精品解析：江苏省南通市某校2025-2026学年高二上学期1月学情调研数学试题

高二年级学情调研 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图：由倾斜角的定义知：直线的倾斜角等于. 2. 已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由两条直线垂直的充要条件得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知正项数列是公比不为的等比数列则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】令等比数列的公比为，由，得， 则，即， 所以. 4. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是数列的前项和，则等于（ ） A. B. C. 10 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本量法求得，再根据等差数列求和公式求解即可. 【详解】∵成等比数列，∴， ∴=，，解得. 故 . 故选：D 5. 一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据光线反射的性质将光线从到经过的路程转化为的长度，然后利用勾股定理计算即可. 【详解】 设为点关于轴对称的对称点，则， 根据光线反射的性质可得光线从到经过的路程等于， 圆的方程可整理为，所以圆心，半径， 所以，. 6. 已知双曲线的离心率为过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 该双曲线右焦点为，依题意，点为线段的中点， 取双曲线的一条渐近线， 所以. 7. 正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段，进而求解即可. 【详解】以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 所以，设点， 所以， 由， 所以，所以， 又，所以， 所以点的轨迹为平面上的线段：，即图中线段， 所以. 8. 已知双曲线：的离心率为2，过双曲线的左焦点作斜率为的直线与双曲线的左，右两支分别交于点（B在第一象限），若则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为，则取中点，连接，可得，设，由双曲线的性质可得，， ，求出的值，可得的值，可得直线的斜率. 【详解】离心率，所以， 如图， 因为，则取中点，连接，可得， 设，因为，则， 又因为，则，， 则，则，解得， 所以，即直线的斜率为. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知直线的方向向量为，平面的法向量，则 B. 已知直线的方向向量为，平面的法向量，则 C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D. 已知直线的方向向量为，且过点，则的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间位置关系的向量证明判断AB；利用共面向量定理推论判断C；求出直线方程判断D. 【详解】对于A，由，得直线的方向向量与向量垂直，则或，A错误； 对于B，由，得直线的方向向量与向量平行，则，B正确； 对于C，由，得，而， 当不共线时，不共面，C错误； 对于D，由直线的方向向量为，得直线的斜率为，方程为， 即，D正确. 故选：BD 10. 现有一半径为的圆纸片（为圆心为圆内的一定点)，且如图将圆折起一角，使圆周正好过点把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到两点距离之和最小的点为如此往复，就能得到越来越多的折痕，设点的轨迹为曲线为曲线C上任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的离心率是 B. 的最小值为2 C. 外接圆半径的最小值是 D. 内切圆半径的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据折叠的对称性推得满足条件的点满足，结合椭圆定义确定的轨迹是以为焦点的椭圆，求出椭圆基本参数后，结合向量数量积、三角形外接圆与内切圆的相关性质逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，设点对应圆上折点为则，原圆半径为4，故，因此：  ， 由椭圆定义，曲线是以为焦点的椭圆，其中，， 得，，， 离心率，A正确； 对于B，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 则，椭圆方程为， 设，则，   代入得：   ，，故最小值为，B正确； 对于C，由正弦定理，中，得， 根据椭圆性质，当为短轴端点时，最大，此时为等边三角形， ，，故，C错误； 对于D，内切圆半径满足，半周长， 面积，故， 最大值为，故，D正确. 11. 已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，点在抛物线的准线上，若且直线与抛物线交于另一点点为准线上异于点的任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 抛物线的方程为 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，过点作准线的垂线，将转化为点到准线的距离，再利用直角三角形的边角关系，分析直线的倾斜角，进而求出的值；求出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，求出点的横坐标，再利用抛物线的焦半径公式计算的值；对于，可设出点的坐标，结合点、的坐标，用两点间距离公式表示出，再分析其取值范围。 【详解】 A选项，如图所示，过点作，垂足为，由抛物线定义知， 所以，则，因为， 所以，则， 则，所以直线的倾斜角为，故A错误； B选项，设直线与轴交于点，则，由上可知，为等腰直角三角形， 因为，则，得，所以抛物线方程为，故B正确； C选项，由上可知，直线的方程为， 设，，则， 联立，整理得，则，所以，所以， 所以，故C正确； D选项，设，， ， ， 代入整理得， 其最小值为，当且仅当时取等，但，故，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为实数，则双曲线的焦距为________. 【答案】6 【解析】 【分析】由双曲线方程结合双曲线中的关系，建立关于半焦距和参数的方程，求解即可. 【详解】由双曲线，可得，， 因为，所以， 得，故焦距. 13. 两圆及的公共弦所在直线方程为____________，以该公共弦为直径的圆的标准方程为___________________________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】根据题意，圆及圆， 则联立方程组，消去二次项，变形可得：， 即两圆的公共弦所在的直线方程为； 联立方程组， 解得交点坐标为， 所以公共弦的中点为， 以公共弦为直径的圆的半径， 所以以公共弦为直径的圆的标准方程为. 14. 已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，由，得，即点构成的平面截正四面体所得的截面为正方形，即可求解． 【详解】如图所示，将正四面体补全为正方体，则正方体棱长为4， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，． 设，则 ． 因为， 所以，即点构成的平面截正四面体所得的截面为正方形，边长为，故截面面积为． 故答案为：8 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项等比数列的前项和为且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公比为，，结合题意列出关于的方程，求出，即可得到数列的通项公式； （2）由等比数列的前项和公式可得关于的方程，求解可得. 【小问1详解】 设的公比为， 因为，且，，成等差数列， 所以，即， 整理得. 因为，所以. 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为数列是等比数列，所以是首项为，公比为的等比数列. 所以， ，解得. 16. 圆心为的圆经过点,，且圆心在上， （1）求圆的标准方程； （2）过点作直线交圆于且，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】 （1）求出线段的垂直平分线方程，求出此直线与已知直线的交点坐标即为圆心坐标，再求得半径后可得圆的标准方程； （2）检验直线斜率不存在时是否满足题意，在斜率存在时设方程为,求得圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长，由弦长为8得参数，得直线方程． 【详解】（1）由已知，中点坐标为， 垂直平分线方程为 则由解得，所以圆心, 因此半径 所以圆的标准方程 （2）由可得圆心到直线的距离 当直线斜率不存在时,其方程为， 当直线斜率存在时,设其方程为, 则，解得， 此时其方程为， 所以直线方程为或. 【点睛】方法点睛：本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长．求弦长方法是几何法：即求出圆心到弦所在直线距离，由勾股定理求得弦长．求直线方程时注意检验直线斜率不存在的情形． 17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据点在的高线上，中点在直线上列方程得到点，根据点在边的中线上，垂直于边上的高线列方程得到点； （2）法一:根据点在上列方程，根据的面积得到到边的距离，然后利用点到直线的距离公式列方程，最后解方程即可； 法二：根据的面积得到到边的距离，然后设过与平行的直线的方程，最后与直线的方程联立即可； 法三：根据与的面积比值得到，然后利用向量求坐标即可. 【小问1详解】 设， 因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 所以解得，即的坐标为． 设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 联立方程组解得，即的坐标为． 【小问2详解】 法一：设(， 直线方程为 即， 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为,即 即或， 联立方程组，解得=（舍去）， 联立方程组，解得， 所以. 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为，设过与平行的直线为， 所以，解得或（结合图形舍去） ， 直线方程为 即， 联立方程组 解得，所以. 因为，，所以． 因为直线方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为， 故的面积为， 因为的面积为， 所以 ，所以 ， 设，则，解得. 18. 如图，已知四棱锥中是以为斜边的等腰直角三角形，为中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的大小； （3）若是线段上一动点，直线与平面所成角正弦值为，求的值． 【答案】（1） 证明：设中点为，连接，， ，分别为，中点， 且 ， 且， 即四边形为平行四边形， ，又面，面， 面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点构造中位线，结合已知的平行与边长关系证明平行于平面内的直线，再利用线面平行的判定定理证明结论； （2）取中点找垂线确定二面角平面角，通过解三角形求角度； （3）设，用表示出坐标，求出平面的法向量，结合线面角的向量计算公式列方程求解，得到的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：取中点为，连接，， 由等腰三角形得：， 因为，所以，又，， 为平面与平面所成二面角的平面角， ，，， 设，则，，，，则， 二面角的大小为. 【小问3详解】 由（2）知，又由可得， ，面， 所以平面，如图建立空间直角坐标系， 则  ， 设， 设平面的法向量为， 则，可取， 得到， 令与平面所成角为， 则， 得，解得或（舍去）．故． 19. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，左、右焦点分别为，点P为直线上且不在x轴上的任意一点，直线，与椭圆的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点. （1）求椭圆E的标准方程; （2）设直线，的斜率分别为， ①求的值; ②若直线OA，OB，OC，OD的斜率之和为0，求点P的坐标. 【答案】（1） （2）①；②，， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的短轴长为2，离心率为列方程组，求出的值，即可求椭圆E的标准方程; （2）①设，则，利用斜率公式可求的值; ②联立直线与椭圆E的方程，利用斜率公式、结合韦达定理分别求出直线OA，OB的斜率之和，以及若直线OC，OD的斜率之和，根据斜率之和为零求出斜率，再根据直线交点坐标可求点P的坐标. 【小问1详解】 由，解得， 所以椭圆E的标准方程为 【小问2详解】 ①设，则， 因为，， 所以，， 则 ； ②联立直线与椭圆E的方程，得， 消去x，得， 设，，，， 则， 因为直线OA，OB的斜率存在，所以，， 又因为点P不在x轴上，所以，， 所以直线OA，OB的斜率之和 ， 同理，直线OC，OD的斜率之和， 所以， 因为直线OA，OB，OC，OD的斜率之和为0， 所以或 当时，结合，解得 联立，解得， 所以点P的坐标为 当时，结合，解得或， 联立， 解得，所以点P的坐标为 联立，解得 所以点P的坐标为 综上，点P的坐标为，， 【点睛】本题②的解题关键是先将用变量表示，然后证明其为定值，探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级学情调研 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知正项数列是公比不为的等比数列则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是数列的前项和，则等于（ ） A. B. C. 10 D. 0 5. 一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的离心率为过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和（ ） A. B. C. D. 7. 正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知双曲线：的离心率为2，过双曲线的左焦点作斜率为的直线与双曲线的左，右两支分别交于点（B在第一象限），若则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知直线的方向向量为，平面的法向量，则 B. 已知直线的方向向量为，平面的法向量，则 C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D. 已知直线的方向向量为，且过点，则的方程为 10. 现有一半径为的圆纸片（为圆心为圆内的一定点)，且如图将圆折起一角，使圆周正好过点把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到两点距离之和最小的点为如此往复，就能得到越来越多的折痕，设点的轨迹为曲线为曲线C上任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的离心率是 B. 的最小值为2 C. 外接圆半径的最小值是 D. 内切圆半径的最大值是 11. 已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，点在抛物线的准线上，若且直线与抛物线交于另一点点为准线上异于点的任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 抛物线的方程为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为实数，则双曲线的焦距为________. 13. 两圆及的公共弦所在直线方程为____________，以该公共弦为直径的圆的标准方程为___________________________. 14. 已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项等比数列的前项和为且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若求． 16. 圆心为的圆经过点,，且圆心在上， （1）求圆的标准方程； （2）过点作直线交圆于且，求直线的方程. 17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 18. 如图，已知四棱锥中是以为斜边的等腰直角三角形，为中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的大小； （3）若是线段上一动点，直线与平面所成角正弦值为，求的值． 19. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，左、右焦点分别为，点P为直线上且不在x轴上的任意一点，直线，与椭圆的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点. （1）求椭圆E的标准方程; （2）设直线，的斜率分别为， ①求的值; ②若直线OA，OB，OC，OD的斜率之和为0，求点P的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $