第2章 空间向量与立体几何（知识清单）数学湘教版选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 清单01 空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝ ． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝ ． (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝ ．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底． 清单02 两个向量的数量积(与平面向量基本相同) (1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则 叫做向量a与b的夹角，记作 ．通常规定0≤〈a，b〉≤π．若〈a，b〉＝ ，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b. (2)两向量的数量积 两个非零向量a，b的数量积a·b＝ ． (3)向量的数量积的性质 ①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)； ②a⊥b⇔ ； ③|a|2＝a·a＝a2； ④|a·b|≤|a||b|. (4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)； ②a·b＝b·a(交换律)； ③a·(b＋c)＝ (分配律)． 清单03 空间向量的坐标运算 (1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝ ， a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0， a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)， cos〈a，b〉＝＝ . (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则＝－＝( )． 清单04 直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个． (2)平面的法向量 ①定义：与平面垂直的向量，称为平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量． ②确定：设a，b是平面α内两个不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 清单05 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔ l1⊥l2 n1⊥n2⇔ 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 常用结论 1．向量三点共线定理 在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．向量四点共面定理 在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间内任意一点． 清单06 两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 [0，π] 求法 cosθ＝ cosβ＝ 清单07 直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝ ． 清单08求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD分别是二面角α­l­β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 θ＝ ． (2)如图②③，n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝ ，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 常用结论 利用空间向量求距离 (1)两点间的距离 设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝. (2)点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为 ||＝. 易错点1 混淆向量共线与共面致误 例题1．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　) A．垂直　　　　　　　　 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 例题2．若a＝(2，3，m)，b＝(2n，6，8)，且a，b为共线向量，则m＋n的值为(　　) A．7 B． C．6 D．8 例题3．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝(　　) A. B． C. D. 易错点2异面直线所成的角的取值范围出错 例题1. 已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________． 例题2.若在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为________． 易错点3 二面角的取值范围出错 例题1. 已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为________． 解析：cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.所以两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°. 答案：45°或135° 例题2. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D­AF­E与二面角C­BE­F都是60°. (1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC； (2)求二面角E­BC­A的余弦值． 易错点4 直线和平面所成的角的取值范围出错 例题1. 已知向量m，n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________． 例题2. 如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC； (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 1.已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　) A．9 B．－9 C．－3 D．3 2.在空间四点O，A，B，C中，若{，，}是空间的一个基底，则下列命题不正确的是(　　) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点不共面 D．O，A，B，C四点中任意三点不共线 3.在三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2.若〈n1，n2〉＝，则二面角A-BD-C的大小为(　　) A． B． C．或 D．或 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 6.如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且AC∥OB，OP＝AB＝OA，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 7.在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D．－ 8.如图，在正方形ABCD中，EF∥AB．若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶，则AF与CE所成角的余弦值为________． → 9.在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝1，AB＝BC＝3，AC＝4，则PB与平面PAC所成角的正切值为 ________. 10.如图，在五面体ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且AC＝BC＝2ED＝2，DC＝DB＝. (1)求证：平面ABE⊥平面ABC； (2)求二面角A-BE-C的余弦值． 11．如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F-DC-B的平面角为60°.设M，N分别为AE，BC的中点． (1)求证：FN⊥AD； (2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值． 12.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为4的等边三角形，BC⊥PB，E是AD的中点． (1)求证：BE⊥PD； (2)若直线AB与平面PAD所成角的正弦值为，求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值． 9 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 空间向量与立体几何 清单01 空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底． 清单02 两个向量的数量积(与平面向量基本相同) (1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π．若〈a，b〉＝，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b. (2)两向量的数量积 两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (3)向量的数量积的性质 ①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③|a|2＝a·a＝a2； ④|a·b|≤|a||b|. (4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)； ②a·b＝b·a(交换律)； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)． 清单03 空间向量的坐标运算 (1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3， a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0， a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)， cos〈a，b〉＝＝ . (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． 清单04 直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个． (2)平面的法向量 ①定义：与平面垂直的向量，称为平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量． ②确定：设a，b是平面α内两个不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 清单05 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 常用结论 1．向量三点共线定理 在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．向量四点共面定理 在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间内任意一点． 清单06 两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 [0，π] 求法 cos θ＝ cos β＝ 清单07 直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝． 清单08求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD分别是二面角α­l­β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈，〉． (2)如图②③，n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 常用结论 利用空间向量求距离 (1)两点间的距离 设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝. (2)点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为 ||＝. 易错点1 混淆向量共线与共面致误 例题1．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　) A．垂直　　　　　　　　 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 解析：选B.由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，所以＝－3，所以与共线，又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD. 例题2．若a＝(2，3，m)，b＝(2n，6，8)，且a，b为共线向量，则m＋n的值为(　　) A．7 B． C．6 D．8 解析：选C.由a，b为共线向量，得＝＝，解得m＝4，n＝2，则m＋n＝6.故选C. 例题3．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝(　　) A. B． C. D. 解析：选D.显然a与b不共线，如果a，b，c三向量共面，则c＝xa＋yb，即x(2，－1，3)＋y(－1，4，－2)＝(7，5，λ)， 所以解得故选D. 易错点2异面直线所成的角的取值范围出错 例题1. 已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________． 解析：由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10， 即2a·c＋b·c＝－10.因为a·c＝4，所以b·c＝－18，所以cos〈b，c〉＝＝＝－，所以〈b，c〉＝120°，所以两直线的夹角为60°. 答案：60° 例题2.若在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为________． 【解析】　 令M为AC的中点，连接MB，MA1， 由题意知△ABC是等边三角形，所以BM⊥AC， 同理，A1M⊥AC. 因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM⊂平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1， 因为A1M⊂平面A1ACC1，所以BM⊥A1M， 所以AC，BM，A1M两两垂直，以M为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 设AA1＝AC＝AB＝2，则A(1，0，0)，B(0，，0)，A1(0，0，)，C1(－2，0，)， 所以＝(－3，0，)，＝(0，，－)， 所以cos〈，〉＝＝－， 由于异面直线所成角的取值范围是， 故异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为. 【答案】　 易错点3 二面角的取值范围出错 例题1. 已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为________． 解析：cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.所以两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°. 答案：45°或135° 例题2. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D­AF­E与二面角C­BE­F都是60°. (1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC； (2)求二面角E­BC­A的余弦值． 解：(1)证明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，DF∩EF＝F，DF，EF⊂平面EFDC，所以AF⊥平面EFDC. 又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC. (2)过D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF. 以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的这空间直角坐标系G­xyz. 由(1)知∠DFE为二面角D­AF­E的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝， 可得A(1，4，0)，B(－3，4，0)，E(－3，0，0)，D(0，0，)． 由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC. 又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF. 由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角C­BE­F的平面角，∠CEF＝60°.从而可得C(－2，0，)． 连接AC，则＝(1，0，)，＝(0，4，0)，＝(－3，－4，)，＝(－4，0，0)． 设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则 即 所以可取n＝(3，0，－)． 设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m＝(0，，4)． 则cos〈n，m〉＝＝－. 因为二面角E­BC­A的二面角为钝二面角， 故二面角E­BC­A的余弦值为－. 易错点4 直线和平面所成的角的取值范围出错 例题1. 已知向量m，n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________． 解析：设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝，所以θ＝30°. 答案：30° 例题2. 如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC； (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 解：(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD. 又底面ABCD为正方形， 所以AD⊥DC.因此AD⊥平面PDC. 因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC. 由已知得l∥AD. 因此l⊥平面PDC. (2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，＝(0，1，0)，＝(1，1，－1)． 由(1)可设Q(a，0，1)，则＝(a，0，1)．　 设n＝(x，y，z)是平面QCD的法向量，则即 可取n＝(－1，0，a)． 所以cos〈n，〉＝＝. 设PB与平面QCD所成角为θ， 则sin θ＝×＝ . 因为 ≤，当且仅当a＝1时等号成立． 所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为. 1.已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　) A．9 B．－9 C．－3 D．3 解析：选B.显然a与b不共线，若a，b，c三向量共面，则c＝xa＋yb，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，所以解得λ＝－9. 2.在空间四点O，A，B，C中，若{，，}是空间的一个基底，则下列命题不正确的是(　　) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点不共面 D．O，A，B，C四点中任意三点不共线 B　解析：选项A正确，若四点共线，则向量，，共面，构不成基底；选项B错误，若四点共面，则，，共面，构不成基底；选项C正确，若四点共面，则，，构不成基底；选项D正确，若有三点共线，则这四点共面，向量，，构不成基底． 3.在三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2.若〈n1，n2〉＝，则二面角A-BD-C的大小为(　　) A． B． C．或 D．或 C　解析：因为二面角的范围是[0，π]，且〈n1，n2〉＝，所以二面角A-BD-C的大小为或.故选C． 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． C　解析：以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0，)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B1(1,1，)，所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)．设异面直线AD1与DB1所成的角为θ，所以cos θ＝＝＝，所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为. 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　) A． B． C． D． B　解析：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，所以＝(0,1，－1)，＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则即所以所以n1＝(1,2,2)．又平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝.即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为. 6.如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且AC∥OB，OP＝AB＝OA，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． A　解析：因为AB是圆柱底面圆的一条直径，所以∠AOB＝90°，因为OP＝AB＝OA，所以∠BAO＝45°，因为AC∥OB，所以∠OAC＝90°. 因为AB是圆柱的底面圆的直径，所以∠ACB＝90°， 又∠OAB＝45°，所以四边形OACB为正方形，设AB＝2，如图建立空间直角坐标系Oxyz， 可知A(，0,0)，B(0，，0)，P(0,0,2)，C(，，0)， 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，＝(－，，0)，＝(－，0,2)， 所以即 取x＝，则n＝(，，1)， 又＝(，，－2)， 设直线PC与平面PAB所成角为θ， 所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为. 7.在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D．－ B　解析：取BD的中点O，连接AO，OC，由CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，得AO⊥BD，CO⊥BD，且OC＝，AO＝1.在△AOC中，AC2＝AO2＋OC2，故AO⊥OC，又知BD∩OC＝O，因此AO⊥平面BCD，以OB，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，所以＝(1,0，－1)，＝(－1，－，0)，设异面直线AB与CD所成角为θ，则cos θ＝＝＝，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 8.如图，在正方形ABCD中，EF∥AB．若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶，则AF与CE所成角的余弦值为________． → 　解析：因为AE∶ED∶AD＝1∶1∶，所以AE⊥ED，即AE，DE，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB＝EF＝CD＝2，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2，0)，C(0,2,1)，所以＝(－1,2,0)，＝(0,2,1)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以AF与CE所成角的余弦值为. 9.在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝1，AB＝BC＝3，AC＝4，则PB与平面PAC所成角的正切值为 ________. 　解析：以A为原点，在平面ABC内作垂直于AC的射线为x轴，以射线AC为y轴，射线AP为z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则P(0,0,1)，B(1,2，0)，C(0,4，0)， 所以＝(1,2，－1)， 由x轴⊥平面PAC得平面PAC的一个法向量为n＝(1,0,0)， 设直线PB与平面PAC所成的角为α， 则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝＝，α∈，cos α＝＝. 所以PB与平面PAC所成角的正切值为tan α＝＝. 10.如图，在五面体ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且AC＝BC＝2ED＝2，DC＝DB＝. (1)求证：平面ABE⊥平面ABC； (2)求二面角A-BE-C的余弦值． (1)证明：取BC中点M，AB中点N，连接DM，MN，EN. 所以MN∥AC且MN＝AC， 又DE＝AC，DE∥AC，所以DE∥MN，且DE＝MN， 所以四边形MNED是平行四边形， 所以EN∥DM且EN＝DM， 又AC⊥平面BCD，AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCD， 因为DC＝DB，所以DM⊥BC， 又平面ABC∩平面BCD＝BC，DM⊂平面BCD， 所以DM⊥平面ABC，所以EN⊥平面ABC， 又EN⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面ABC． (2)解：由(1)知，AC⊥BC，EN∥DM且EN＝DM，EN⊥平面ABC，平面ABE⊥平面ABC， 以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C，与MD平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，B(0,2,0)，N(1,1,0)，E(1,1，)， 则＝(0,2,0)，＝(1,1,0)，＝(1,1，)， 设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)， 则取z＝，则所以n＝(－2,0，)为平面BCE的一个法向量， 又AC＝BC，则CN⊥AB， 又平面ABC∩平面ABE＝AB，CN⊂平面ABC， 所以CN⊥平面ABE，即＝(1,1,0)为平面ABE的一个法向量， 所以cos〈n，〉＝＝＝， 显然二面角A-BE-C为锐角，故其余弦值为. 11．如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F-DC-B的平面角为60°.设M，N分别为AE，BC的中点． (1)求证：FN⊥AD； (2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值． (1)证明：由于CD⊥CB，CD⊥CF， 平面ABCD∩平面CDEF＝CD，CF⊂平面CDEF，CB⊂平面ABCD， 所以∠FCB为二面角F-DC-B的平面角， 则∠FCB＝60°. 又CF＝(CD－EF)＝2，CB＝(AB－CD)＝2， 则△BCF是等边三角形，则CB⊥FN， 因为DC⊥FC，DC⊥BC，FC∩BC＝C，FC⊂平面FCB，BC⊂平面FCB， 所以DC⊥平面FCB，因为FN⊂平面FCB，所以DC⊥FN， 又因为DC∩CB＝C，DC⊂平面ABCD，CB⊂平面ABCD， 所以FN⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD，故FN⊥AD． (2)解：由于FN⊥平面ABCD，如图建系： 于是B(0，，0)，A(5，，0)，F(0,0,3)， E(1,0,3)，D(3，－，0)，则M， ＝，＝(2,2，0)，＝(－2，，3)， 设平面ADE的法向量n＝(x，y，z)， 则所以 令x＝，则y＝－1，z＝， 所以平面ADE的法向量n＝(，－1，)， 设BM与平面ADE所成角为θ， 则sin θ＝＝. 12.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为4的等边三角形，BC⊥PB，E是AD的中点． (1)求证：BE⊥PD； (2)若直线AB与平面PAD所成角的正弦值为，求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值． 解：(1)证明：因为△PAD是等边三角形，E是AD的中点，所以PE⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD， 所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，PE⊥BE. 又BC⊥PB，PB∩PE＝P，所以BC⊥平面PBE，所以BC⊥BE. 又BC∥AD，所以AD⊥BE. 又AD∩PE＝E且AD，PE⊂平面PAD，所以BE⊥平面PAD，所以BE⊥PD. (2)由(1)得BE⊥平面PAD，所以∠BAE就是直线AB与平面PAD所成的角． 因为直线AB与平面PAD所成角的正弦值为， 即sin∠BAE＝ ，所以cos∠BAE＝. 所以cos∠BAE＝＝＝，解得AB＝8，则BE＝＝2. 由(1)得EA，EB，EP两两垂直，所以以E为坐标原点，EA，EB，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点P(0，0，2)，A(2，0，0)，D(－2，0，0)，B(0，2，0)， C(－4，2，0)， 所以＝(0，2，－2)，＝(－4，2，－2)．　 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)， 由得解得 令y＝1，可得平面PBC的一个法向量为m＝(0，1，)． 易知平面PAD的一个法向量为n＝(0，1，0)， 设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为θ， 则cos θ＝＝＝. 所以平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为. 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $