面直角坐标系中，，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，已知点的坐标为． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)若轴上有一动点，直线上有一动点．当最小时，求周长的最小值； (3)如图2，直线上是否存在一点，使得与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型5 与三角函数综合】 41．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C，过C点作轴，垂足为B，． (1)求点A的坐标及m的值； (2)若，求一次函数的表达式． 42．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．将直线绕点A顺时针旋转交y轴于点M，连接． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若，求点M的坐标； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 43．如图，直线与双曲线交于点和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D，设直线与x轴正半轴的夹角（）为． (1)求的值． (2)若，求a、b、k的值． (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P．使，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 44．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，且，过点作轴于点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式，以及点的坐标； (2)将沿轴向左平移，对应得，当反比例函数图象经过的中点时；求的面积 (3)在第二象限内点上方的双曲线上求一点，使得． 45．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴于点，连接． (1)求k，b的值和点B的坐标； (2)将沿轴向右平移，对应得到，当反比例函数图象经过的中点时，求的面积； (3)在第一象限内的双曲线上求一点，使得． 46．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x，y轴交于点B，A，与反比例函数的图象分别交于点C，D，轴于点E，． (1)求的长； (2)求反比例函数的解析式； (3)连接，求． 47．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)若为反比例函数图象上的点，且，求满足条件的点坐标． 48．如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点A和点D，且点A的横坐标为1，点D的纵坐标为，过点A作轴于点B，的面积为1． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与x轴相交于点C，求； (3)结合图象直接写出当时，x的取值范围． 49．如图，的边在y轴上，，，，边和与反比例函数的图象分别交于点E、F，若点B坐标为，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点F的坐标； (3)求的值． 50．如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $