排列组合中分组与分配系列问题讲义-2026届高三数学二轮专题复习

排列组合中分组与分配系列问题解密 掌握了排列组合中的一些应用模型,就可以在解题中运用自如地发挥着重要作用,使问题解决得心应手达到事半功倍之效.排列组合中的分组与分配系列问题,历来是许多人在学习和解题时既感到迷茫又觉得无从下手的“老大难”问题,更谈不上对这类问题有一个清晰的认识、理解和熟练掌握.笔者通过多年对这类问题的研究,并在总结无数次解题经验的基础上,将对排列组合中这类分组与分配系列问题作一个全方位的深刻阐述,旨在使大家对这类问题有一个全面正确的认识,在解题中能灵活地驾驭并运用好.下面分三种情况进行问题解密. 一、平均分组与平均分配问题 我们先来看这个简单问题:现有分别写着字母的4张卡片;(1)若将这4张卡片平均分成2组,有几种分法?(2)若将这4张卡片放入A、B两个盒子中,每个盒子各放2张有几种放法?分析(1)将4张卡片平均分成2组的所有情况枚举如下;;;; ;.看起来好像有6种分法,其实只有3种分法;由于分组是没有编号的,即组与组之间是无区分的,上面枚举中的后3种情况与前3种情况是一样的完全重复,故平均分成2组有种分法.分析(2)将4张卡片平均分配放到A、B两个盒子里,由于盒子是不同的,我们可以在上面所枚举的6种情况下,把每一种的前2张卡片放入A盒,后2张放入B盒即可,显然共有6种放法;其实本问题可这样思考:按A、B两个盒子各取2张卡片,不分先后顺序的取法都是一样的,共有种方法;也可以按先平均分组后全排列分配给A、B两个盒子, 共有种方法.由此得出结论:把若干个不同元素平均分成组,由于组与组之间没有编号是不加以区分的,其分法数在元素平均分完之后别忘记要除以;而平均分配问题是在平均分组后,每组中的元素要分配给同一对象,不同组中的元素要分配给不同对象, 其分法数是在平均分组的基础上再乘以,即;两者具体区分与联系如下. 1.1有个不同元素,把它们平均分成组,每组含个元素;则所有不同的分法种数为(其中且). 例1.有本不同的书,将它们平均分成份,有几种分法？ 解析:因平均分成份,份与份之间不加以区分;由1.1公式得有种分法. 1.2有个不同元素,把它们平均分配给编号为的个组,每组分给个元素;法1按组不分先后顺序取元素均一样,不同的分法种数为(其中且).法2按先平均分组后全排列分配(即先组合后排列)的原则,不同的分法种数为 (其中且).显然殊途同归,法1和法2方法不一样,但最后结果一致. 例2.有本不同的书, 将它们平均分给甲、乙、丙人,有几种分法？ 解析:按先分组后分配或按人取;由1.2公式得有种分法.二、非平均分组与非平均分配问题(下列式中字母均为正整数) 先来看如下简单问题:有甲、乙、丙3个人.(1)将他们分成2组,1组有1人,1组有2人,有几种分法?(2)将他们分为2组,人数分别为1人和2人,再分配1组去唱歌,1组去跳舞,有几种分配方法?(3)把他们分成2组后,再分配1组去唱歌1组去跳舞,唱歌有1人,跳舞有2人,有几种分配方法?分析(1)将他们分成2组的所有结果列出为:甲,乙丙;乙,甲丙;丙,甲乙.显然只有有种分法.分析(2)由于分成组后,每组要去执行不同任务(或担任不同职务等),则还需进行全排列,共有种分配方法.分析(3)由上面列出的所有结果知分成2组有3种情况,因唱歌与跳舞的人数已定,每种情况的1人组去唱歌,2人组去跳舞,和(1)一样共有种分配方法.由此得出结论:把若干个不同元素非平均分成组,由于每组中的元素个数彼此不同,各组可以不分先后顺序选取所需的元素个数;即就是最先选取元素的组是从总元素中取出所需元素个数,接下来每一组都是从剩余元素中取出各自所需元素个数,直到最后一组得到自己所需元素为止,这样就能得到所有不同的分组方法数为;而非平均分配问题是在非平均分组后,每组中的元素要分配给同一对象(执行同一任务或担任同一职务),不同组中的元素要分配给不同对象(执行不同任务或担任不同职务),其分配方法数是在非平均分组的基础上再乘以,即;而当非平均分组中的每一组元素分别要具体分配给每一个确定的不同对象(每组执行任务或担任职务已定)时,此时其分配方法数与非平均分组方法数相等均为;三者具体区分与联系如下. 2.1有个不同元素,把它们分成组,每组所含元素个数不同,分别含个元素;则不同的分法种数为(且). 例3.有本不同的书,将它们分成份,其中份本,份本,份本;有几种分法？ 解析:每份书不分先后顺序取出所需本数即可;由2.1公式得有种分法. 2.2把个不同元素分配给编号为的个组,各组分给元素个数不同,分别为个;则不同的分法种数为(字母条件同2.1). 例4.有本不同的书,分给甲、乙、丙人,人得本,人得本,人得本;几种分法？ 解析:在例3的基础上再全排列即可;由2.2公式得有种分法. 2.3把个不同元素分配给编号为的个组,每组分给元素个数不同,且依次为个;则不同的分法种数为(字母条件同2.1). 例5.有本不同的书,分给甲、乙、丙人,甲得本,乙得本,丙得本;有几种分法？ 解析:因各人分几本书已定,取出各自所需即可;由2.3公式得有种分法. 三、混平均分组与混平均分配问题(下列式中字母均为正整数) 所谓混平均分组“就是将若干个不同元素分成许多组,有部分组的元素个数互不相等,也有部分组的元素个数一样多”；即就是在同一分组问题中既含有非平均分组又含有平均分组.这类问题大致可分为两种:第1种是非平均分组与平均分组都有;第2种是有多个平均分组. 3.1有个不同元素,把它们分成组;其中有组是非平均分组,各组元素个数不相等,分别有个,有组是平均分组,每组均有个元素;则不同的分法种数为(且). 例6.有本不同的书,将它们分成份,其中份本,另份各本;有几种分法? 解析:因非平均和平均分组分别有1组,3组;由3.1公式得有种分法. 3.2有个不同元素,把它们分成组;其中有组全都是平均分组,各个平均分组中分别含有不相等的元素个数为个;则不同的分法种数为(其中, (),且). 例7.有本不同的书,将它们分成份,有份各本,另份各本;有几种分法？ 解析:分成份,有2个2份都是平均分组;由3.2公式得有种分法. 混平均分配问题是在混平均分组的基础上,每组中的元素要分配给同一对象(执行同一任务或担任同一职务),不同组中的元素要分配给不同对象(执行不同任务或担任不同职务);这类问题通常要按先分组后分配(即先组合后排列的原则)的策略进行.具体分配视情况而定. 3.3将个不同元素分配给个不同对象;其中有个对象分得元素个数不同,分别为个,有个对象每一个均分得个数一样多的个元素;则不同的分法种数为(且). 例8.有本不同书,分给甲、乙、丙、丁人,有人得本,有人各得本;有几种分法？ 解析:按先分组后分配原则,由3.3公式得有种分法. 3.4将个不同元素分配给个不同对象;有个确定对象依次分得元素为个,有个确定对象每一个分得个数一样多的个元素;则不同的分法种数为:法1先让个确定对象可无先后顺序依次取得各自所需元素个数,然后将剩余元素平均分成组后再进行全排列,得种分法;法2因每个对象所分元素个数已定,得种分法.显然,体现殊途同归的解题思想,式中. 例9.有本不同的书,分给甲、乙、丙、丁人,甲得本,其他人各得本;有几种分法? 解析:由3.4公式中按法1或法2操作有种分法. 3.5将个不同元素分配给个不同对象;要使个对象,它们所分得元素个数各自分别为个,即有个对象每一个都分得个元素,其它类推;则不同的分法种数为(其中,(),且). 例10.有本不同的书,分给甲、乙、丙、丁人,有人各得本,另人各得本, 有几种分法？ 解析:先各部分平均分组,再总人数全排;由3.5公式种分法. 3.6将个不同元素分配给个不同对象;确定个对象,各自所分得元素个数分别为个,即确定个对象每一个都分得个元素,其它类推;则不同的分法种数为:法1按确定的各部分对象分得确定的元素个数,即各部分先平均分组再全排列,直到分配完,有种分法;法2按每个确定的对象可无先后顺序依次取得各自所需元素个数,直到分配完,共有种分法. 显然,同样体现殊途同归的解题思想(上述式中字母条件同3.5一样). 例11.有本不同的书,分给甲、乙、丙、丁人, 甲、乙各得本,丙、丁各得本, 有几种分法？ 解析:由3.6公式按法1或法2有种分法. 四、变式训练与提示 变式1.将本不同的书,将它们分成份,有份各本,有份各本,有份本,有份本;有几种分法？ 提示:这是混平均分组问题,结合3.1和3.2公式得种分法.(另解(最后剩3个元素自然分开)). 变式2.将本不同的书,分给ABCDEFG共人,有人各得本,有人各得本,有人得本,有人得本,有几种分法？ 提示:先分组后全排,结合3.3和3.5公式得种分法.(另解有种分法.) 变式3.将本不同的书分给ABCDEFG共七人,其中ABC三人各得本,DE二人各得本,F得本,G得本,有几种分法？ 提示:因每个人已确定得书本数,结合3.4和3.6公式得 种分法.(另解按各人得书所需取有种分法.) 学科网（北京）股份有限公司 $