专题空间向量与立体几何（专项训练）数学湘教版选择性必修第二册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题 利用向量解决立体几何问题 目录型 A题型建模·专项突破 题型一、利用空间向量的数量积求线段的长度及夹角问题 题型二、异面直线所成的角 题型三、利用空间向量解决线面角 题型四、利用空间向量解决二面角 题型五、利用空间向量求距离问题 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用空间向量的数量积求线段的长度及夹角问题 1.如图，平行六面体ABCD-A马C1D的所有棱长均为2，AB,AD,A月两两所成夹角均为60°，点，F分 别在棱巩，DD上，且E=2E,AF=2DF,则AC丽-一 F- B 2.在平行六面体AECD-ABCD中，AB=2,AD=4,AA=6,∠AAB=∠DAB=∠AAD=60,则 E0= 3.在正三棱锥P-ABC中，PA=AB=4,点D是棱PC的中点，A豆=2丽，则ADP应=() 1/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.9B.-9c.- 3D.-8 4.如图，平行六面体ABCD-AB,C,D各条棱长均为√5，∠BAA=∠DAA1=60,LBAD=90,则线段AC的 长度为() A.3 B.4 C.6 D.5 A B D 5.如图，在四面体ABCD中，∠BAC=90°，∠BAD=∠CAD=60°，AB=AC=AD=6,设 AB=a,AC=b,AD=c. D (1)求BC.BD的值： 2)已知F是线段CD中点，点E满足CE=EB,求线段EF的长 E 题型二、异面直线所成的角 1.在正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，AA,=2AB=4,E,F分别为AB,BC的中点，点G为上底面A,B,CD的 2/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 中心，则直线EG与DF夹角的余弦值为() A.5 B.5 c.3 D.⑤ 5 3 5 3 2.直三棱柱ABC-A,BC中，AB=AC=AA,AB⊥AC,则AB,与BC所成角为() A.30 B.45° C.609 D.120° 3.己知在正三棱锥A-BCD中，侧棱AD的中点是E,线段BE的中点是F,若AC⊥BE,则异面直线AB 与CF所成角的正切值为() A.V19 B.7 c.7 D.2V21 21 2 21 4.如图，M,N分别是二面角x-AB-B的两个半平面内两点，=3，AB=2EW=1, ∠MAB=∠BA=120°，若MW=33,则异面直线AM,EN的夹角的正弦值为一· Q 5.在120的二面角c-1-B中，A∈a,B∈B,A到棱1的距离为1，B到棱！的距离为4，AB=2万，则 直线AB与棱！夹角的正弦值为一 题型三、利用空间向量解决线面角 1.若直线1的一个方向向量为元1=(-1,0,2)，平面的一个法向量为元2=(1,2,2)，则直线1与平面a所成角 的余弦值为() 3/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.25 B.5 C.v5 D. 2 5 3 2.在棱长为4的正方体ABCD-A,B,C,D,中，M,N分别是棱AB,AA,的中点，过MN作平面0，使得BD∥ a,则直线MC,与平面a所成角的正弦值为() B D M B A.3 B.3 c.53 3 D.23 2 9 3 3.在直三棱柱ABC-ABC中，M=AC=BC= AB,E是CC,的中点，则直线AE与平面ABE所成角 2 的正弦值为() A.105 B.V30 c.V105 D.2V30 15 15 30 15 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB,BC⊥AB,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,M,N分别 是AD,CP的中点 (I)证明：PM⊥BD; (2)若PA=AD=AB=2CD=2,求直线MW与平面PBC所成角的正弦值 4/17 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D M 5.如图，将圆O沿直径AB折成直二面角，已知三棱锥P-C○D的顶点C在半圆周上，P,D在另外的半 圆周上，OC⊥4B (I)若OD⊥OP,求证：QP⊥CD; (2)若OA=2,∠AOD=30°，直线CD与平面POC所成的角为45，求三棱锥C-POD的体积. 5/17 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 题型四、利用空间向量解决二面角 1.己已知ABCD-A马C1D是棱长为6的正方体，，F分别是棱AB,BC上的动点，且AE=BF,当 A,E,F,G共面时，平面ADE与平面GDP夹角的余弦值为一· 6/17 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，PA⊥PC,PD=AD=2· (1)证明：BD⊥平面PAC; (2)若PA<PC,四棱锥P-ABCD的体积为1，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 3.如图，点D是以AB为直径的半圆上的动点，已知AB=BC=3,且AB⊥BC,平面BCD⊥平面ACD (1)证明：BD⊥BC; (2)若线段AC上存在一点E满足CE=2EA,当三棱锥C-ABD的体积取得最大值时，求平面BED与平面 AEB夹角的余弦值， 7/17 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Bk= 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PC=PD=2、√2，PB⊥CD. (I)证明：BC=BD; (2)若PA=4v2,PB=4,求二面角B-PC-D的余弦值. 8/17 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.如图1，平面四边形PBAC为“箏型”，其中PB=PC,AB=AC,将平面PBC沿着BC翻折得到三棱锥 P-ABC(如图2)，D为EC的中点. (I)证明：平面PAD⊥平面PBC; 9/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2如图2，若AB1AC,AB=2,PA=PD=万，求平面PAB与平面PAC的夹角的正弦值. P B 图1 图2 题型五、利用空间向量求距离问题 1.己知直三棱柱ABC-A中，∠BAC=90,AB=2AC=2,侧棱AA=2,若点M,N分别是线段 AB,A的中点，则点N到直线CM的距离是一 10/17 专题 利用向量解决立体几何问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用空间向量的数量积求线段的长度及夹角问题 题型二、异面直线所成的角 题型三、利用空间向量解决线面角 题型四、利用空间向量解决二面角 题型五、利用空间向量求距离问题 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用空间向量的数量积求线段的长度及夹角问题 1．如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【答案】 【分析】设，连接，根据向量的线性运算法则，化简得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， 所以. 故答案为：. 2．在平行六面体中，，，，，则 . 【答案】 【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到，再利用空间向量的数量积及运算律求模长. 【详解】 以为基底向量，可得， 则 ， ∴． 故答案为： 3． 在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算，用表示，再用空间向量数量积运算即可. 【详解】根据题意可作图， 因为点是棱的中点，所以, 因为，所以, 则, 由题意，都是等边三角形， 所以， 故 故选：A. 4. 如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】由可得，利用数量积运算即可得出结果. 【详解】因为，即，所以， 因为平行六面体各条棱长均为，， 所以，， 因为， ∴ ， 所以，即线段的长度为. 故选：D. 5．如图，在四面体中，，，，设. (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 【答案】(1)36 (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解， （2）根据空间向量的线性，结合模长公式即可求解. 【详解】（1）由，，可得 , 所以 （2）由于是线段中点，点满足， 所以, 故, 所以, 所以 题型二、异面直线所成的角 1．在正四棱柱中，分别为的中点，点为上底面的中心，则直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出向量的坐标，根据向量夹角公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 于是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：A. 2．直三棱柱中，，，则与所成角为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三棱柱的性质，建立空间直角坐标系，结合向量的坐标运算和向量夹角公式，即可求解. 【详解】根据题意，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，令， 则，，，，所以，， 设与所成角为，则，所以与所成角为. 故选：C. 3．已知在正三棱锥中，侧棱的中点是，线段的中点是，若，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一，取的中点，连接，则，则就是异面直线与所成角或其补角，再利用几何关系得到，和，再利用余弦定理，即可求解；法二，建立空间直角坐标系，求得，，再利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，则， 所以就是异面直线与所成角或其补角， 取的中点，连接，因为三棱锥为正三棱锥， 所以，，则，， 又，平面，所以平面， 又面，所以， 又，，面，所以平面， 平面，因此，， 又三棱锥为正三棱锥，所以， 设，则， 在中，，， 又，所以， 连接，在中，，， 所以， 在中，，所以， 在中，，所以， 所以． 解法二  取的中点，连接，由三棱锥为正三棱锥， 得，，所以，， 又，平面， 所以平面，又面，， 又，，面，所以平面， 因此，，又三棱锥为正三棱锥，所以， 故以为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，， 则，， 设异面直线与所成的角为，则， 所以，得到． 故选：C 4.如图，分别是二面角的两个半平面内两点，，，若，则异面直线的夹角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】连接，利用余弦定理可求得，，根据，利用向量数量积的定义和运算律求得，由向量夹角公式可得结果. 【详解】如图，连接， 在中，由余弦定理得：， ∴. 在中，由余弦定理得：. ∵ ， 故，即异面直线夹角的余弦值为. ∵异面直线夹角的取值范围为， ∴异面直线夹角的正弦值为. 故答案为：. 3.在的二面角中，，，到棱的距离为，到棱的距离为，，则直线与棱夹角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，可知，，由空间向量的数量积的运算性质求出的长，再利用空间向量数量积的运算性质结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【详解】过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点， 由二面角的定义可知，，由题意可知，，， 因为， 则 ，解得， 因为， 所以，， 故， 即直线与棱夹角的正弦值为. 故答案为：. 题型三、利用空间向量解决线面角 1．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用向量法求线面角的正弦值，进而求余弦值. 【详解】设直线l与平面所成的角为，则， 所以． 故选：A． 2．在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，取中点，平面即为平面再根据线面角的向量法求解即可. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 取中点，因为是棱的中点，故， 又平面，平面，则平面， 故平面即为平面 ， ， 设平面的一个法向量为，即， 令则，即为平面的一个法向量， 线面角的正弦值为. 故选：C 3．在直三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出答案. 【详解】设，则， 则，即， 在直三棱柱中，平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得. 直线与平面所成角为， 所以， 故直线BC与平面所成角的正弦值为. 故选：D. 4．如图，在四棱锥中，，，平面平面，，M，N分别是，的中点. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得平面，进而由线面锤子的性质定理得线线垂直. （2）取的中点E，先求得是正三角形，然后建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，最后利用向量法求得线面角的正弦值即可. 【详解】（1）∵，是的中点，∴， 又∵平面平面且交于，平面， ∴平面， 又平面，∴. （2）取的中点E，∵， ∴，，且，， ∴四边形是矩形，∴， 因此是正三角形，∴，，. 如图所示，建立空间直角坐标系 ，，，，， ∴，，， 设平面的法向量， 则有， 令，则，， 故为平面的一个法向量. 由 所以直线与平面所成角的正弦值为. 5．如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，，在另外的半圆周上，． (1)若，求证：； (2)若，，直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意得到平面，推出，再结合可求证； （2）以为坐标原点，，所在直线为，轴，过点作平面的垂线作为轴，建立空间直角坐标系，由直线与平面所成的角为，确定的坐标，求得，即可求解. 【详解】（1）由题意知平面平面，平面平面， ，且平面，故平面， 又平面，故； 又，且，，平面， 故平面，而平面， 故； （2）以为坐标原点，，所在直线为，轴，过点作平面的垂线作为轴，建立空间直角坐标系，如图： 由于，，则，， 设，，则， 则，，， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，则可得， 由于直线与平面所成的角为， 故， 解得，结合，则， 所以，所以， 又平面， 所以． 题型四、利用空间向量解决二面角 1．已知是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且．当共面时，平面与平面夹角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】可以先建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，，平面夹角的余弦值即为两个法向量所成角的余弦值的绝对值，代入坐标公式计算即可. 【详解】解析：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 易知当取点和点分别为棱的中点时，，坐标为：，，四点共面．设平面的法向量为， 依题意得：，令，可取， 同理可得平面的一个法向量为． 故平面与平面夹角的余弦值为． 故答案为： 2．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，. (1)证明：平面； (2)若，四棱锥的体积为1，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据已知条件求得各边长，利用勾股定理证得即，又有利用线面垂直的判定定理证得结论； （2）利用棱锥的体积公式求出高，建立空间直角坐标系，根据以及确定点坐标，再利用向量法求平面与平面间的夹角. 【详解】（1） 如图，设中点为，连接， 四边形为菱形，，， 是等边三角形，, ，， 在中，，即，所以,即. 又四边形为菱形， 平面，平面, 平面. （2）设四棱锥的高为，则，解得. 如图建立空间直角坐标系，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过点作轴平面，则. 由（1）可知，平面，平面，平面平面， 所以设，则，解得， 因为，所以，所以点. ， 设平面的法向量， 则，取，则，故. ， 设平面的法向量， 则，取，则，故. 所以，平面与平面夹角的余弦值为 3．如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面 (1)证明：； (2)若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作于，应用面面、线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明面，最后应用线面垂直的判定和性质证明结论； （2）根据已知确定三棱锥的体积取得最大有，过点作于，建立合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）过点作于， 由平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，故，又为直径，易知， 且平面，所以平面，平面， ，且，平面，， 平面，平面，故. （2）由（1）知，， 当时，取到最大值，过点作于， 建立以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的方向为轴， 设平面与平面的法向量分别为. 则，， 所以，则， 令，可得， 所以，因为平面的法向量为， 则平面与平面夹角的余弦值. 4．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，． (1)证明：； (2)若，，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取CD的中点E，可证平面PBE，进而可得，即可证得结论； （2）取PC的中点F，连接BF，分析可知二面角的大小，建系标点，利用空间向量夹角公式求二面角即可. 【详解】（1）取CD的中点E，连接BE，PE， 由，得， 又因为，，平面PBE，则平面PBE， 且平面PBE，可得， 因为BE为的中线，所以 （2）在菱形ABCD中，，由， 则，， ，则， 在中，，， 则，即且， 在中，，即， 故可以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 取PC的中点F，连接BF， 则， 由，得， 可知二面角的大小， 可得，， 则， 所以二面角的余弦值是. 5．如图1，平面四边形为“箏型”，其中，将平面沿着翻折得到三棱锥（如图2），为的中点． (1)证明：平面平面； (2)如图2，若，，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证得两组线线垂直，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角，再求其正弦值. 【详解】（1），，为的中点， ，， 平面，平面， 平面． 又平面， 平面平面． （2） 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系． 取中点，连接，，． 由（1）可知平面，平面，， 又平面，平面，故平面． ，，为的中点，． 又，为的中点，． 则，，，，，， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以． 设平面的一个法向量， 则，令，则，所以. 设平面与平面的夹角为， 则，所以. 所以，平面与平面的夹角的正弦值是． 题型五、利用空间向量求距离问题 1．已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ． 【答案】/ 【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点的坐标，应用向量法求点线距离. 【详解】由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，则， 所以， 则点到直线的距离. 故答案为： 2．如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，.若顶点到平面的距离为，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，利用空间向量的方法列方程得到，然后利用空间向量的方法求距离即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以． 设平面的一个法向量为， 则，则， 所以顶点到平面的距离为． 故答案为：. 3．如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，已知，. (1)求到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）推导出，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1），， ，，. 由直三棱柱中，底面，、底面， ，. 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 设平面的法一个向量为，则， 令，则，，所以， 设到平面的距离为，则. （2）设平面的一个法向量为，则， 取，则，可得， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 4．如图，正方体的棱长为为棱上一点． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正方体的特征，可得，平面，利用线面垂直的判定定理可得平面，即可得证； （2）以所在直线，分别为轴，建立空间直角坐标系，设，利用向量法表示出线面角的正弦值，即可求出的值，然后利用向量法直接求解点到平面的距离即可. 【详解】（1）在正方体中，， 又平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以. （2）由题知，以所在直线， 分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，可得， 取，则， 令直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍去）， 所以，，又， 所以点到平面的距离为. 5．如图，在四棱锥中，满足，，底面，，，． (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长度和点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，继而可证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面，平面的法向量结合平面与平面的夹角的余弦值为，求得，法1，利用向量法求点面距，法2，利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】（1）因为平面，平面， ∴，又，，平面， ∴平面， 又平面，∴平面平面. （2）∵平面，平面，∴，， 又，∴以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设，，则，，，，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，取，得，， ∴， 平面的法向量为， ∵平面与平面的夹角的余弦值为，∴， 解得，即， 所以，， 所以点到平面的距离为． 法（二）等体积法，∴，，， ∴， ∵，∴， ∴， 设点到平面的距离为， 由，得， 解得， ∴点到平面的距离为． 1．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，BC＝1，BB1＝3，D是CC1的中点，E是AB的中点． (1)证明：DE∥平面C1BA1； (2)F是线段CC1上一点，且直线AF与平面ABB1A1所成角的正弦值为，求二面角F­BA1­A的余弦值． 解：(1)证明：如图，连接AB1交A1B于点O，连接EO，OC1. 因为OA＝OB1，AE＝EB，所以OE＝BB1，OE∥BB1， 又DC1＝BB1，DC1∥BB1， 所以OE綊DC1， 因此，四边形DEOC1为平行四边形，所以ED∥OC1. 因为OC1⊂平面C1BA1，ED⊄平面C1BA1， 所以DE∥平面C1BA1. (2)易知AB，BB1，BC两两垂直， 所以以BA，BB1，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系B­xyz，如图． 过点F作FH⊥BB1，交BB1于点H，连接AH. 因为BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以AB⊥BB1. 因为AB⊥BC，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面CBB1C1， 所以AB⊥平面CBB1C1. 因为AB⊂平面BAA1B1， 所以平面BAA1B1⊥平面CBB1C1. 因为FH⊂平面CBB1C1，FH⊥BB1，平面BAA1B1∩平面CBB1C1＝BB1， 所以FH⊥平面BAA1B1， 所以∠FAH为直线AF与平面ABB1A1所成的角， 记为θ，则sinθ＝＝，所以AF＝3， 在Rt△ACF中，5＝AC2＝AF2－CF2＝9－CF2， 所以CF＝2， 所以F(0，2，1)，A1(2，3，0)， 所以＝(0，2，1)，＝(2，3，0)， 设平面BFA1的法向量为m＝(x，y，z)， 则 取y＝2，得x＝－3，z＝－4， 所以m＝(－3，2，－4)为平面BFA1的一个法向量． 易知平面BAA1的一个法向量为n＝(0，0，1)， 则|cos〈m，n〉|＝＝. 由图知二面角F­BA1­A为钝角， 因此，二面角F­BA1­A的余弦值为－. 2． 如图，在几何体ABCEDF中，△ABC，△DFE均为边长为2的正三角形，且平面ABC∥平面DFE，四边形BCED为正方形． (1)若平面BCED⊥平面ABC，求证：平面ADE∥平面BCF； (2)若二面角D­BC­A为150°，求直线BD与平面ADE所成角的正弦值． 解：(1)证明：如图，取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG. 因为AO⊥BC，且平面BCED⊥平面ABC， 平面BCED∩平面ABC＝BC， 所以AO⊥平面BCED，同理FG⊥平面BCED， 所以AO∥FG，又AO＝FG＝， 所以四边形AOFG为平行四边形， 所以AG∥OF，因为AG⊄平面BCF，OF⊂平面BCF， 所以AG∥平面BCF， 又DE∥BC，DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF， 所以DE∥平面BCF， 又AG和DE交于点G，AG，DE⊂平面ADE， 所以平面ADE∥平面BCF. (2)连接GO，如图，则GO⊥BC，又AO⊥BC， 所以∠GOA为二面角D­BC­A的平面角， 所以∠GOA＝150°. 过G作GO′⊥AO，交AO的延长线于O′，以O′为坐标原点，O′A所在直线为x轴，过O′平行于BC的直线为y轴，O′G所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，D(0，1，1)，E(0，－1，1)，B(，1，0)， 所以＝(－2，1，1)，＝(0，2，0)． 设平面ADE的法向量是n＝(x，y，z)，则即 令x＝，则z＝6，所以n＝(，0，6)． 又＝(－，0，1)， 所以|cos〈，n〉|＝＝＝， 即直线BD与平面ADE所成角的正弦值为. 3.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA，且PA＝2ED＝2. (1)求证：平面PAC⊥平面PCE； (2)若直线PC与平面ABCD所成的角为45°，求二面角P­CE­D的余弦值． 解：(1)证明：如图(1)，连接BD，交AC于点O，设PC的中点为F，连接OF，EF. 因为底面ABCD是菱形，所以O是AC的中点， 又F是PC的中点，所以OF∥PA且OF＝PA. 因为DE∥PA且DE＝PA，所以OF∥DE且OF＝DE. 所以四边形OFED为平行四边形，所以OD∥EF，即BD∥EF. 因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD. 因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC. 又因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC. 所以EF⊥平面PAC. 又因为EF⊂平面PCE，所以平面PAC⊥平面PCE. (2)因为PA⊥底面ABCD，直线PC与平面ABCD所成的角为45°， 所以∠PCA＝45°，所以AC＝PA＝2. 所以AC＝AB＝BC，故△ABC为等边三角形． 设BC的中点为M，连接AM，则AM⊥BC，所以AM⊥AD. 以A为坐标原点，AM，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A­xyz，如图(2)， 则P(0，0，2)，C(，1，0)，E(0，2，1)，D(0，2，0)， 所以＝(，1，－2)，＝(－，1，1)，＝(0，0，1)． 设平面PCE的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则即 取y1＝1，则x1＝，z1＝2. 所以n＝(，1，2)． 设平面CDE的法向量为m＝(x2，y2，z2)， 则即 取x2＝1，则y2＝，z2＝0. 所以m＝(1，，0)． 设二面角P­CE­D的大小为θ，由图(2)易知θ为钝角， 所以cos θ＝－|cos〈n，m〉|＝－＝－＝－. 所以二面角P­CE­D的余弦值为－. 28 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $