(四)空间直角坐标系、空间向量及其运算、空间向量基本定理及坐标表示- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(湘教版)  

高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（四） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 空间向量的加减法 易 0.80 利用空间向量解决三 2 选择题 5 易 0.72 点共线问题 3 选择题 5 用基表示一个向量 易 0.70 由异面直线所成的角 4 选择题 5 求参 √ √ L 的 0.55 利用空间向量求线段 选择题 0.45 的长 农 6 选择题 由向量数量积的最值 5 L 中 0.30 求线段长 确定点关于坐标平面、 选择题 6 坐标轴、原点的对称点 公 0.65 的坐标 8 利用空间向量解决动 选择题 6 / / 态几何问题 分 0.40 由空间平行关系求点 填空题 易 0.71 的坐标 10 填空题 利用空间向量求体积 中 0.35 的最值 11 解答题 13 空间向量的坐标运算 / / / 多 0.75 向量的线性表示，证明 12 解答题 15 四点共面，由向量的线 L L L 农 0.55 性表示求参 利用向量的坐标运算 13 解答题 20 证明线线垂直，求向量 / / / 中 0.45 的夹角及模长 ·61· ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 昏考答案及解析 一、选择题 a' 1.B【解析】由题意得A,B-BC+A,A=(AA+AB /1+a2X√/a2+1 =青，解得a=2,即AD=2故 BC-A1B-A1D=D1B.故选B. 选C. 5.B【解析】由题意可得AC=AB+AD+AA,由 2.A【解析】由题得AB=(-1,-2,-3),BC=(-1, ∠BAD=90,则AB·AD=0,由∠BAA'=∠DAA a-1,b-2),由于A,B,C三点共线，所以a-1=-2, =60°，1AB1=4,1AD=3,|AA1=5,则AB· b-2=-3,解得a=-1,b=-1,故a十b=-2.故 AA=1AB·1AA1·c0s60°=10，AD.AA= 选A. 3.B【解析】连接ON,:N是BC的中点，.O亦 |aò·|A1·os60=号，所以AC: 20i+20元，oM=3Mi,oi=0i, (AB+AD+AA)=AB+AD+AA+ 2AB.AD+2AB.AA+2AD.AA=16+9+25 ∴MN-oN-oi=oi+20心-oi=-￥。 +0+20+15=85,所以|AC|=√85.故选B. 十b+c故选B. 6.D【解析】将三棱锥A一BCD补全为长方体，设长 a2+b2=13 方体的长，宽，高分别为a,b,c,则有+c2=10,解 a2+c2=5 (a=2 得b=3,以D为原点建立如图所示的空间直角坐 c=1 4.C【解析】由题意，以A为坐标原点，AB,AD,AP分 标系， 别为x,y,之轴正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系， 则A(3,0,1),C(0,2,1),B(3,2,0),D(0,0,0), M(3,1,2),设D成=AD心，a∈[0,1]，则N(0,2x, 设AD=a>0,因为PA=AB=1,所以A(0,0,0), ),故AN=(-3,2x,a-1),M=（-3,2x-1,A C1,a,0),P(0,0,1),D(0,a,0),AC=(1,a,0), PD=(0,a,-1),设异面直线PD与AC所成角为 ),所以A·M时=9+2a(2-1D十 9,则o日-Icos<A，衣P市1=AC.Pl IACIPDI a-1)(久-之）=5-名x+号，则当入=品时， ·62· 高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· A寸·M示矿取得疑小值，此时DN=品DC-语故 A0-号A在=4，C错误：对于D,由入=1=之， 选D. 可得点Q与点P重合，将△AAB沿A1B翻折至与 二、选择题 △ABP在同一平面内，则AE十EQ的最小值即为线 7.AC【解析】点P关于x轴的对称点的坐标是(2， 段AP的长度 一3，一4)，故A正确；点P关于yO~平面的对称点的 P(O) 坐标是（一2,3,4），故B错误；点P关于原点的对称 点的坐标是（一2，-3，一4），故C正确：点P关于y 轴的对称点的坐标是（一2,3，一4），故D错误，故 由题可得AB=2√2，CP=C1P=1,AC1=2√3，则 选AC. BP=√5，AP=√I3,所以A1B+BP2=AP2,所以 8.ABD【解析】对于A,连接DC,因为入十a=1,故点 AB⊥BP,所以∠ABP=135°，则在△ABP中，由余 Q在线段D1C上，因为A1B∥DC,故DC∥平面 ABP,所以Q到平面A:BP的距离为定值，又因为 弦定理得AP=√AB+BP-2AB·BPcos135= S△A,即为定值，所以四面体ABPQ的体积为定值，A W/9十2√I0,所以AE+EQ的最小值为 正确；对于B,取AB中点R,连接DR,因为底面 √9十2√10，D正确.故选ABD. ABCD是一个内角为60°的菱形，所以DR⊥AB,以D 三、填空题 为原点，D求，D心，DD分别为x,y,之轴正方向建立如 9.(1,4,1)【解析】设D(x,y,z),因为ABCD是平行 图所示的空间直角坐标系， 四边形，所以AD=BC,即(x-3,y-6,之-1)=(-2， 一2,0)，解得x=1,y=4,x=1,故顶点D的坐标为 D (1,4,1) 10.3 5 9 【解析】设G是BC的中点，所以A,V,G三 Di 点共线，DM,G三点共线，D心=D成+D心，即 R Di=合D成+号D,所以D成=子D+台D成 故A(5,-1,2),C(0,2,0),D（0,0,2), Q(0,2以，2)，由AQ=√5可得(2λ十1)2+(2μ-2) 由于E,M,F三点共线，所以合十台=1，A十=3. =2,故点Q的轨迹为以(0，-1,2)为圆心，W2为半 依题意，V-m=号Smh=3,Sm·h=9. 径的圆落在正方形CDDC内的部分，为一段圆弧， B正确；对于C,如图， SxrE-SANB-5Am-SAX DEX DFX D sin∠EDF=Sam-XXDBX女XDCX .O Sin☑EDF=Saw-是X(告DB X DCX 取AB中点T,连接OT,所以OT⊥AB,故A1B· 由于NG=÷AG,所以点N到平面BCFE的距离 3 ·63· ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 是点A到平面BCD的距离的号所以VFE A+号BE+A市+号D元=(+葩)+(A市+ DF)=AE+AF, A,E,C1,F四点共面 (8分) 1-1 =1 9 号，当且仅当X=少 (2)E京=AF-AE=AD+D求-(AB+BE)= A市+号D元-A店-子B丽=-A店+A市+ =2时等号成立，所以四棱锥N一BCFE体积的最 大值为号 号A, x=-1,y=1,= 3， x十y十x=3 1 (15分) 13.解：1)以C为坐标原点，CA,B,CC分别为x,y,x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 四、解答题 B 了=3=2解得m=2,n=6, 11.解：(1)由a∥c,得=”=二4 (2分) 所以c=(2,6,一4)， B v 而b=(1,0,2),则b-c=(-1,-6,6), 所以|b-c=√/(-1)+(-6)+6=√73.(5分) 由题意得B(0,1,0),M(分，，2小 (2)由b⊥c,得1×m十0×n十2×(-4)=0，即m-8 所以Bi=(分，一号2)， =0,解得m=8, 由c=9,得√64十n+16=9,解得n=士1，(8分) 故成+i=脑-√++4-3 当m=8,n=1时，c=(8,1,-4),b-c=(-7,-1, (7分) 6) (2)依题意得N(1,0,1),B(0,1,0),C(0,0,0), 所以a·(b-c)=1×(-7)+3×(-1)+(-2)×6 B(0,1,2), =-22. (10分) 故B=(1,-1,1),CB=(0,1,2), 当m=8,n=-1时，c=(8,-1,-4),b-c=（-7, 则B衣.CB=0-1+2=1, 1,6), |BN|=√I+1+1=√5，|CB|=√0+1+4 所以a·(b-c)=1X(-7)+3X1+(-2)X6= =5, -16. (12分) 综上，a·(b-c)的值是-22或-16. (13分) 所以os(B成，C成)=.C店 1 BN CB 3X/5 12.解：(1)：AC=A言+AD+AA=Ai+AD+ 5 15 (14分) 号AA+号AA-Ai+号AA+Ai+号AA ·64· 高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· (3)依题意得A(1,0,2),C(0,0,2), 由于G立.BA=}-号+0=0， 故BA=1,-1,2),Ci=(2,,0), 故CM⊥BA,即AB⊥CM. ·65·高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (四)空间直角坐标系、空间向量及其运算、 空间向量基本定理及坐标表示 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.如图，在平行六面体ABCD-AB,C,D,中，AB,-BC+AA= D A.DB B.DB C.A,C D.AC 2.在空间直角坐标系中，已知点A(2,3,5),B(1,1,2),C(0,a,b),若A,B,C三点共线， 则a十b的值为 A.-2 B.-1 C.0 D.1 3.如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c.点M在OA上，且OM=3MA,N 为BC中点，则MN= B.3 1 a+ ,1 2b+2c 1 D. a+号b2c 4.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.在阳马 P一ABCD中，若PA⊥平面ABCD,且PA=AB=1,异面直线PD与AC所成角的 余弦值为，则AD= A号 C.2 D.3 5.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°，∠BAA' =∠DAA'=60°，则AC的长为 A.12 D' B.√85 B C.√61 D D.√70 数学（湘教版）选择性必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 6.在三棱锥A-BCD中，BD=AC=√13，BC=AD=√10，AB=CD=√5，棱AB中点 为M,点N为棱CD上的动点，当AV·MV取最小值时，线段DN的长度为 A.√5 B c 2 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.在空间直角坐标系中，已知点P(2,3,4),则下列叙述中正确的是 A.点P关于x轴的对称点是P1(2,一3，一4) B.点P关于yO2平面的对称点是P2(2,一3，一4) C.点P关于原点的对称点是P3(一2，一3，一4) D.点P关于y轴的对称点是P4(2,一3,4) 8.如图，在直四棱柱ABCD一AB1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB= AA=2,P为CC的中点，点Q满足DQ=aDC+uDD1(a∈[0,1]∈[0,1])，则下 列结论正确的是 A.若入十=1，则四面体ABPQ的体积为定值 B.若AQ=√5，则点Q的轨迹为一段圆弧 B C.若△A1BQ的外心为O,则A1B·A1O为定值2 D.若入=1且u=号，则存在点EEA,B,使得AE+EQ的最小值 D. 为W9+210 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知点A(3,6,1),B(2,5,5),C(0,3,5),且ABCD是平行四边形，则顶点D的坐 标为 10.在四面体ABCD中，点M,N分别为△BCD,△ABC的重心，过M作直线与棱BD, CD分别交于点E,F,记DB=入DE,DC=uDF,则入十u= ·若四面体 ABCD的体积为3，则四棱锥N一BCFE体积的最大值为.（本题第一空2 分，第二空3分) 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知向量a=(1,3,-2),b=(1,0,2),c=(m,n,-4). (1)若a∥c,求b-c的值； (2)若b⊥c,c=9,求a·(b-c)值. 高二同步周测卷四 数学（湘教版）选择性必修第二册第2页（共4页） 12.(本小题满分15分) 13.(本小题满分20分) 如图所示，在平行六面体ABCD-AB,CD,中，E,F分别在棱BB1和DD1上，且 如图，在直三棱柱ABC-A,B,C1中，CA=CB=1,∠BCA=90°，AA=2,M,N分 BE=SBB,DF=子DD. 别是棱A1B1,A1A的中点. (1)求BN+NM: (1)求证：A,E,C,F四点共面； (2)求cos<BN,CB>的值； (2)若EF=xAB+yAD+xAA1,求x十y十之的值. (3)求证：AB⊥C1M. 数学（湘教版）选择性必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高二同步周测卷四 数学（湘教版）选择性必修第二册第4页（共4页）